最新《微波技术与天线》傅文斌-习题答案-第2章

第2章 微波传输线

2.1什么是长线？如何区分长线和短线？举例说明。

答 长线是指几何长度大于或接近于相波长的传输线。工程上常将1.0>l 的传输线视为长线，将

1.0

线，当传输300MHz 的微波时是长线。

2.2传输线的分布参数有哪些？分布参数分别与哪些因素有关？当无耗传输线的长度或工作频率改变时分布参数是否变化？

答 长线的分布参数一般有四个：分布电阻R 1、分布电感L 1、分布电容C 1、分布电导G 1。 分布电容C 1(F/m )决定于导线截面尺寸，线间距及介质的介电常数。分布电感L 1(H/m )决定于导线截面尺寸，线间距及介质的磁导率。分布电阻R 1(Ω/m )决定于导线材料及导线的截面尺寸。分布电导G 1(S/m ) 决定于导线周围介质材料的损耗。

当无耗传输线（R 1= 0，G 1= 0）的长度或工作频率改变时，分布参数不变。

2.3传输线电路如图所示。问：图（a ）中ab 间的阻抗0=ab Z 对吗？图（b ）中问ab 间的阻抗

∞=ab Z 对吗？为什么？

答 都不对。因为由于分布参数效应，传输线上的电压、电流随空间位置变化，使图（a ）中ab 间的电压不一定为零，故ab 间的阻抗ab Z 不一定为零；使图（b ）中a 点、b 点处的电流不一定为零，故ab 间的阻抗ab Z 不一定为无穷大。

2.4平行双线的直径为2mm ，间距为10cm ，周围介质为空气，求它的分布电感和分布电容。 解 由表2-1-1，L 1=1.84×10-6（H/m ），C 1=6.03×10-12（F/m ）

2.5写出长线方程的的解的几种基本形式。长线方程的解的物理意义是什么？ 答（1）复数形式

()()()z L L z L L I Z U I Z U z U ββj 0j 0e 2

1e 21

--++= ()()()z L L z L L I Z U Z I Z U Z z I ββj 00

j 00e 21e 21

---+=

（2）三角函数形式

()z Z I z U z U L L ββsin j cos 0+=

()z I z Z U z I L L

ββcos sin j

+= （3）瞬时形式

()()A z t A t z u ?βω++=cos , ()B z t B ?βω+-+cos ()()A z t Z A t z i ?βω++=

cos ,0

()B z t Z B ?βω+--

cos 0

其中，

()L L I Z U A 021

+=

，()L L I Z U B 02

1-= 物理意义：传输线上的电压、电流以波动的形式存在，合成波等于入射波与反射波的叠加。

2.6无耗传输线的特性阻抗的物理意义是什么？特性阻抗能否用万用表测量？为什么？ 答 特性阻抗定义为传输线上入射波电压与入射波电流之比，是对单向波呈现的阻抗。 不能用万用表测量，因为特性阻抗是网络参数（从等效电路的观点，传输线可看成复杂的网络）。

2.7建立另一种长线坐标系如图所示，图中，坐标的原点（0=s ）取在信号源端，信号源至负载的方向为坐标s 增加的方向。若已知信号源端的边界条件()S U U =0，()S I I =0，试重新推导长线方程并求出其特解。

解 由克希霍夫电压定律

()()()0,,,1=+-??-t s s u t t s i s

L t s u ?? ()()t

t s i L s t s u ??-=??,,1

由克希霍夫电流定律

()()t

t s u C s t s i ??-=??,,1 由

ωj t

→??

()

()

()

()?????-=-=s U C j ds

s dI s I L j ds s dU 11ωω 得如下波动方程

0112

2

2=+U C L ds

U d ω 01122

2=+I C L ds

I

d ω 波动方程的解是

s j s j Be Ae U ββ-+= ()

s j s j Be Ae Z I ββ---

=0

1

式中11C L ωβ=，1

1

10C L L Z =

=

βω 由边界条件：s=0时，U=U s ，I=I s

U s =A+B ，I s =-Z 0-1（A-B ）

解出A 、B 后得

???

