概率论与数理统计课后习题答案____复旦版

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C不发生；

（3）A，B，C都发生；

（4）A，B，C至少有一个发生；

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C不都发生；

（7）A，B，C至多有2个发生；

（8）A，B，C至少有2个发生.

【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC

（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC

(5) ABC=A B C

(6) ABC

(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC

3. 略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.

【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]

=1-[0.7-0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？

（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）

=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

=1

4

+

1

4

+

1

3

-

1

12

=

3

4

7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2

张梅花的概率是多少？

【解】p=533213

1313131352

C C C C/C

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部

件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}

133

10350

1()C C /C 1960

P A == 13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次

抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

21

343

4

233377C C C 184(),

()C 35

C 35

P A P A ====

故 232322()()()35

P A A P A P A =+=

14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）

(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-?= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?=

15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325

p =

= 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，

求二人进球数相等的概率.

【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则

3

331212

3330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+ 22223

33C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)

? =0.32076 17． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

【解】 41111522224

10C C C C C 131C 21

p =-=

18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.

（1） ()0.1

()0.2()0.5

P AB p B A P A =

== （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=

21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”

等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.

22301604

P ==

23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()

()()()()()

P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -=

=

+- 0.70.51

0.70.60.54

-=

=+-

24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出

3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3

球均为新球}

由全概率公式，有

3

0()()()i i i P B P B A P A ==∑

3312321333

69968967963333333315151515151515

15

C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089

= 33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，1

4

，求将此密

码破译出的概率.

【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则

3

1231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-

423

10.6534

=-??=

34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，

若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

3

()(|)()i i i P A P A B P B ==∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示

取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

35

35

24

35

3,4,5

1

(3)0.1

C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

====

故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；

（2） X 的分布函数并作图； (3)

133

{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

31331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ========== 故X 的分布律为

X 0 1 2 P

2235 1235 135

（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435

当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数

0,

022

,0135()34,12351,2x x F x x x

(3)

1122()(),

2235333434

(1)()(1)0

223535

3312

(1)(1)(1)2235

341

(12)(2)(1)(2)10.

3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=

<<=--==--=

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.

312

322

3

3(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============

故X 的分布律为

X

0 1 2 3 P

0.008

0.096

0.384

0.512

分布函数

0,

00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x

=≤

≥??

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

4.（1） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

k

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .

（2） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知

1()e !

k

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

故 e a λ-=

(2) 由分布律的性质知

1

1

1()N

N

k k a

P X k a N

======∑∑

即 1a =.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)

(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+

(3,3)P X Y ==

331212

33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++

22223

33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)

+ 0.32076

= (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+

(2,1)

(3,1)(3,P X Y P X Y P X Y ==+==+=

=

123223

33C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+

=0.243

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）

(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=

0.1

0.1e

0.1e --=--? 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

14223

55C (1)C (1)p p p p -=-

故 1

3

p =

所以 4451210(4)C ()33243

P X ===.

9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）

5

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）

7

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）

t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）3

2

(0)e P X -== (2) 52

(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-

11.设P {X =k }=k k k p p --22)1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44)

1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5

9

，试求P {Y ≥1}.

【解】因为5(1)9P X ≥=，故4

(1)9

P X <=.

而 2(1)(0)(1)

P X P X p <===- 故得 24

(1),9p -=

即 1

.3p =

从而 465

(1)1(0)1(1)0.8024781

P Y P Y p ≥=-==--=≈

15.已知随机变量X 的密度函数为

f (x )=A e -|x |, -∞

求：（1）A 值；（2）P {0

=?

得

||

1e d 2e d 2x x A x A x A ∞

∞

---∞

===??

故 12

A =. (2) 11

011(01)e d (1e )22

x p X x --<<=

=-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时，0||0111

()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+??? 1

1e 2

x -=-

故 1e ,0

2

()11e 0

2

x

x x F x x -?

