整式、分式、二次根式
第二讲 整式、分式
一、课标下复习指南 (一)代数式
1．代数式
用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．
2．求代数式的值
用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类
(二)整式
1．整式的有关概念
(1)单项式及有关概念
由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．
单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．
(2)多项式及有关概念
几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．
(3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．
2．整式的运算
(1)整式的加减 ①合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．
②添(去)括号法则
如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．
③整式的加减
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．
(2)整数指数幂及其运算性质
①整数指数幂
正整数指数幂：??
???≥????==),2(),1(为正整数个n n a a a a n a
a n n
零指数幂：10=a (a ≠0)． 负整数指数幂：n
n a
a 1=
-(a ≠0，n 为正整数)．
②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m
·a n
＝a m ＋n
： (a m )n ＝a mn ；
(ab )m
＝a m
·b m
． a m ÷a n ＝a m －n
(a ≠0)． (3)整式的乘法
①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
④乘法公式：
(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；
常用的几个乘法公式的变形：
a 2＋
b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；
(a －b )2
＝(a ＋b )2
－4ab ．
(4)整式的除法(结果为整式的)
①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：
①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．
②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．
③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：
ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2
－b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2：
*③十字相乘法：
x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．
④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：
ax 2
＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)． (当b 2
－4ac ≥0时，,2421a ac
b b x -+
-=
)
242
2a
ac b b x ---=
(3)因式分解的步骤
①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；
③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；
④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式
(1)分式的有关概念
①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如B
A 的式子叫做分式．
注意 对于一个分式
B
A ，字母的取值必须使分母
B 的值不为零．
②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义?分母≠0； 分式无意义?分母＝0；
分式值为0??
??≠=.0,
0分母分子
分式值为1???
?==.
0,分母分母分子
分式值为正?分子、分母同号．
分式值为负?分子、分母异号．
(2)分式的基本性质
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
M
B M A M
B M A B A ÷÷=??=(其中M 是不等于零的整式)．
(3)分式的运算 ①加减法：
bd bc
ad d c b a
±=±．特别地，当b ＝d 时，
b
c a b
c b
a ±=
±
．
②乘法：?=
bd
ac
d c b a . ③除法：
bc
ad
c d b a d
c b a ==÷
.(此法则将分式的除法转化为乘法)．
④乘方：n
n
n
b a
b
a
=
)((n 为正整数)．
二、例题分析
例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．
(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；
(6)?=
-2
2212x
x
A ．无
B ．1个
C ．2个
D ．3个 解 A ．
说明 整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆．其原因是做题时不按性质做，而是跟着感觉走，必须培养良好的做题习惯．
例2 如果关于x ，y 的单项式2ax m
y 与5bx 2m －3
y 是同类项，
(1)求(9m －28)2009
的值；
(2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0，并且xy ≠0，求(2a ＋5b )2009
的值． 解 ∵2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项， ∴2m －3＝m ．解得m ＝3． (1)(9m －28)
