数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析

一、数列的概念：

1.归纳通项公式：注重经验的积累

例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,......

(3), (17)

9

,107,1,23

2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)

2(,)

1(,11n S S n a a n n n

注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通

项）

例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11

,32n n n S n ，求n a .

3.数列的函数性质：

（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题：

单调性法；图像法

（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）

例3：已知数列}{n a 满足?????

<<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531

=a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列

1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）

例题：

例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1

a n －1

(n ≥2，n ∈N *

)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1

(n ∈N *)．

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1

a n －1 (n ≥2，n ∈N *

)，b n ＝1

a n －1

.

∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1

a n －1－1

＝

1?

??

??2－1a n －1－1

－1

a n －1－1

＝a n －1

a n －1－1－1a n －1－1

＝1. ∴数列{b n }是以－5

2

为首项，1为公差的等差数列．

(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋2

2n －7，

设函数f (x )＝1＋2

2x －7

，

易知f (x )在区间? ????－∞，72和? ??

??7

2，＋∞内为减函数．

∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3. 例5（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差

为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.

(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围． 解 (1)由题意知S 6＝

－15

S 5

＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.

所以???

??

5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.

解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0， ∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，

即2a 21＋9da 1＋10d 2

＋1＝0.

因为关于a 1的一元二次方程有解，所以

Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，

解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，

∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.

故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.

例6（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．

解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，

∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53

.

∴a n ＝20＋(n －1)×? ??

??－53＝－53n ＋65

3.

∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，

∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×? ??

??

－53＝130. 方法二 同方法一求得d ＝－53.

∴S n ＝20n ＋

n n －1

2

·? ????－53＝－56n 2＋1256n ＝－56? ?

?

??n －2522＋3 12524.

∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25，

∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.

所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．

令?????

a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②

由①得n <614；由②得n ≥51

4

，所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以

21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，

而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则

T n

＝?????

21n ＋n n －1

2

×－4 n ≤6

66＋3

n －6＋

n －6

n －7

2

×4 n ≥7

＝?????

－2n 2

＋23n n ≤6，2n 2

－23n ＋132 n ≥7.

例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3

例8等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ，且7453n n

S n

T

n

,

则使得n

n

a b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn

n=5,13,35）

例9已知数列{}n a 中，113a =，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足2

221n

n n S a S =-，

()()2

113

2214n n a n n ?=?=??

-?≥

则数列{}n a 的通项公式为

例10在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n

+=++，则n a = .

例11

设11a a -+是和的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .

例12 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为

（ ）

例13 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_

三、数列求和：

（1）倒序相加法 如

：

已

知

函

数

1

()()42

x

f x x R =

∈+，求

12

()()()m m

S f f f m m m

=++

+_________

（2）错位相减法：{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是等比数列。

（3）裂项相消法：形如)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（4）拆项分组法：形如n n n c b a ±=，

2ln n

+22,Z

3

k k ππ±∈

如：n n n a 32+=，65()2

()

n n

n n a n -?=?

?为奇数为偶数，21)1(n a n n ?-=-

练习： 1、数列1，211+，3211++，···，n

+++ 211的前n 项和为（ B ） A ．

122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．1

2+n n

2、数列,,16

1

7

,8

15,4

13,2

1

1 前n 项和=n S ． 3、数列{}n a 的通项公式为n

n a n ++=11，则S 100＝

_________________。

4、设()111

12

612

1n S n n =++

++

+，且13

4

n n S S +?=，则=n ．6

5、设*N n ∈，关于n 的函数21)1()(n n f n ?-=-，若)1()(++=n f n f a n ，则

数列}{n a 前100项的和=++++100321a a a a ________．答案：100． 解答：])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+?-+?-=++=-，

)12()1(+-=n n ，所以

201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a

100502=?=．

四、求数列通项式

（1）公式法：12

1+=+n

n a a ，112++-=?n n n n a a a a ，1

21+=+n n

n a a a 等

（2）累加法：形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-，且)(n f 不为常数

（3）累乘法：形如)2)((1≥?=-n n f a a n n 且)(n f 不为常数 （4）待定系数法：形如1,0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型

（5）转换法：已知递推关系0),(=n n a S f ???≥-==→-)

2(,)

1(,11

n S S n a a S n n n n

解题思路：利用???≥-==-)2(,)

1(,11

n S S n a a n n

n

变化（1）已知0),(11=--n n a S f ；（2）已知0),(1=--n n n S S S f

（6）猜想归纳法（慎用）

练习：

考点三：数列的通项式

1、在数列{}n a 中，前n 项和842--=n n S n ，则通项公式

=n a _______________

3、已知数列的前

n

项和

n

n S 23+=，则

=n a _______________1

5

12

2

n n n a n -=?=?≥?

