离散数学期末测试卷I及答案

离散数学期末测试卷I及答案

第一部分、考试形式和时间

答题时限：120 分钟考试形式：闭卷笔试

第二部分、考试题型和得分构成

一、选择题：对每一道小题,从其4个备选答案中选择最适合的一项,每小题2分,共10

道小题,20分。

二、填空题：每空1分,共5道小题,10个空白处待填,10分。

三、判断题：每一道小题均以陈述语句描述,对的打√,错的打х。每小题1分,共10

道小题,10分。

四、综合题：每小题10分,共6道小题,60分。

第三部分、考试复习范围

一、选择题

1．含n个元素的集合A的幂集的元素个数为多少？

答案：2n个。

2．数理逻辑的创始人是谁？

答案：莱布里茨。

3．设(R,+,?)是环,它有哪些特性？

答案：1.(R,+)是阿贝尔群。2.(R,?)是半群。3.?对+可分配。 4．排中律满足哪些性质？

答案：A ∧ 不成立。（不应同时否认一个命题（A ）及其否定（非A ））

x （F （x ）∨F （x ））对任何个体x 而言,x 有性质F 或没有性质F 。

5．什么是真命题？命题“如果雪是黑的,则1+1=0”是真命题吗？

答案：真值为真的命题为真命题。命题“如果雪是黑的,则1+1=0”是真命题！

解析：p:雪是黑的；q:1+1=0;如果雪是黑的,则1+1=0:p →q 。由于p 为假,所以无论的真值如何,“p →q ”的真值都为真。 6. 下列哪个等价公式有错？

A ．P Q Q P →?→；

B ．P Q P Q →??∨；

C ．P Q Q P →??∨； 答案：A

7. 设G 为4阶有向图,度数列为（3,4,2,3）,若它的入度列为（1,2,2,1）,

则出度列为哪项？

A ．（1,2,1,2）；

B ．（2,2,0,2）；

C ．（2,1,1,2）． 答案：B

解析：有向图中：度数=出度数+入度数。 8. 设{}{},3,4,S a φ=,则表示空元素属于S 怎样写？ 答案:?∈S

9. 什么是前束范式？下面哪个是前束范式？

A

A ．(,)()()(,,)Q x z x y R x y z →?? ；

B ．()()(,)x y Q x y ??．

答案：前束范式：如果量词均在全式的开头,它们的作用域延伸到整个公式的末端,则该公式叫做前束范式。B 。

解析：如果量词均在全式的开头,它们的作用域延伸到整个公式的末端,则该公式叫做前束范式,显然B 选项满足定义。

9. 无向图G 中有16条边,且每个结点的度数均为2,则结点数是多少？ 答案：16

解析：由于每个结点的度数为2,所以可以排除G 中存在孤立点（度数为0）和悬挂点（度数为1）。由此可知,G 中的任何一个结点皆是使用一度与上一个结点相连再使用另一度与下一个结点相连,从而每条边与两个结点关联（上一个结点与下一个结点）,但是每个结点又与两条边相连,故结点数为：16×2÷2=16个。 10. 含n 个命题变元的命题公式的不同的真值指派有几种？ 答案：2n 种

11. 集合论的创始人是？ 答案：G.Cantor(康托尔) 13．以下推理错误的是？

A ．,P P Q Q ?∨?；

B ．,P P Q Q ∧??；

C ．,Q P Q P ?→?? 答案：B

14．设G 为4阶有向图,度数列为（4,4,2,2）,若它的入度列为（2,2,1,1）, 则出度列为哪项？C

A ．（2,1,1,2）；

B ．（1,2,1,2）；

C ．（2,2,1,1） 15．图论中的握手定理的内容是什么？

答案：握手定理：在任何（n,m）图G=（V,M）中,其所有结点度数之和等于边数m 的两倍,即：∑deg(v)=2m。

16．下面哪一种图不一定是树？

n-条边；

A．有n个结点1

B．无圈连通图；

C．每对结点间有唯一的一条路的图

D．无圈但增加一条边,就得到一个且仅有一个圈．

答案：A

17．对于任意素数p和正整数n,存在多少个元素的有限域？

答案： P n

18．下面所示的偏序集中,哪个是格？

答案：B

【解析】要想对偏序格进行正确地判断,前提是一定要吃透概念和定义：设(L,≤)是偏序集,若L中的任意两个元素组成的子集均存在上确界及下确界,则称(L,≤)为偏序格。另外,加设?≠S?L。

上确界：子集S的最小上界：lub(S)或sup(S)

下确界：子集S的最大下界：glb(S)或inf(S)

注意：1.只有一条线上的两个元素可以比较大小。未在一条线上的两个元素没有偏序关系（无法比较大小）2.若对于S

x≤,则a为S的上界,反之,为下界。

∈

a均有a

?,

x

L∈

?