2009
＝(9×3－28)
2009
＝－1．
(2)∵m ＝3，且2ax m
y ＋5bx 2m －3
y ＝0， ∴2ax 3y ＋5bx 3y ＝0，即(2a ＋5b )x 3y ＝0． 又∵xy ≠0，∴2a ＋5b ＝0． ∴(2a ＋5b )2009＝02009＝0．
说明 此题考查了同类项的概念，要注意同类项与单项式的系数无关．在合并同类项时，只要将它们的系数合并，而字母及字母的指数不变．
例3 计算： (1);)3()4
1(2
12
335a b a b a -?-
÷
(2)(3xy 3
－9x 4y 2
)÷3xy －(x 2
－2xy )·4x 2
． 解 (1)原式＝2
3359)4
1(21
a
b a b a ?-
÷
.189)4(2
12
4
23
3
5b a a b
a b a -=?-
?=
(2)原式＝y 2－3x 3y －4x 4＋8x 3y
＝y 2＋5x 3y －4x 4．
说明 正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键．单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法．
例4 计算：
(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 解 (1)原式
＝8x 2－(3x 2－5x －2)－2(x 2－4x －5) ＝8x 2－3x 2＋5x ＋2－2x 2＋8x ＋10 ＝3x 2＋13x ＋12．
(2)原式
＝[a ＋(b －1)][a －(b －1)]－a 2＋(b ＋2)2 ＝a 2
－(b －1)2
－a 2
＋(b ＋2)2
＝(b ＋2)2－(b －1)2
＝(b ＋2＋b －1)(b ＋2－b ＋1) ＝(2b ＋1)×3＝6b ＋3．
说明 在整式运算中，要注意：(1)灵活运用运算律、运算法则和乘法公式，寻找合理、
简捷的运算途径；(2)利用乘法公式进行计算时，要分析式子的特点，正确选择公式，尤其要注意公式中字母的顺序及符号；(3)当几个多项式乘积前面出现负号时，处理负号的方法是可将负号视为(－1)先与其中的一个因式相乘，或将负号后面的多项式结合在一起先相乘，然后利用去括号法则去括号．
例5 把下列各式分解因式：
(1)6(a －b )2
＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4； (3)16x 2－(x 2＋4)2
； (4).44
12
+-
x
解 (1)原式＝6(a －b )2
－8a (a －b ) ＝2(a －b )[3(a －b )－4a ] ＝2(a －b )(3a －3b －4a ) ＝－2(a －b )(a ＋3b )．
(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． (3)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2 ＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2
＋4)] ＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2－4x ＋4) ＝－(x ＋2)2(x －2)2． (4)原式)16(412
--
=x
).
4)(4(4
1-+-
=x x
说明 (1)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止(每个因式分别整理、化简后，一般要按降幂排列)；(2)如果多项式最高次项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内该项的系数是正数；(3)遇到有多项式乘方时，应注意下面的规律：
(b －a )2k ＝(a －b )2k ；
(b －a )2k ＋1＝－(a －b )2k ＋1(k 为整数)．
(4)注意换元思想在因式分解中的应用：将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘．
例6 (1)当x 取何值时，分式
6
532
+--x x x 无意义?
(2)当x 取何值时，分式
12
92
2
---x x x 有意义?值为零?
解 (1)要使分式无意义，只需x 2－5x ＋6＝0．解得x 1＝2，x 2＝3． ∴当x ＝2或x ＝3时，分式无意义．
(2)要使分式有意义，只要使x 2－x －12≠0，解得x ≠－3且x ≠4． ∴当x ≠－3且x ≠4时，分式有意义．
要使分式的值为零，只??
???=/--=-.012,
0922x x x
解得??
?≠-=
/-==.43,33x x x x 且或
∴当x ＝3时，分式的值等于零．
说明 (1)确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式；(2)只有当字母的取值使分子的值等于零且分母的值不等于零时，分式的值才等于零；(3)注意准确使用“或”和“且”字．
例7 计算： (1)
2
121111x
x
x
++
++
-；
(2)
?--++--÷
++-+296.4
14
4222
2
2
2
x x x x x x x x x x
解 (1)原式2
12)1)(1(11x
x x x x ++
+--++=
)
1)(1()1(2)1(212122
2
2
22
2
x x x x x
x
+--++=
++
-=
4
14x
-=．
(2)原式.1
)
2)(2(.)2()2)(1(2
--+++-=
x x x x x x ?+++=
++=
-++1
961
)3()
2)(1()
3(2
2
2
x x x
x x x x x
说明 对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减．对于某些具体的分式运算也可以采取一些特殊的方法，如(1)题采用逐步合并的方法．
对于分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分，如(2)题．
对于运算结果，一般的，二次的多项式应乘开．
例8 已知12-=a ，化简求值：
?+-÷
++--
+-2
4)4
4122(2
2
a a a a a a
a a
解法一 原式4
2])
2(1)
2(2
[
2
-+?+--
+-=a a a a a a a
4
1)212(-?+--
-=a a a a a
?+=
-?
