完全平方公式变形的应用练习题

乘法公式的拓展及常见题型整理

一．公式拓展：

拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+

a a a a 2)1(1222

+-=+a

a a a

拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()2

2

2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形

3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差

))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-

二．常见题型： （一）公式倍比

例题：已知b a +=4，求

ab b a ++2

2

2。

⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2

2

2

a c c

b b a -+-+-的值是

⑵1=+y x ，则2221

21y xy x ++=

⑶已知xy ２

y x ，y x x x -+-=---2

22

2)()1(则

=

(二）公式组合

例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2

(2)ab

⑴若()()a b a b -=+=2

2

713，，则a b 22

+=____________，a b =_________

⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2

＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22

，则a 为 ⑷如果2

2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2

=m ，(a —b)2

=n ，则ab 等于

⑹若

N b a b a ++=-2

2)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(2

2=-=+b a b a 求ab b a ++2

2的值为 。

⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求)

)((2

2

2

2

d c b a ++

（三）整体代入

例1：242

2

=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20

1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2

－ab －bc －ac 的值

⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=

⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=

⑶已知a 2

＋b 2

=6ab 且a ＞b ＞0，求

b

a b

a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x

b ，20082005+=x

c ，则代数式

ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

（四）步步为营

例题：3?(22+1)?(24+1)?(28+1)?(16

2+1)

6?)17(+?(72

+1)?(74

+1)?(78

+1)+1

()()()()()

224488a b a b a b a b a b -++++

1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

2

22222122009201020112012-++-+-ΛΛ

??? ??

-2211??? ??-2311??? ??-2411…??? ??-2

2010

11

（五）分类配方

例题：已知0341062

2

=++-+n m n m ，求n m +的值。

⑴已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。

⑵已知x2+y2-6x-2y+10=0，则11

x y

+的值为 。

⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 .

⑷若x y x y 2

2

46130++-+=，x ，y 均为有理数，求y

x 的值为 。

⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为

⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2

+y 2

-2x+2y+3的值总是正数.

（六）首尾互倒 例1：已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +

=++-求：（）

例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、22

1a a +和2

1??? ?

?-a a 的值；

⑴已知0132=--x x ，求①22

1x x +

= ②2

2

1x x -= ⑵若x 2

－ 219x ＋1=0，求4

41x x +

的值为

⑶如果12a a +

=,那么221

a a

+= 2、已知51

=+

x x ，那么

221x x +=_______ ⑷已知

31=-

x x ，则

221x x +的值是 ⑸若12a a

+

= 且0

的值是

⑹已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a

1

和221a a +的值为

⑺已知31=+x x ，求①221x x += ②44

1x

x +=

⑻已知a 2

－7a ＋1＝0．求a a 1+、22

1a a +和2

1??? ?

?-a a 的值；

（七）知二求一

例题：已知3,5==+ab b a ，

求：①2

2

b a + ②b a - ③2

2

b a - ④a

b

b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +

⑴已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ ⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.

⑶若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若

22a b +=7，ab =5，则a+b=

⑷若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=22

a b +=，a-b=5，则ab= ⑸若

22a b +=3，ab =-4，则a-b=

⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2= ⑺已知a ＋b=3，a 3＋b 3=9，则ab= ，a 2+b 2= ,a-b=

第五讲 乘法公式应用与拓展

【基础知识概述】

一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2

完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2

(a-b)2=a 2-2ab+b 2

变形公式：（1）()2

222a b a b ab +=+-

（2）()2222a b a b ab +=-+ （3） ()()2

22222a b a b a b ++-=+ （4） ()()2

2

4a b a b ab +--=

二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；

② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。

③ 注意公式的逆用。 ④ 2a ≥0。

⑤ 用公式的变形形式。

三、典型问题分析：

1、顺用公式： 例1、计算下列各题：

① ()()(

)()()2

2

4

488a b a b a b

a

b a b -++++

② 3(22+1)(24+1)(28+1)(16

2+1)+1

2、逆用公式：

例2. ①19492-19502+19512-19522+……+20112-20122

②??? ?

?-2211??? ?

?-2311??

? ??-2411……??

? ?

?-

220101

1

③ 2+2+×

【变式练习】

填空题：① 26a a ++＿＿= 2

__

a ?

? ??

?

