二00九年武警部队院校招生统一考试数学试题士兵
二00九年武警部队院校招生统一考试数学试题
(士兵)
一选择题：
1 2
1.若函数f(x)的反函数f (x) 1 x (x 0)，则f (2)的值为( ).
A . 1 B. 1 C. 1 或1 D. 5
1 2
1. B 令f (2) t，则f (t) 1 t 2，而t 0，得t 1 .
2.设集合A {5,log 2(a 3)} , B {a,b}，若Al B {2},则AUB 等于( ).
A .{2,5,7}
B .{ 1,2,5} C.{1,2,5} D.{ 7,2,5}
2. C由AI B {2} ，得2 A，即log 2(a 3) 2 ，得a 3 4 ,
即a
1
;
再由A I B {2},得2 B，即b 2,得 A {5,1}, B {2,1},
即A U B {1,2,5}.
3.若^0.5
a 2 ,
b log 3 ,
c . .2 log2s
in ，则(
)
.
A .a b c B.b a c C. c a b D..b c a
2 2
3. A 由0 sin 1，得c log2sin 0，即c 0 ；
5 5
由0.5 0，得a 20.5 20 1，即a 1 ；
由1 3 ，得0 log 1 log 3 log 1，即0 b 1, 即a b c.
4?用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数，则可以组成的六位数的个数为( ).
A . 720个
B . 240个C. 120个 D . 600个
6 5
4. D 不考虑0是否在首位，则A，如果0是在首位，则A ,
即可以组成的六位数的个数为A A5 720 120 600 .
5.已知a,b,c成等差数列，则二次函数y ax22bx c的图象与x轴的交点
个数为( ).
A . 0个
B . 1个
C .2个
D . 1或2个
5 . D 由a, b, c成等差数列，得a c 2b,而 2
(2 b) 4ac,
2
即(2b) 4ac (a c)24ac (a c)20 ,
得二次函数y ax 2 2bx c 的图象与x 轴有1或2个交点.
2
6.设m, n,丨是三条不同的直线，
,是三个不同的平面，则下列命题中
2 2
7.已知椭圆E 的方程为一 -
1 , 25 9
B . 2
|a 2b| |a 2b |，所以阜卑 1.
|a 2b |
二、填空题：
9 .若复数z 丄」是纯虚数，则
1 i
的真命题是（ ).
m, n 与丨所成的角相等，
则
m//n
所成的角相等，则
//
// ,
m ，贝U m//
m, n
与
所成的角相等，则
m//n
6. C
m ，则m 与
没有公共点，即m //
距离为2 , M 是线段PF ,的中点, O 是原点，贝U
|OM
|等于（
）
.
C . 7. A 由三角形中位线定理，得 OM -PF 2，而 PF 2
2
2a PF 1 10 2 8 ,
8.已知a 和b 均为非零向量，若
ag D
0，则卑 |a
\|7
z
(\
如
bl
8. D
由 ago 0 ,得 a b , 2b 与a 2b 是以a,2b 为邻边的矩形的对角线,
9. 1 z 「
1 i (1 i)(1 i)
a 1 (a 1) a 1
2
是纯虚数,
2
左焦点为R ，如果椭圆E 上的一点P 到￡的
C .
而矩形的对角线长相等，即 a 的值为
￡n(n 1)，
1
8 r 8 r
1
(2x 3 )8
的展开式的通项T r 1 C ；(2x) (3 —)
J x v x
4r
令8 0，则r 6， 3
R 60o 圈上有A 、B 两地，它们在此纬度圈上的弧长为
―（R 是地球的半径），
2
则AB 两地的球面距离为
R R
北纬60o 圈上的小圆的半径显然为
R
，而A 、B 两地在此纬度圈上的
3 2
R 弧长为 ，贝U AB 是小圆的直
即 AB
R ，得 AOB —,
2
3
所以AB 两地的球面距离为一R
R 3 3
2 2
圆x y 4x 2y 4
0上的点到直线 x y 1
0的最大距离与最小距离
的
差为
即该圆的半径为1,而点到直线x y 1 0的最大距离与最小距离的
差为恰好为圆的直径，即距离的差为
2.
在等比数列 {a *}中，a 3 a 5 5，贝U a 1 a 3 a 5 a 7 ________________________________ .
解答题：
已知函数 f(x) 2cosx(、、3sin x cosx) 1 (x R).
cos600°的值为 lim n
1 2
Ad
n
cos600o cos240o cos(180
n)
60°) cos60o
10. 10. 11. 11.
12. 12.
13.
13.
14. 14.
15. 15.
三、 16.
(2x 得 lim 4(1
n
n
L n) lim
n
2
n n 2n 2
1 lim -
n
1 8
3_）8的展开式中的常数项是 v x
（用数字作答）
112
在北纬 8
4r
28 r C ；x 卞，
圆x 2
2
y 4x 2y 4 0的标准方程为（x
2 2
2) (y 1)
1
25
a 1 a 7 a 3 a 5
5，即 a 1 a 3 a 5 a 7 25 .
5
(1
)求咗)的值;
(2)求函数f (x)在区间］上的最小值和最大值.
6 2
16.解：(l )v f(x) 2cosx(、、3sinx cosx) 1
2 3cosxsin x 2cosxcosx 1
、_3sin 2x cos2x
3 1
2(——sin 2x - cos2x) 2 2
2 _ 2sin 3. 3
5
⑺??? x [ , ] ,? 2x [,-
6 2 6 6 6 1
? sin(2x 石)1 ,
??? f (x)在区间［一，］上的最小值为1，最大值为2 .