+-=
)
2(1
41
)2(4
a a a a a a
.122,12+=
+∴-=a a
∴原式.1)
12)(12(1
=+-=
解法二 由12-=a ，得21=
+a ，平方，移项，可得a 2＋2a ＝1．
∴将原式化简为
a
a 212
+后，立即得其值为1．
例9 已知x ＋y ＝－4，xy ＝－12，求+++1
1x y 1
1++y x 的值．
解
原式)
1)(1()
1()1(2
2
+++++=
y x x y
＝
1
1
21222
++++++++y x xy x x y y
1
)(2
)(22)(2
++++++-+=
y x xy y x xy y x
将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式?-
=+--+-?++-=
15
341
4122)4(224)
4(2
说明 求代数式的值的问题，一般先将所求代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：(1)将已知条件直接代入计算；(2)将已知条件变形后再代入计算；(3)将已知条件整体代入再计算求值．
例10 已知321=+x
x ，求4
4
1x
x +
的值．
解 2)1(12
2
2
4
4
-+
=+
x
x x
x
2
]2)32[(2]2)1[(2
2
2
2--=--+
=x
x
＝102－2＝98．
说明 此题是反复运用完全平方公式把所求代数式变形，使问题得解． 三、课标下新题展示
例11 在解题目“当x ＝1949时，求代数式
x
x x
x
x
x x
12
24
44.2
2
2
-
+-÷
-+-＋1的值．”时，
聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．
解 聪聪说得有道理．
∵原式11)
2(2
.
)2)(2()
2(2
+-
-+-+-=
x
x x x x x x
,
1111=+-=x
x
∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．
例12 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第＝分钟收费a (a ＜8)元，之后的每＝分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )．
A ．b
a -8分钟 B ．b
a +8分钟 C ．
b
b
a +-8分钟
D ．
b
b
a --8分钟
解 C ．
说明 用代数式表示实际问题中的数量关系，是一类常见的考题．
二次根式
一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式
形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质
1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．??
?<-≥==);
0(),0(||2a a a a a a
4．);0,0(≥≥?=
b a b a ab
5．
);0,0(>≥=
b a b
a b
a
6．若a ＞b ≥0，则.b a > (三)二次根式的运算
1．二次根式的加减
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2．二次根式的乘除
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化
把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化．
常用的二次根式的有理化因式： (1)a 与a 互为有理化因式；
(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式； (3)b a +与
b a -
，一般的，b d
a c +与
b d a
c -互为有理化因式．
二、例题分析
例1 当x 为何值时，下列代数式有意义?
.1)2(;3
22)
1(2
3
2
x x x x x -+----
解 (1)欲使322
2---x x x 有意义，只要使???=
/--≥-.032,022x x x 即???≠-=/≥.31,
2x x x 且
解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3
22
2---x x x 有意义．
(2)欲使2
31x
x -+
-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，2
31x x -+
-有意义．
说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．
例2 化简：(1)
;149
62
12
3
x
x
x x
x
-+
*(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442
x x +-+
解 (1)原式x x
x x
x x 4221-+=
x
x 2
3-
=
(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0．
2
2
4412x
x x x +-+
+-∴
2
2
)2()1(x x -+
-=
＝|x －1|＋|2－x |
＝(x －1)＋(2－x )＝1．
说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．
例3 计算：(1);22)832
14
64(÷+-
(2)+?-+-5()625()2332(20
2.)6219
解 (1)原式22)262264(÷+-=
.232+=
(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-?+
.61435-=
说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．
例4 已知xy ＝3，求y
x y
x y x
+的值．
分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论． 解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322
==+
=
xy xy xy
当x ＜0，y ＜0时， 原式.322-=-=-
-=xy xy xy
综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示
例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
解 D ．
说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．
例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x
.49)1(2
=+∴x
71=+∴x 或,71-=+x
6=x 或
8-=x (舍)．
∴x ＝36．
经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．
说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是
一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握．
四、课标考试达标题
(一)选择题
1．下列各式中正确的是( )． A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．(－x )2÷x 3＝x
C ．xyz ÷(x ＋y ＋z )＝yz ＋xz ＋xy
D ．(－m －n )(m －n )＝n 2－m 2 2．下列等式中不成立的是( )． A ．
y x y
x y x
-=--2
2
B ．y x y
x y xy x -=-+-2
2
2
C ．
y
x y
xy
x
xy -=
-2
D ．
xy
x y y
x x
y 2
2
-=
-