????--+=-++=--s j s s s j s s s j s s s j s s e Z I Z U e Z I Z U I e I Z U e I Z U U ββββ0000002222 式中，第1项为入射波，第2项为反射波。

2.8平行双线的周围介质为空气，分布电容为60pF/m ，求它的特性阻抗和分布电感。 解：由1

11C L c =

，1

1

0C L Z =

，解得：L 1=1.85×10-7（H/m ），Z 0=55.5（Ω） 2.9同轴线工作于MHz 100=f ，线间填充介质的3.2=r ε，1=r μ。求：(1) 该同轴线上单向波的相速度和相波长；(2) 线上相距3m 的两点间单向波的相位差??。

解：（1）3

.21038

?=

=

r

r p c

v με=1.98×108

m/s;68

101001098.1??==f v p

p λ= 1.98 m (2) 398

.122?=

?=

?=?π

λπ

β?l l p

=3.03π rad 2.10输入阻抗与特性阻抗有何不同？说“输入阻抗的相角就是传输线上该点的电压与电流的相位差”对吗？为什么？

答 特性阻抗是传输线对单向波呈现的阻抗，是传输参数。输入阻抗是传输线对合成波呈现的阻抗，是对传输线上反射情况的一种量度，是工作参数。

由()()()z I z U z Z =in ，题中所说正确。

2.11反射系数()z Γ、终端反射系数L Γ、反射系数的模()z Γ有何异同？说“在一段均匀传输线上()z Γ不变但()z Γ变化”对吗？为什么？

答 相同点：都是对传输线上反射情况的一种量度。

不同点：均匀传输线上各点的()z Γ不同；均匀传输线上各点的()z Γ相同；()0Γ=ΓL 只是

传输线终端的反射系数。

题中所说正确。

2.12传输线电路如图所示，试求：（1）输入阻抗A A Z '；（2）B 点和C 点的反射系数；（3）AB 段和BC 段的驻波比。

解 图(a)

（1）0Z Z Z C L == ，0Z Z BC =∴；2//00Z Z Z Z BC B ==。43λ=AB

，

02

02Z Z Z B A A ==∴'

（2）0=C Γ，31

00-=+-=

ΓZ Z Z Z B B B

（3）1=BC ρ，20

==B

AB Z Z ρ 图(b)

（1）4λ=BC ，0202Z Z Z Z C BC ==；4λ=BD ,02

0==∴Z Z BD

0//=+=

=BD

BC BD

BC BD BC B Z Z Z Z Z Z Z ，2λ=AB ，0==∴'B A A Z Z

（2）31

00-=+-=

ΓZ Z Z Z C C C ，100-=+-=ΓZ Z Z Z B B B

（3）20==

C BC Z Z ρ，∞==B

AB Z Z

0ρ 2.13传输线电路如图所示，试求：（1）输入阻抗A A Z '；（2）B 、C 、D 、E 、F 点的反射系数；（3）AB 、BC 、BD 、CE 、CF 段的驻波比。

解 （1）4λ=CE ，

202

0Z Z Z Z E CE ==∴

0Z Z F = ，0Z Z CF =∴

()3

22//0

00

0Z Z Z Z Z Z Z Z CF CE C =

+=

= 2λ=BC ，30Z Z BC =

4λ=BD ，∞==∴020Z Z BD ；3//0Z Z Z Z BD BC B ==。

4λ=AB ，0203Z Z Z Z B A A ==∴'

（2）0=F Γ；31=E Γ；21-=C Γ；1-=D Γ；21-=B Γ

（3）1=CF ρ；2=CE ρ；3=BC ρ；∞=BD ρ；3=AB ρ 2.14 传输线的终端接纯阻性负载，即L L R Z =时，证明

??