4、已知数列{}n a ，

21=a ，231++=+n a a n n ，则 =n a )(,2

3*2N n n

n ∈+

5、在数列{}n a 中，1112,lg 1n n a a a n +??==++ ?

?

?

（*N n ∈），则n a ＝ . 6、如果数列{}n a 满足)(53111*++∈=-=N n a a a a a n n n n ，，则

=n a ________________

7、}{n a 满足11=a ，1

31+=

+n n n a a a ，则n a =_______132n -

8、已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a +=-，则通项公式n a =

121n -+

9、若数列{}n a 满足()*112,32n n a a a n N +==+∈，则通项公式n a =

10、如果数列{}n a 的前n 项和32

3

-=n n a S ，那么这个数列的通项公式是（ D ）

A ．)1(22++=n n a n

B ．n n a 23?=

C ．13+=n a n

D ．n n a 32?= 五、数列应用题： 等差数列模型

1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为 。30年

2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：

甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；

乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.

设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：

（1）若该人打算连续工作n 年，则在第n 年的月工资收入分别是多少元

（2）若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司为什么(精确到1元)

解：（1）设在甲公司第n 年的工资收入为n a 元，在乙公司第n 年的工资收入为n b 元

则2301270n a n =+，120001.05n n b -=? （2）设工作10年在甲公司的总收入为S 甲，在甲公司的总收入为S 乙

(10150045230)12304200S =?+??=甲

2000(1 1.05)

123018691 1.05

n S -=

?≈-乙

由于S S >乙甲，所以该人应该选择甲公司.

等比数列模型

例 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年度减少5

1

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加4

1。

（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a 、n b 的表达式；

（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入（精确到整数） 参考解答：

（1）1

2

511800511800511800800-?

?

? ??-++??? ??-+??? ??-+=n n a

???

???????? ??-=????

??????? ??++??? ??++=-n n 541400054545418001

2

1

2411400411400411400400-?

?

?

??+++??? ??++??? ??++=n n b

???

?????-??? ??=????

??????? ??++??? ??++=-145160054545414001

2n n

（2）解不等式n n a b >，得5≥n ，至少经过5年，旅游业的总收入

才能超过总投入.

六、2017年高考题

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，

648S =，则{}n a 的公差为（ ）

1.A

2.B 4.C 8.D

2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏

3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若

632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）

24.-A 3.-B 3.C 8.D

4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，

则“0>d ”是“5642S S S >+”的（ ）

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充

分也不必要条件

5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款

应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是02，接下来的两项是102,2，再接下来的三项是2102,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）

440.A

330.B 220.C 110.D

二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）

6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足

8,14411==-==b a b a ，2

2

a b =_______.

7.(2017年江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知367

63

44

S S ==

,，则8a =_______________． 8.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，

410S =，

则11

n

k k

S ==∑

． 9.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足3,13121-=--=+a a a a ，

则=4a __．

三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 10.( 2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列}{n a 前n 项和为n S ，等比数列

}{n b 前n 项和为.

2,1,1,2211=+=-=b a b a T n （1）若533=+b a ，求}{n b 的通项

公式； （2）若213=T ，求3S .

11.(2017年新课标Ⅰ文) 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知

.

6,232-==S S

（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并判断21,,++n n n S S S 是否成等差数列。

12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=…

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ??

?

?+??

的前n 项和；

13.(2017年天津卷文)已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*

()n S n ∈N ，

{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列2{}n n a b 的前n 项和

*()n ∈N ．

14.(2017年山东卷文)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且

121236,a a a a a +==.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）{}n b 为各项非零等差数列,前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列

n n b a ??

????前n 项和n T

15. (2017年天津卷理)已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，

{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列221{}n n a b -的前n 项和

()n *∈N .

16. (2017年北京卷理) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记

1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???，

其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．

（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，

n

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列．

17.(2017年江苏卷)对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：

1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，

则称数列{}n a 是“()P k 数列”．

（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；

（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．

18.（本小题满分12分）

已知}{n x 是各项均为正数的等比数列，且.2,32321=-=+x x x x （Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点

)1,(,),2,(),1,(11211+?++n x P x P x P n n 得到折线121+?n P P P ，

求由该折线与直线11,,0+===n x x x x y 所围成的区域的面积n T .

19.(2017年浙江卷)已知数列}{n x 满足：

).)(1ln(,1*111N n x x x x n n n ∈++==++