3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是( )． A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③ 4．用配方法将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )． A ．(a ＋2)2－1 B ．(a ＋2)2－5 C ．(a ＋2)2
＋4
D ．(a ＋2)2
－9
5．已知
4
11=-b a ，则
ab
b a b ab a 7222+---的值等于( )．
A ．6
B ．－6
C ．
15
2 D ．7
2-
(二)填空题
6．某公司2009年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到______万元(用代数式表示)． 7．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式
可以是______ (填上一个正确的即可)．
8．若2x ＝3，4y ＝5，则2x －2y
的值为______． 9．观察下面的单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是______． 10．已知)
,3,2,1()
1(12
=+=
n n a n ，
b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，
b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出b n 的表达式为b n ＝______．(用含n 的代数式表示) (三)解答题 11．求6
3
)(4
1)(2
1b a b a b a b a --
++
++
-的值，其中|a －1|＝－(b ＋2)2．
12．在实数范围内分解因式：
(1)4x 4－1；
(2)x 2
＋2x －5．
13．观察下列等式：,322322,211211-
=?
-
=?
＝.,433433 -
=?
(1)猜想并写出第n 个等式；
(2)证明你写出的等式的正确性．
14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律?
(1)填写表内空格：
(2)发现的规律是：______；
(3)用简要的过程证明你发现的规律．
(一)选择题
1．在根式⑤
④
③②①;2
;15;;52
23a b a a -2
;12a a ⑥
中，最简二次根式是( )．
A ．②③⑤
B ．②③⑥
C ．②③④⑥
D ．①③⑤⑥
2．如果最简根式
a
b b -3和
22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．
A ．a ＝0，b ＝2
B ．a ＝2，b ＝0
C ．a ＝－1，b ＝1
D ．a ＝1，b ＝－2
3．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=
D ．12233=-
(二)填空题
4．当x 满足______条件时，
32++
-x x 在实数范围内有意义．
5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．
7．观察下列各式：=+=+
4
12,3
123
115
14
5
13,4
13=+…请你将发现的规律
用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1) (三)解答题 8．计算：.)2(xy y
x x
y xy ?
+
-
9．化简：.)23(36
329180
-++-
-
10．先化简，再求值：4
23)22
5(--÷
---a a a a ，其中.33-=a
八年级分式和二次根式综合
辅导教案
18、已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0，则32x y y x +-的值为________ 19、计算：（318+ 151504)322-÷= 20、如果 ，则=_______. 21、若 互为相反数，则_______。 22、将 根号外的a 移到根号内，得 __________ 23、在实数范围内分解因式 （1） ； （2） 24、 的整数部分是_________，小数部分是________。 25、 若 =3，则x 的取值范围是______ 26、 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 27、已知，则a_________ 28、已知，则a______ 29、二次根式、、的大小关系是______ 30、当0 35、如果xy= ，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。 36、若m 为正实数，且13m m - =，221m m -则= 37、若a<－2， 的化简结果是________ 38、已知x=2+1，求（ 22121x x x x x x +---+）÷1x 的值． 39、对于题目“化简求值：1a +2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a －a=2495 a a -= 乙的解答是： 1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 40、已知x =12，x=________ 41、化简 = 42、已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x +＝－43 ．则xyz xy yz zx ++的值为 . 分式练习题 1. （2013年天津市3分）若x=－1，y=2，则 222x 1x 64y x 8y ---的值等于【 】 A ．117- B ．117 C ．116 D ．115 2. （2013年内蒙古包头3分）函数1y x 1=+中，自变量x 的取值范围是【 】 A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠0 3. （2013年广东深圳3分）分式2x 4x 2 -+的值为0，则【 】 A.x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 4. （2013年湖南娄底3分）有意义的x 的取值范围是【 】 A ．1x 2≥-且x≠1 B ．x≠1 C ．1x 2 ≥- D ．1x>2-且x≠1 5. （2013年湖北襄阳3分）有意义的x 的取值范围是 ． 6. （2013年重庆市B10分）先化简，再求值：2x 2x 1x 4x x 2x 4x 4+--??-÷ ?--+??，其中x 是不等式3x 71>+的负整数解。 7. （2013年贵州贵阳6分）先化简，再求值：22312x x x 1x x 2x 1 -??-÷ ?+++??，其中x=1． 8 （2013年黑龙江牡丹江农垦5分）先化简：24x 4x 4x x x ++??-÷ ?? ?，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值（x 是整数）代入求值． 二次根式练习题 1.（2013年上海市4分）下列式子中，属于最简二次根式的是【】 （A）（B（C）（D 2.（2013年广东珠海3分）实数4的算术平方根是【】 A．－2 B．2 C．±2 D．±4 3.（2013年广西贺州3分）1的值在【】 A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间 4.（2013年广西崇左3分）下列根式中，与是同类二次根式的是【】 A B C D 5.（2013年湖北武汉3分）x的取值范围是【】A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 6.（2013年湖北荆州3分）计算】 A B C D 7.（2013年海南省3分）】 A B．C．D．2 8.（2013年山东临沂3分）】 A．B C．D 9. （2013年湖南常德3分）】 A．﹣1 B．1 C．4-D．7 10.（2013年湖北襄阳3分）有意义的x的取值范围是． 11.（2013年江苏宿迁3分）+的值是． 12.（2013年内蒙古包头3分）=． 