A选项中{a,b}的下界元素有c和0,但是由于c和0无偏序关系而无法比较大小,导致{a,b}没有下确界。C选项{a,b}没有上确界。D选项{a,b}没有上、下确界,{c,d}没有上、下确界。

B选项中（{a,c}上确界:a,下确界:c;{a,b}上确界：1,下确界：c;{d,e}上确界：c,下确界：0；.....）任意两个元素组成的子集都存在上确界和下确界,故B选项是偏序格！

19．设)(x S 表示x 是学生。)(x T 表示x 是老师,),(y x A 表示x 钦佩y 。则命题“所有学

生都钦佩某些老师”符号化为后的表达式是什么？ 答案：)),()()((x y x A y T x S y →∧??

20．谓词公式()(()(,))()()

x P x yR x y Q x S x ?∨?→∨中量词（y ?）辖域是

答案：R(x,y)

21．图论的创始人是谁？ 答案：瑞士数学家L.Euler(欧拉)

22．两个图同构是指其中一个图近经过哪些变换可以变为另一个图？ 答案：1.挪动点的位置；

2.伸缩边的长短。 2

3. 什么是孤立点和悬挂点？

答案：孤立点：在任意图G(V,E)中,度数为0的结点。

悬挂点：在任意图G(V,E)中,度数为1的结点。

24.域和环相比增加了哪些要求？

答案：域：设(F,+,?)是环,若(F-{0},?)是阿贝尔群,则称(F,+,?)是域。 25.阿贝尔群具有哪些特点？比普通群增加了什么？

答案：阿贝尔群：设(G,?)是群,若其运算?是可交换的,则称(G,?)为阿贝尔群。 二、填空题

1．鸽笼原理是指什么？

答：n+1只或更多的鸽子飞进n 个笼子时,一定有一个笼子里面至少有2只鸽子。 2．哪位挪威数学家和法国数学家先后为群的研究做出了杰出的贡献？

答案：挪威数学家Niels Henrik Abel （尼尔斯·亨利克·阿贝尔）和法国数学家évariste Galois（埃瓦里斯特?伽罗瓦）为群的研究做出了杰出的贡献。

3．单独一个节点v构成的序列v到v的长度为多少的路？叫做什么？

答案：单独一个节点v构成的序列v到v的长度为0的路叫做平凡路

4．命题公式(p→q)→r的析取范式与合取范式各为什么？

答案：析取范式：r

r

(r

p∨

?

∧

∨

q

p∨

q

?

∧)

(

(合取范式：)

)

5．集合A, B的对称差A⊕B可以表示为什么？

答案：)

A?

-

?

B

A

)

(B

(

6．半群（S, *）满足哪些特性?

答案：S是非空集合,*是S上满足结合律的二元封闭运算。

7．在谓词逻辑中,命题“所有有理数是实数”符号化为什么？命题“有些实数是有理数”符号化为什么？

答案：设Q(x):x是有理数,R(x):x是实数。

则命题“所有有理数是实数”符号化为：))

x

Q→

?

R

(x x

)

(

(

命题“有些实数是有理数”符号化为：))

Q

x∧

x

?

)

(

R

(

(x

8．布尔代数的定义是怎样的?

答案：元素个数≥2的有补分配格称作布尔代数。

9．设R?A?A, 则R在A是反自反的充要条件是什么？

答案：I

R=?

A I

10．什么情况下称 f 是A到B的双射？

答案：f既是A到B的单射,也是A到B的满射时称f是A到B的双射。

11．补元的定义是怎样的？

答案：==A A U A A I Y ，?.则称A 是A 的补元。 12．什么是分配格？

答案：若格),(≤L 的乘法运算“?”对格的加法运算“+”相互可分配,则称),(≤L 是分配

格。

13．设(R,+,?)是环,怎样成为交换环、含幺环、无零因子环？ 答案：环的定义：(R,+,?)是含有两个二元运算的代数结构,若：

(1) (R,+)是阿贝尔群。 (2) (R,?)是半群。 (3) ?对+可分配。

则称(R,+,?)是环。另外：

R 中的乘法运算可交换,则称(R,+,?)是交换环。 R 中的乘法运算有幺元,则称(R,+,?)是含幺环。

14．命题公式中的对偶式分别是怎样定义的？

答案：将至多含有3个逻辑联结词（否定联结词,析取联结词,合取联结词）的命题公式A 中的析取联结词换成合取联结词,将1换成0,将0换成1,合取联结词换成析取联结词后所得到的命题公式A*称为命题公式A 的对偶式。 15．一个集合的上/下确界是怎样定义的？