?<>=0

000当当Z R R Z Z R Z R L L

L L ρ

证 由Γ-Γ

+=11ρ，00

Z Z Z Z L L L +-=Γ得，0

0000000Z R Z R Z R Z R Z Z Z Z Z Z Z Z L L L L L L L L --+-++=

--+-++=ρ 当0Z R L >， ()0

0000Z R

Z R Z R Z R Z R L L L L L =--+-++=

ρ

当0Z R L <， ()L

L L L L R Z

R Z Z R R Z Z R 00000=--+-++=

ρ 【证毕】

2.15有一特性阻抗为Ω75、长为9λ的无耗传输线，测得电压波节点的输入阻抗为25Ω，终端为电压腹点，求：（1）终端反射系数；（2）负载阻抗；（3）始端的输入阻抗；（4）距终端83λ处的反射系数。

解 已知Ω=750Z ，89λ=l ，

()Ω=25min z Z in ，()max

0U

U =

（1）()()ρ

1

310min min ===

Z z Z z Z in in ∵终端为电压波腹点，终端反射系数为正实数，有

2

1

11=+-=

Γ=ΓρρL （2）∵终端为电压波腹点，有Ω==2250ρZ Z （3）z

jZ Z z

jZ Z Z Z in ββtan tan 000

++==（45-j60）Ω

（4）z j e z βλ283-Γ=??? ?

?=

Γ ，2383222πλλπβ=??=z ，j e

z z

j 21832=Γ=??? ?

?=Γ-βλ 2.16一特性阻抗为Ω70的无耗传输线，终端接负载L L L X R Z j +=。测得驻波比等于2，第一个电压腹点距负载12λ。求L R 和L X 的值。

解 由()z

Z Z z

Z Z Z z Z L L ββtan j tan j 000

in ++=，()ρ0max in Z z Z =，m ax z =12λ

8

=

Z L

()?

?

?

???++?

??

???++=122tan j j 122tan j j 000

0λλπλλπρL L L L X R Z Z X R Z Z 化简得

03223Z X R L L =+ 032Z X R L L =-

解得Ω=80L R ，Ω=330L X

2.17行波的电压（电流）振幅分布和输入阻抗分布有何特点。如何判断传输线是否工作于行波状态？

答 行波状态的特点是：（1）电压、电流振幅值沿线不变，且电压和电流同相。（2） 输入阻抗值沿线不变，处处等于特性阻抗，且呈纯阻性。（3）信号源输入的功率全部被负载吸收，即行波状态最有效地传输功率。

用灯泡在传输线上沿线滑动，灯泡的亮度不变时，可判断传输线工作于行波状态。

2.18传输线上A 、B 两点距离信号源分别为2λ和23λ。若传输线工作于行波状态，信号源端的电压为t U ωcos 0。

（1）写出A 、B 两点的电压瞬时表达式；

（2）分别绘出A 、B 两点电压随时间变化的曲线。

2.19同轴型收发开关如图所示。同轴分支处KG1的是串联型放电管，它在大功率时呈通路，小功率时呈断路；距分支λ/4处的KG2是并联型放电管，它在大功率时使同轴线短路，小功率时不起作用。试分析该收发开关的工作原理。