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2 x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3bc a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.5213 (2－x)2(x －3)231－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112(x －1)21x －111－x 27x 2＋112a 2b 1827613 8y y ５、如果分式中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋22x 84 21223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2x －120＋5 51 312a b 2 a a 5 b 31 ab 4ab y 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 1、整式的概念和指数： 与 统称为整式。 单项式包括： 、 、 ； 一个单项式中所有字母的 叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最 的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： 一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。 （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时 （一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘； （3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母 ，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： 知识点大全 2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15） 001020； 001030； 001040； 001050； 001070； 001110； 001130； 001140； 001150； 001160； 001170； 001180； 001200； 001220； 001230； 2.1.1. 整式的有关概念 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如： b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的 项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 知识点大全 注意： (1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.1.2. 同类项、合并同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意： (1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2.1. 3. 去括号法则 去括号法则1：括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 分式和二次根式 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2 x －3 有意义。 ２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。 ３、运算：a 2 a －1 －a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。 ５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：23＿＿＿＿32。 ７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简3 1 3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2 ＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2 x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、关于分式1 x －1总有（ ） A 、1 x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、1 2 D 、a 2b ４、能够与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、1 3 D 、8 ５、假如分式 2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原先的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） y y y 中考总复习：分式与二次根式 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零， 否则分式没有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； 第五章整式、分式、二次根式的知识梳理 1、整式的概念和指数： 与统称为整式。 单项式包括：、、； 一个单项式中所有字母的叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： A，且B≠0叫做分式。 一般地，形如式子 B （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时（一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?? ???<-=>)0()0(0)0(a a a a a ab =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. 3 整式与分解因式 【知识梳理】 1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数） ；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1 = -（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法: (1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. (5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即2 2))((b a b a b a -=-+； (6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2 222)(b ab a b a +±=± 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=± 5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区： ⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ） A. a ＋2a=3a 2 B. 3a －2a=a C. a 2?a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的 结果是（ ） A ．m B ．m C ．m +1 D ．m -1 【例3】若2 320a a --=，则2 526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( ) A ．2 2 ()()x y x y x y -=+- B ．22 69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．