答案：在偏序集(A,≤),?≠S ?A,S 的最小上界称为上确界sup(S),S 的最大下界称为下确界inf(S). 三、判断题

1． (A , f 1, f 2,…, f k )=(B , g 1, g 2,…, g k ) 表示这两个代数结构是同构的。 答：错。 (A , f 1, f 2,…, f k )?(B , g 1, g 2,…, g k )才表示这两个代数结构是同构的。

2．关系图G R 中的每一对不同点之间的边都是成对出现的,则称R 是对称的。 答：正确。

3．若(S, *)是有限半群,则一定存在幺元e,并构成独异点(S, *,e)。

答：错误。代数结构(S,*)中,若S 为有限集合,*是S 上满足结合律的二元封闭运算, 则称(S,*)为有限半群。例如：S={0,2,4},*8是模8乘法运算。则(S,*8)是有限半群, 但不存在幺元。

4．有向图G=(V, E)中的?u, v ∈V, u 和v 相互可达,则称G 为强连通图。 答：正确。

5．在关系图G R 中,对任意的x,y,z ∈A,只要x 到y 有边且y 到z 有边,就一定有x 到z 有边,则R 是传递的。 答：正确。

6．设,G *是一个群,a G ∈,则11()a --=0。

答：错误。设G 是非0实数集,*是其上的数的乘法运算,显然(G,*)是群。则任意属于 G

的元素x,其逆元X -1 = x 1

,从而(X -1)-1=X 。

7．设

,A ≤

是一个偏序集,如果A 中任意两个元素都有上确界和下确界,则称

,A ≤

是

一个格。

答：正确。也称(A,≤)为偏序格。

8．命题公式P Q →的逆反式是Q P ?→?。

答：正确。左边=P Q P Q Q P Q P ?→?=?∨=∨?=→=右边

9．图 是弱连通图。

答：正确。该图为强连通图且属于弱连通图。

10．A 上的关系R 是等价的意味着R 必须具有自反性、对称性和传递性。

答：正确。

11．若关系R的M R中主对角线元素全为1,则R是反自反的。

答：错误。若关系R的MR中主对角线元素全为1,表示R是自反的。

12．设R,S是集合A上的传递关系,则R?S一定是传递的。

答：错误。不一定：取A={a,b,c,d},令R={(a,b),(b,c),(a,c)},S={(b,c),(c,a),(b,a)},易知R,S 是A上的传递关系。然而,RοS={(a,c),(a,a),(b,a)},其中(b,a)∈RοS,(a,c)∈RοS,但是

(b,c)?RοS,因此RοS不传递。

13．对命题变元p和q,则命题公式p∧(p→?q）是中性的。

答：正确。

14．图是强连通图。

答：错误。应为弱连通图。

15．(R, +, ?)是环的主要特性之一是?对+可分配。

答：正确。

16．整数集合Z上的整除关系“|”是对称的。

答：错误。1|2,但是2不整除1,故整数集合Z上的整除关系“|”是反对称的。

17．实数集合R是的小于等于关系“≤”不是对称的。

答：正确。

18．任意非永假命题公式都存在多个的主析取范式。

答：错误。任意非永假（非永真）命题公式都存在唯一的主析取范式（主合取范式）。19．设A和B是两个命题公式,则A = B的充要条件是A?B为永真式。

答：正确。

20．

答：正确。

).

(

)

(B

A

B

A

B

A?

-

?

=

⊕

6⊕ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2

四、综合题：

1．设代数系统V=＜N 8,8⊕＞是群。 （1）写出运算表； （2）求每个元素的逆元 ；

（3）求元素2的阶及含2的各阶元素的子集A 使＜A,8⊕＞构成＜N 6,8⊕＞的子群。 解：(1)

(2) 0-1=0 1-1=5 2-1=4 3-1=3 (3) 元素4的阶为3, A={0,2,4}

2. 设集合A={1,2,3,5,6,10,15,30},“︱”是整除关系,代数系统 V=＜Ａ,︱＞是布尔格。

（1）画出偏序集V=＜Ａ,︱＞的哈斯图； （2）求出每个元素的补元；

（3）求A 的四元子集B,使＜B,︱＞是＜Ａ,︱＞的子格； （4）求A 的四元子集C,使＜C,︱＞是格,但不是＜Ａ,︱＞的子格。

解：哈斯图…………………………. .（2分）

1与30互补；…………………（1分）

2 与15互补；………………（1分）

3 与10互补；…………………（1分）

5 与6互补；…………………（1分）

B={1,2,3,6} (不唯一) ………………………………………（2分）

C={1,2,3,30} （不唯一）………………….…………………（2分）

3. 某电路中有一只灯泡和三个开关A, B, C。已知当且仅当在下述4种情况之一灯亮：（1）C的搬键向上,A和B的搬键向下；

（2）A的搬键向上,B和C的搬键向下；

（3）B和C的搬键向上,A的搬键向下；

（4）A和B的搬键向上,C的搬键向下.