?-≥?? 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为

f (x )=?????<≥.100,0,100,1002

x x x

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】

（1） 150********

(150)d .3P X x x ≤==? 33128

[(150)]()327

p P X =>==

(2) 1223

124C ()339

p == (3) 当x <100时F （x ）=0

当x ≥100时()()d x F x f t t -∞

=?

100

100

()d ()d x f t t f t t -∞=+??

2100100100

d 1x

t t x

==-?

故 100

1,100()0,

0x F x x

x ?-

≥?=??

在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分

布函数.

【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为

1

,0()0,

x a

f x a

?≤≤?=???其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时0

1()()d ()d d x x x

x F x f t t f t t t a a

-∞

====???

当x >a 时，F （x ）=1

即分布函数

0,

0(),

01,

x x F x x a a x a

?? 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有

两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即

1

,25

()3

0,

x f x ?≤≤?=???其他 53

12

(3)d 33

P X x >==?

故所求概率为

223333

21220C ()C ()33327p =+= 习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现

正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3

1 0

13

1113C 2228??= 23111C 3/8222

??= 0 3

1

8

11112228

??=

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3

X Y

X Y

0 0 0

22324

7C C 3

C 35= 3132

4

7C C 2C 35

= 1 0

112

322

4

7C C C 6C 35

= 211322

4

7C C C 12C 35= 3132

4

7C C 2C 35

= 2

P (0黑,2红,2白)= 224227

1C C /C 35

= 1213224

7C C C 6

C 35= 22324

7C C 3

C 35

= 0

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=?????≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?

??

?

??

≤

<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin

434636

2(31).4

=--+=-

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=???>>+-.,

0,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.

【解】（1） 由-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞

+∞

+∞

+∞

+-∞

-∞

==

=?

?

?

?

得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d

y x

F x y f u v u v -∞-∞

=?

?

(34)340012e

d d (1

e )(1e )0,0,

0,0,

y y

u v x y u v y x -+--??-->>?==??

?????其他

(3) {01,02}P X Y ≤<≤<

1

2

(34)3800

{01,02}

12e d d (1e )(1e )0.9499.

x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈?

?

5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<<<--.,

0,

42,20),6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ；

（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞

-∞

-∞

=--==??

?

?

故 1

8

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=??

1

3

0213(6)d d 88k x y y x =--=?? (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

??

??如图

1.5

40

2127d (6)d .832

x x y y =--=?? (4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=

??

??如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x

x x y y -=--=??

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=???>-.,

0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X

}.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1

,00.2,

()0.2

0,

.X x f x ?<

55e ,0,

()0,

.y Y y f y -?>=?

?其他 所以

(,),()()

X Y f x y X Y f x f y 独立 5515e

25e ,00.20,0.20,0,y

y x y --???<<>?==??

???且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

????如图

0.20.2

-550

-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.

x

y

x x y x

-==-+≈???

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=???>>----.,

0,

0,0),1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度.

【解】(42)28e ,0,0,

(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+?>>?==????

其他.

8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,

.y x x y x -≤≤≤≤???其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞

=?

x

204.8

(2)d 2.4(2),01,

=0,.

0,

y x y x x x ??--≤≤?=??

????其他

()(,)d Y f y f x y x

+∞

-∞

=?

12y

4.8(2)d 2.4(34),01,

=0,.

0,

y x x y y y y ?-?-+≤≤

?=?

?????其他

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<-.,

0,

0,其他e y x y

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞

=?

e d e ,0,

=0,.0,

y x x y x +∞

--??>?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=?

0e d e ,0,

=0,.0,

y

y x x y y --??>?=??

????其他

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???≤≤.,

0,

1,22其他y x y cx

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

(,)d d (,)d d D f x y x y f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

??

??如图

21

1

2-1

4

=d d 1.21

x

x cx y y c =

=?? 得 214

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞

=?

2124

22121(1),11,

d 8

40,0,.x x x x x y y ??--≤≤??==??????

?其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=?

52

2217d ,01,

4

20,0, .y y x y x y y -??≤≤??==??????