2 2 2 ()x y x y +=+ 【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一 分式及二次根式运算 一、知识点梳理 1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B 为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B ＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分. 5．分式的运算 ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： . ② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： .乘方法则： . ⑶ 除法法则： . 6．二次根式的有关概念 ⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．并且根式. ⑵ 最简二次根式：被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 7．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ； ⑷ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑸=b a （0,0>≥b a ）. 8．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成 ； ②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. （2）二次根式的乘法、除法公式： （1）a b=ab a 0b 0?≥≥（，） （2）a a =a 0b 0b b ≥f （，） 9．二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 三、【典例精析、发散思维】 例1（1） 当x 时，分式x -13无意义；（2）当x 时，分式3 92--x x 的值为零. 例2 ⑴ 已知 31=-x x ，则221x x + ＝ . ⑵ 已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y ----的值为 . 例3 先化简，再求值： 2006年中考数学第一轮复习专题训练 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2x －3有意义。 ２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。 ３、计算：a 2a －1－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。 ５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：23＿＿＿＿32。 ７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简313＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、对于分式1x －1总有（ ） A 、1x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、12 D 、a 2b ４、可以与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、13 D 、8 ５、如果分式2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） y y y … … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 装 … … … … … … … … 订 … … … … … … …学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 座号：＿＿＿＿ 2019届中考总复习：分式与二次根式—知识讲解 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则 分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可 不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 分式运算与根式运算 一、分式运算 1．下列各式：x 2、22+x 、x xy x -、33y x +、 23+πx 、 ()() 1123-++x x x 中，分式有（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2．()()23+÷-m m 写成分式为____________，且当m ≠_____时分式有意义； 3．若分式x 231-的值为正数，则 x 的取值应是 ( )A .0>x ， B .23=x C . 2 3 分式和二次根式知识总结 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 分式与二次根式—知识讲解 【知识网络】 知识点一、分式的有关概念及性质?1．分式?设Ａ、Ｂ表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母Ｂ的值不能为零，否则分式没有意义.?2.分式的基本性质? (M为不等于零的整式).?3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题：? (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用； （2）分式中，A和Ｂ均为整式,A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为０;?(３） 判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.?（4）分式有无意 义的条件:在分式中, ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.?②当B=０时，分式无意义；当分式无意义时,B=0．?③当B≠0且A = ０时，分式的值为零. 知识点二、分式的运算?1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1)加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． ； 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． (3)除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (４)乘方运算（分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方．?２．零指数．?3.负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 第三讲 分式和二次根式 一、考点链接： 1．形如 的式子，叫做分式，其中A 叫做 ，B 叫做 。 2．分式的基本性质：分式的分子、分母都 的整式，分式的值 。 3．分式的值为零的条件是 ，分式有意义的条件是 。 4．若实数a≠0，则有0a = ,n a -= (n 为正整数) 5.分式的乘方：n b a ?? ? ??= （n 为正整数） 6．约分的定义： 7．通分的定义： 8．最简分式的定义：分式的分子与分母中 9. 异分母分式相加减，先 ，再相加减 10．分式的混合运算：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算是先算 ，再算 ，最后算 ， 遇到括号，先算括号内的 11.形如 的代数式叫做二次根式.（即一个 的算术平方根叫做二次根式）强调：二次 根式被开方数不小于0 12.二次根式的性质：双重非负性 =2)a ( （a≥0）， =2 a =???<≥0)（a 0）(a =a b （a≥0，b≥0） =b a （a≥0，b ＞0） 13.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 ab b a =?