令F表示灯亮,p, q, r分别表示A, B, C的搬键向上,求F=F(p, q, r)的逻辑表达式以及F的主合取范式。

解：)

∧

∧

?

?

∨

∧

∧

∨

=

∧

?

F?

∧

∨

∧

?

∧

?

(

)

q

)

(

p

(

)

p

(r

r

r

q

q

p

q

p

r

=001∨m011m

m

∨110

∨100m

∧111

∧101M

M

∧010M

=000M

∨

?

∨

∧

?

∨

?

∨

?

∨

∨

∨

=(主合取范式)

∧

p?

?

∨

∧

)

(

)

(r

(

)

)

(

q

p

q

p

r

r

p

r

q

q

4. 设集合Ａ＝{a, b, c, d},Ａ上的关系Ｒ＝{＜a, b ＞,＜b, a ＞,＜b, c ＞,＜c,d ＞},

用集合表示法求R 的自反闭包、对称闭包、传递闭包。 解：r(R)={＜a, b ＞,＜b, a ＞,＜b, c ＞,＜c,d ＞,,,,} S(R)={＜a, b ＞,＜b, a ＞,＜b, c ＞,＜c,d ＞,,}

t(R)={＜a, b ＞,＜b, a ＞,＜b, c ＞,＜c,d ＞,,,,,}

6．>*<,G 是一个群,而G a ∈,若f 是从G 到G 的映射,使得对每一个G x ∈,都有：

1)(-**=a x a x f 。试证明：f 是一个从G 到G 上的自同构。

证：首先证明f 是单射。

111212121

12,,()(),,.

x x G f x f x a x a a x a a a x x f f ---?∈=**=**=对若则有,该式两边同时左乘及右乘得,故为入射

其次证明f 是满射。

对1,,(),y G x a y a G y f x f -?∈=**∈=都存在使得因此是满射.

综合以上两点,知f 是双射。

1111212121212,,,()()()()(),.

x x G f x x a x x a a x a a x a f x f x f G G ---?∈*=***=*****=*最后对都有从而是到的自同构

6. 对于以下谓词公式的解释。

个体域D={1, 2}, 个体常量：a/1, b/2, 函词f ：f (1)/2, f (2)/1, 谓词P ：P(1,1)/1, P(1, 2)/1, P(2, 1)/0, P(2, 2)/0 分别求下列谓词公式在上述解释下的真值。 （1）P(f (a), a)∧P(f (b), b) （2）?y ?x P(y, x).

解：（1）P(f (a), a)∧P(f (b), b)

=P(f (1), 1)∧P(f (2), 2) =P(2, 1)∧P(1, 2) =0∧1=0 （2）?y ?x P(y, x). =?y (P(y, 1).∧P(y, 2)

=(P(1, 1).∧P(1, 2))∨(P(2, 1).∧P(2, 2)) =(1∧1)∨(0∧0)=1

7. 证明：（1）3-正则图的阶必为偶数；

（2）有n 个人,每个人恰有3个朋友,则n 为偶数。

证：（1）设G 是3-正则（n, m ）图,根据握手定理,有 3*n=2*m. 由于2|2m,因此2|n,即n 为偶数。

（2）将n 个人看做n 个节点,当两个人是朋友时,则在相应的两个节点之间连一条无

向边,于是得到一个无向图G 。 根据已知条件,G 是一个3-正则图,由（1）知,n 偶数。

7．用推理规则论证下述问题：,,A B C B C S A →?∨?∧???

证： 1 (A P 附加前提) 2 A B P →

3 1,2B T I

4 C B P ?∨?

5 3,4C T I ?

6 C S P ∧?

7 6C T I 8 5,7C C T I ∧? 由8得出了矛盾,根据归谬法说明原推理正确。 第二种方式： 证：(1)S C ?∧

P

(2)C T (1)I (3)B C ?∨? P (4)B ? T (2)(3)I (5)B A → P (6)A ? T (4)(5)I