答 发射期间，KG 1、KG 2导通，KG 2使同轴线短路，故向接收机支路看去的输入阻抗为∞，能量只能送往天线。

接收期间，KG 1不导通，使主传输线呈断路，KG 2也不导通，不影响接收机支路，故能量只能送往接收机。

2.20列表归纳三种不同情况（l l X Z j ,,0∞=）的驻波特点的异同。

答 相同点：L Γ=1；ρ=∞；K =0；传输线上都呈全反射；不能传输功率；电压、电流节点值为0，腹点值为行波振幅的2倍，节点和腹点以4λ为间距交替出现。

不同点：

（1）计算相应的终端反射系数和驻波比； （2）画出相对电压振幅+

U U 、相对电流振幅+

I

I 的沿线分布并标出其最大、最小值。

解 （1）0Z Z L =时：0= Γ，1=ρ

（2）0=L Z 时：1-= Γ，∞=ρ

（3）03Z j Z L =时：2

3

1j +=

Γ，∞=ρ 延长线的长度：6

3arctan 200λπλ

==Z Z L

2.22判断图中的电路是否是谐振电路？当馈电线左右移动时其结果如何？

解 图（a ）：

x

jZ x jZ Z x

jZ Z BC BA βλβ

βtan 43cot tan 000-=???

??--== 当2,0λ≠x 时，

∞==BC BA B Z Z Z //（并联谐振）

当2,0λ=x 时，0//==BC BA B Z Z Z （串联谐振）

当馈电线左右移动时其结果不变。 z

+z

|I/I +z

+z

|I/I ++|I/I +

由图（b ）：x jZ Z BA βtan 0=，x jZ x jZ Z BC βλβtan 2tan 00-=??

?

??-= 当0≠x 时，∞==BC BA B Z Z Z //（并联谐振） 当0=x 时，0=B Z （串联谐振）

2.23已知无耗传输线上的腹点电压为m ax

U ，负载0Z R Z L L >=，写出线上驻波比ρ的表达式。

解 0

Z R L

=

ρ 2.24已知无耗传输线的负载L L L X R Z j +=，入射行波电压幅值为+

U ，特性阻抗为0Z ，试

写出：（1）线上驻波比的表达式；（2）负载吸收功率的表达式。

解 （1）由00

Z Z Z Z L L L +-=Γ，Γ-Γ+=11ρ得，0

000Z Z Z Z Z Z Z Z L L L L --+-++=ρ

（2）()()2

2

12ΓZ U z P -=

+

2.25已知无耗传输线上的0m in

≠U ，离负载最近的一个极值点是电压腹点，试判断负载阻抗

的性质。

答 负载为阻感性，即L L L X R Z j +=且0>L X 。 2.26传输线电路如图所示。图中，Ω=750Z ，

Ω=1501R ，Ω=5.372R ，行波电压幅值

V 150=+U ，

（1）试求信号源端的电流；

（2）画出各传输线段上的电压、电流幅值分布并标出极大、极小值；

（3）分别计算负载1R 、2R 吸收的功率。 解

（1）Z CA =R 1=150Ω，Z CB =Z 022/R 2=150Ω， Z C =Z CA //Z CB =75Ω，DC 段呈行波。电源端电流为：

|I 0|=|U +|/Z 0=150/75=2（A ）

（2）DC 段：|U D |=|U +|=|U C |=150（V ），|I D |=|I 0|=|I C |=2（A ） CA 段：|U C |=|U A |=|U|max =150（V ），ρCA =R 1/Z 0=2，|U|min =|U|max /ρCA =75（V ）

；

|I CA |=|I A |=|I|min =|U|min /Z 0=1（A ），|I|max =|I|min ρ

CA =2（A ）

CB 段：|U C |=|U|max =150（V ），ρ

CB =Z 0/R 2=2，|U B |= |U|min =|U|max /ρCB =75（V ）

； |I CB |=|I|min =|U|min /Z 0=1（A ），|I B |=|I|max =|U|max /Z 0=2（A ） 作图如下（实线表示电压幅值分布，虚线表示电流幅值分布）