（a≥0，b≥0） ab b a =（a≥0，b ＞0） 二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如22222b 2ab a )b a (;b a b)-b)(a (a +±=±-=+）仍然适用. 二、归类探究： 1.识别分式的概念 例1：如果分式 32x -+2|x|-1x 的值为零,那么x 等于( ) A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 2.分式的基本性质的识别 例2：（1）下列各式与x y x y -+相等的是( ) A. ()5()5x y x y -+++; B. 22x y x y -+; C. 222()()x y x y x y -≠- D. 22 22x y x y -+ （2）（11·珠海）若分式2a a ＋b 中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ．是原来的110 D ．不变 3. 二次根式相关概念。 例3：⑴、在函数y =x 的取值范围是 。 x 的取值范围是 。 4. 二次根式的主要性质。 例4： ，2= = ，()0a ≤。 5. 二次根式的运算。 例5：（1）（2011山东济宁，4，3分）下列各式计算正确的是（ ） A = B ．2= C ．= D = （2） 。 （312-+2︱－03sin30。 分式方程与二次根式方程 〖知识点〗 分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根 〖大纲要求〗 了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。 内容分析 1．分式方程的解法 (1)去分母法 用去分母法解分式方程的一般步骤是： （i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解这个整式方程； (iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法 用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数． 2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法 用两边平方法解无理方程的—般步骤是： (i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解这个有理方程； (iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去． 在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法 用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数． 〖考查重点与常见题型〗 考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。 考题类型 1．（1）用换元法解分式方程 3x x2－1 ＋ x2－1 3x ＝3时，设 3x x2－1 ＝y，原方程变形为（） （A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0 2．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（） （A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0 整式的乘法与因式分解 一、选择题： 1.下列计算中正确的是 ( ) A ．842a a a =? B ．22a a a =÷ C ．5322a b a =+ D ．6 3 2)(a a -=- 2.下列运算中，正确的是 ( ) A. 632x x x =? B. 623)(x x =- C.2523a a a =+ D. 3 33)(b a b a =+ 3.化简2 3 )()(x x -?-的结果正确的是 ( ) A.6x - B.6x C.5x D.5x - 4.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 ( ) ①5236)2(3x x x -=-?；②ab b a b a 2)2(42 3 -=-÷③5 23)(a a = ； ④2 3)()(a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.如果)(m x +与)3(+x 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．3 C ．0 D ．1 6.若153=x ,53=y 则y x -3等于 ( ) A ．5 B ．3 C ．15 D ．10 7.))((2 2 a ax x a x ++-的计算结果是 ( )． A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C.3232a x a x ++ D ．322322a a ax x -++ 8.计算232x x ÷的结果是（ ） A ．x B ．x 2 C ．52x D ．62x 9.下列各式是完全平方式的是 ( )． A ．4 1 2+ -x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 10. 若16)3(22 +-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于 ( ) A. 3 B. -5 C. 7 D. 7或-1 11.把多项式a ax ax 22 --分解因式，下列结果正确的是 ( ) A ．)1)(2(+-x x a B ．)1)(2(-+x x a C ．2 )1(-x a D ．)1)(2(+-ax ax 12.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） 分式与二次根式 一、选择题： 1、分式－12x 2 , 5x-14(m-n) ,2n-m 的最简公分母为( ) (A) 4(m －n)(n －m)x 2 (B)14x 2(m-n) (C)4x 2(m －n)2 (D)4(m －n)x 2 2、下列各式的变号中,正确的是 (A)x-y y-x = － y-x x-y ( B)x-y y-x 2 =y-x y-x 2 (C)-x-1-y+1 =x-1y+1 (D)-x-y y-x ＝－ x+y y-x 3、若x >y>0,则x+1y+1 － y x 的结果是( ) (A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能 4、下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5、(x －2)2 ＋(2－x )2 的值一定是（ ） （A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 6、计算 3 m 2m 963m m 2-÷--+的结果为（ ） （A ）3m 3m +- （B ）1 （C ）3m 3m -+ （D ）3 m 3m + 7、计算)a 1(1a)a 1(-÷-的结果为（ ） （A ）a －1 （B ）－a －1 （C ）1－a （D ）a+1 8、适合a 33)(a 2-=-的正整整a 的值有（ ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9、化简a a 4)2a a a 2a (2 -?+---的结果是（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）2a （D ）2a+4 10、如果a 满足014a a 2=++,那么22a 1a + 的值是( ) （A ）154 （B ）14 （C ）17 4 （D ）4 二、填空题: 11、当x=-------------------时，分式|x|-3x 2+4x+12 的值为零？ 12、（5827 ·113 ·354 ）=------------------- 13、18 ＋22－1 －412 －2( 2 ＋1)0=-------------------分式与二次根式练习题
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