+

②241x ++＿＿=（ 2)

6．x 2

+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ） A ．22 B ．－22 C ．±22 D ．0

3、配方法：

例3．已知：x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y 的值。

【变式练习】

①已知x2+y2-6x-2y+10=0，求11

x y

+的值。

②已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。

③当x = 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式()2

34x -+取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是

对于2243x x ---呢？

4、变形用公式：

例5. 若()()()2

40x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。 例6．化简：()()22

a b c d a b c d +++++--

例7. 如果2

2

2

2

3()()a b c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。

完全平方公式变形的应用练习题

一:

1、已知m 2

+n 2

-6m+10n+34=0，求m+n 的值

2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3．已知 2

()16,4,a b ab +==求22

3

a b +与2()a b -的值。

二：

1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。

3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值

5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。

6．已知222450x y x y +--+=，求21

(1)2

x xy --的值。

7．已知16x x -=，求221

x x

+的值。

8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）4

4

1x x +

9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

10、已知三角形

ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式

22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？

B卷：提高题

一、七彩题

1．（多题－思路题）计算：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－

4016

3

2

．

2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．

（1）一变：利用平方差公式计算：

22007

200720082006

-?

．

（2）二变：利用平方差公式计算：

2

2007 200820061

?+

．

二、知识交叉题

3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．

三、实际应用题

4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？

课标新型题

1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2

，（1－x ）（1+x+x 2

）=1－x 3

， （1－x ）（?1+x+x 2

+x 3

）=1－x 4

．

（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2

+…+x n

）=______．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：

①（1－2）（1+2+22

+23

+24

+25

）=______． ②2+22

+23

+ (2)

=______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99

+x 98

+x 97

+…+x 2

+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2

+ab+b 2

）=______． ③（a －b ）（a 3

+a 2

b+ab 2

+b 3

）=______．

2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．

3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，?将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．

4、探究拓展与应用

(2+1)(22+1)(24+1)

=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1) =(24－1)(24+1)=(28－1).

根据上式的计算方法，请计算

(3+1)(32

+1)(34

+1)…(332

+1)－2

364

的值.

“整体思想”在整式运算中的运用

“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：

1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932

-+x x 的值.

2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，168

3-=x c ，

求：代数式bc ac ab c b a ---++2

22的值。

3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(2

2

++y x 的值

4、已知2=x 时，代数式1083

5

=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式

835-++cx bx ax 的值

5、若123456786123456789?=M ，123456787123456788?=N

试比较M 与N 的大小

6、已知012

=-+a a ，求200722

3

++a a 的值.

一、填空（每空3分）

1.已知互为相反数，和b a 且满足()()2

2

33+-+b a =18，则=?3

2b a

2、已知：,5

2a n

=b n =4，则=n 610_______

3.如果2

2

12x x m -+恰好是另一个整式的平方，那么m 的值 4.已知2

264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 5.若a 2b 2

+a 2

+b 2

+1=4ab ，则a= ,b=

6.已知10m =4,10n =5,求103m+2n

的值

7.(a 2+9)2－(a+3)(a －3)(a 2

+9)= 8.若a －

a 1=2,则=-22

1a a a 4+41a

= 9.若2-x +π+y +(3-m)2=0，则(my)x

=

10.若2134825125255=n

n ，则=n ________

11、已知,32=n

m

()

=-n

n m m 22

234)3(_______

12.已知()()122

++=++ax x n x m x （n m ,是整数）则a 的取值有_______种

13.若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足03

222=-+-b c b c a b a ，则这个三角形 是

14.观察下列各式（x －1）（x ＋1）=x 2－1，（x-1）（x 2＋x ＋l ）=x 3－l ．（x －l ）（x 3＋x 2

＋x

＋l ）=x 4-1，根据前面各式的规律可得（x －1）（x n ＋x n-1

＋…＋x ＋1）＝ .

二、计算（每题6分）

（1）)52)(52(++-+-+z y x z y x （2）)32)(32(c b a c b a -++-

三、解答题

1.（5分）计算：)13)(13)(13)(13)(13(16

842+++++

2.（5分）若4x 2

+5xy+my 2

和nx 2

-16xy+36y 2

都是完全平方式，求(m-n

1)2

的值.

3.阅读下列材料：（1+1+5分）

让我们来规定一种运算：

c a d

b

=bc ad -， 例如：

42 53=212104352-=-=?-?，再如：1x 4

2

=4x-2 按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

21-- 5

.02= (只填最后结果); ②当x= 时,

1x 2

5.0x -=0; (只填最后结果) ③求x,y 的值，使8

15.0-x 3y =5.0x

1--y = —7（写出解题过程）.