（3）P R1=（1/2）|U A | |I A |=0.5×150×1=75（W ），P R2=（1/2）|U B | |I B |=0.5×75×2=75（W ）

2.27传输线电路如图所示。画出传输线段ab 、bc 上的电压、电流幅值分布并标出极大、极小值。

解 分析ab 段的工作状态

Ω===9004006002

2

01L bc

Z Z Z ，Ω450//=+==R Z R Z R Z Z bc

bc

bc b 故ab 段呈行波。

（1）计算最大值、最小值 ab 段：记微波源内阻为g Z ，有

b g a a a

a U Z Z U Z U =Ω=+?=+=450450

450900

450，b a a a I A I U I ===1

bc 段 2301==L Z Z ρ。max

450U

V U b ==，V U

U U c 300max

min

==

=ρ

C

|U|，|I|

A

150 D

2A 75V

1A

|U|，|I| B

150V C

2A

1A 75V

min

5.0I A Z U I bc

b

bc ===

，max

75.0I A Z U I c

c ===

【注意电流的求法】

（2） 作图

【注意电流的画法】

2.28传输线电路如图所示。测得2=ρ，一个电压节点距终端λ

3.0，求负载的值。

解 电压波节处，Z in （节）=Z 0/ρ=150Ω。记L L L jX R Z +=，有：

Z in （节）()()z jZ Z z jZ Z Z L L ββtan tan 000

++==()()()()

λβλβ3.0tan 3.0tan 000L L L L jX R j Z jZ jX R Z ++++=150Ω

经整理：30032=-L L X R ，180023=+L L X R 。解得 R =462Ω， X =208Ω

∴= Z （462+j208）Ω

2.29特性阻抗为0Z 的无耗传输线端接负载L Z 。测得线上的驻波比为ρ，最靠近负载的电压节点在min z z =处，证明L Z 、ρ和m in z 之间的关系为

C

|U|，|I| A

D 1A

0.5

0.75A

min

min

tan j tan j 1z z Z Z L βρβρ--=

证 电压节点处，ρ0Z Z in =，有

min

0min

00

tan tan z jZ Z z jZ Z Z Z ββρ

++=

整理得：min

min

tan tan 1z j z j Z Z βρβρ--= 【证毕】

2.30测得无耗传输线上的电压节点幅值min

U 及距此节点l （40λ<

证明此线上的驻波比ρ可由下式求出：

l l A ββρsin cos 22-=

式中，min

U

U A l

=

；β为相移常数。

解 传输线方程的通解：

()z j z j e U e U z U ββ--++=

对电压波节点有：-+-=U U U

min

；由行波性质有：++=U U ，--=U U

若取电压波节点为坐标原点（或者说若末端为电压波节点），有

()-+-+-=-=U U U U U 0

() ββj j e U e U U --+-=()()

ββsin cos -+-+++-=U U j U U

ββsin cos max min U j U += () ββ2

2

max

2

2

min

2

sin cos U U

U += 依题意，() U U =，min U U

A

=得： βρβ2222sin cos +=A ，故得

ββρsin cos 22-=

A 【证毕】

2.31传输线阻抗匹配的方法有哪几种？哪些是窄频带的？哪些是宽频带的？ 答 窄频带方法：4λ阻抗变换器，并联单支节匹配器，并联双支节匹配器。

宽频带方法：多节4λ阻抗变换器，补偿式4λ阻抗变换器（串联补偿式、并联补偿式、串并联补偿式），渐变线。

2.32一特性阻抗为Ω50的无耗传输线端接负载为Ω200， （1）求线上的驻波比；

（2）工作频率为00MHz 1时，采用一λ/4阻抗变换器进行匹配，该匹配段的特性阻抗和几何长度各为多少？

（3）将工作频率改成0MHz 8，如电路中仍含该λ/4阻抗变换器，则线上的驻波比变为多少？ 解 （1）ρ=200/50=4

（2）Z 01=20050?=100（Ω），λ0=c/f 0=3（m ），40λ= =0.75（m ） （3）λ=c/f=15/4，λ =1/5

ββtan tan 010101

jZ Z jZ Z Z Z in ++=()()52tan 20010052tan 100200100ππj j ++==???

??-?37937

20

100j （Ω） 0

Z Z Z Z in in +-=

Γ=0.23，ρ=1.6

（2.33题至2.39题暂略，因有时为不讲的内容，下次补齐）