6 2
17.已知一口袋中有大小、质地均相同的
8个球，其中有4个红球和4个黑球,
现从中任取4个球.
(1) 求取出的球颜色相同的概率；
(2) 若取出的红球数不少于黑球数，则可获得奖品，求获得奖品的概率.
C 3
C 1
取出4个球有3个红球1个黑球的概率为
4
严
C ：
17?解：(1)取出4个球都是红球的概率为 C 44
C 8 1
70
，
C 4
取出4个球都是黑球的概率为
4 C
8
1 70
，
所以取出4个球的颜色相同的概率为
70 70
丄
35 (2)由(1)可知，取出4个球都是红球的概率为
C 4
一
4 C 8 1 70，
2sin(2x 石),
5
. 5 …f ( ) 2sin( ) 12 6 6
8 35
，
取出4个球有2个红球2个黑球的概率为
，
C：18 35，
1 8 18 53
所以获得奖品的概率为 -
70 35 35 70
18.在数列｛a n｝中，a1 3 , a n 2a n 1 2 3 (n 2且 n N ).
(1 )求a2和a3的值;
(2)设b n皤(n N )，证明:｛5｝是等差数
列.
18.解:(1)v 印2a n 1 2n 3(n
a? 2a122(3) 22
a3 2a2 23(3) 2313
.
(2)对于任意n
??? b n 1 b n a n n
2
2“ 1 [(a n 1
2“ 1 [(a n 1
+ K2n1
1 .
3
2n
3) 2(a n
2a n) 3]
3) 3]
3)]
二数列｛b n｝是首项为色3 3
2
公差为1的等差数列.
19.已知|a| 5, |b| 2 , (3a b)g；a 3b) 103
(1)求a与b的夹角；
(2)
uuu r
若AB a ,
AC b，作△ ABC，求△ ABC的面积.
19.解: (1)：|a| 5, |b| 2 , (3a b)ga 3b) 103,
r2
3a 9ag
D r r r2 agD 3b 103,
75 8ago 12 103,
agD 5,
I a |gb I cos 5 ,
cos
r r
.??求a 与b 的夹角为—.
3
.
uuu r UULT
(2)在△ ABC 中，AB a , AC BAC , sin BAC
3
1 uuu uuur
?- S ABC $ I AB I I AC I sin
1 5 2
2
2
??? ABC 的面积为5、3 ?
2
20.已知定义在 R 上的函数f(x)满足：f(x y) f(x) f(y)，当x 0时, (1 )求f(0)，并证明f (x)在R 上是奇函数； (2)求证：f (x)为R 上的增函数. 20?解：(1)v f(x y) f (x) f (y) , x, y R
令x y 0,得 f(0)
f(0) f(0)
? f(0) 0,
再令x y 0，即y
x ，得 f (0) f(x) f( x) 0 ,
? f( x)
f (x),
? f (x)在R 上是奇函数.
证明：(2)设 “X 2 R , % x 2，则 ％ x 2 0 ,
?- f(x y) f(x) f(y),
? f(x X 2) f (xj f ( X 2),
又??? f(x)为奇函数，且当x 0时，f (x)
0,
BAC
f(x) 0.
f(xj f( X 2) 0, f(xj f(X 2)0 , f(X i )
f (X 2),
f(x)为R 上的增函数.
以原点为圆心、以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的左焦点为F l ，右焦点为F 2，直线l i 过点F l 且垂直于椭圆的长轴,
动直线12垂直l i 于点P ，线段PF 2的垂直平分线交12于点M ，求点M 的轨迹方程.
21
?解:(1)-
e
亘?
2 2 2 2
1 c a b
a
? ■
2 2
3
3 a
a
2a 2 3b 2 ,
又? ??
直线
l : y x 2与圆x 2 y 2 b 2相切,
二x 2 (x 2)2 b 2有两个相等的实数根 b 2
2 ,??? a 2 3,
2 2
?椭圆C 的方程为—丄 1 .
3 2
(2)由题意知,F 1( 1,0) , F 2(1,0)，直线 l 1 : X 所以动点M 到定直线|1 : x 1的距离等于它到定点 F 2(1,0)的距离,
平面PAB 平面ABC .
(1) 求证：PA 平面PBC ;
(2) 求二面角P AC B 的平面角的正切值.
22.如图，在三棱锥P ABC 中，PA
PB 6 , PA PB , AB BC
,
BAC 30o ,
21 .已知椭圆C :
b 2
1 (a b
0)的离心率为
彳，直线1
: 1 , |MP|〔MF ? | ,
从而动点M 的轨迹是以|1为准线,
F 2为焦点的抛物线p
2
22.证明：（1）v 平面PAB 平面ABC , 平面PABI 平面ABC AB ，
且AB BC ,
??? BC 平面 PAB ,
又??? PA 平面 PAB ,??? PA BC , 又??? PA PB , PBI BC B , ? PA 平面 PBC .
解：（2）作PO AB 于点O , OM AC 于点M ，连结PM , ???平
面PAB 平面ABC , ? PO 平面 ABC ,
由三垂线定理得 PM AC ,
? PMO 是二面角P AC B 的平面角，
又??? PA PB .6 , PA PB , ? AB 2.3 , PO AO BO . 3 ,
.面角P AC B 的平面角的正切值为 2 .
在 Rt/\MAO 中，OM
AO sin 30o 昱
2
3 2
?
tan PMO
PO OM