?其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<<.,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞

=?

1d

2,010,

.x x y x x -?=<

11

1d 1,10,

()(,)d 1d 1,01,0,

.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞

-∞

?=+-<

???

??

?其他

所以

|1

,||1,(,)(|)2()0,

.Y X X y x f x y f y x x

f x ?<

?其他 |1

, 1,1(,)1

(|),1,

()10,.X Y Y y

x y f x y f x y y x f y y

?<

?==-<

其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码

为X ，最大的号码为Y .

（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表 3 4 5 {}i P X x = 1

3511

C 10=

3522

C 10=

35

33

C 10=

6

10

Y X

2 0

3

511

C 10= 3

522

C 10

= 310 3 0 0

2

511

C 10

= 110

{}i P Y y = 110 310

610

(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010

P X P Y P X Y ===

?=≠=== 故X 与Y 不独立

13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8

0.8

0.05 0.12 0.03 0.2 {}i P X x =

0.2 0.42 0.38

(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===? 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.

14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为

f Y （y ）=?????>-.,

0,

0,212/其他y y e

（1）求X 和Y 的联合概率密度；

（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.

【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <

1e ,1,

()20,y

Y y f y -?>?==???

其他.

故/2

1e

01,0,(,),()()2

0,

.

y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=??? 独立其他

X

Y

X Y

题14图

(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是

2(2)40X Y ?=-≥

故 X 2≥Y ， 从而方程有实根的概率为：

2

2{}(,)d d x y

P X Y f x y x y ≥≥=

??

2

1

/2001d e d 2

12[(1)(0)]0.1445.

x y x y

π-==-Φ-Φ=??

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

X -1 0 1

2

P 1/8 1/2 1/8

1/4

求E （X ），E （X 2），E （2X +3）.

【解】(1) 11111

()(1)012;82842E X =-?+?+?+?=

(2) 2222211115

()(1)012;82844

E X =-?+?+?+?=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=?+=

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 411090

5100C C 0C = 5

105

100

C 0C =

故 ()0.58300.34010.07020.0073

E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5

2

0()[(

)]i i i D X x E X P ==-∑

2

22

(00.501)

0.583(10.501)0.340

(50.501)0

0.432.

=-?+-?++-?=

4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任

取1球为白球的概率是多少？

【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

0(){|}{}N

k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式

1{}{}

1().N

N

k k k P X k kP X k N N

n E X N N

=====

===∑∑

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

?

??≤≤-<≤.,0,21,2,

10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）. 【解】1

2

2

1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞

==+-?

??

2

1

3

32011 1.33x x x ??

??=+-=???????

?

12

22320

1

7

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

?

?? 故 221

()()[()].6

D X

E X E X =-=

6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .

【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++

25311144

=?+?+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()

4()

Y Z E Y E Z E X - 因独立 1184568

=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，

求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=?-?=

(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<<<.,

0,

0,10,其他x y x k

试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因10

1

(,)d d d d 1,2

x

f x y x y x k y k +∞+∞

-∞

-∞

==

=?

?

??故k =2 1

()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞

+∞

-∞

-∞

===?

?

??.

9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x ）=???≤≤;,0,

10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,

.

y y --?>?

?其他

求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值

102()2d ,3E X x x x ==? 5

(5)5

()e

d

5

e d e d 51 6.

z y y z

z

E Y y y z z

z +∞+∞

+∞=-----=+=+=?

??

令 由X 与Y 的独立性，得

2

()()()6 4.3

E XY E X E Y ==?=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为

(5)2e ,01,5,

(,)()()0,

,y X Y x x y f x y f x f y --?≤≤>==?? 其他

于是

1

1

(5)

2

(5)5

5

2

()2e

d d 2d

e d 6 4.3

y y E XY xy x x y x x y y +∞+∞

----===?=?

?

??

10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为

f X （x ）=???≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=??

?≤>-.

0,

0,

0,

44y y y e