材料习题解答第五章

5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。

题5-1图

解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；

2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。

b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T 与2T 作用面之间的轴段上表面各点；

2）应力状态见下图。

c) 1) 危险点： A 点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；

2）应力状态见下图。

d) 1）危险点：杆件表面上各点； 2）应力状态见下图。

5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa ）。

A

A

T

（a ） （c ） （d ）

3

64d Fl πτ=a)

b) c) d)

10

题5-2图

解： a)

1

σ=50 MPa,

2

σ=

3

σ=0,属于单向应力状态

b)

1

σ=40 MPa,

2

σ=0,

3

σ=－30 MPa，属于二向应力状态

c)

1

σ=20 MPa,

2

σ=10 MPa,

3

σ=－30 MPa，属于三向应力状态

5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。

题5-3图

解：

a)取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：

x

σ=50MPa ,

y

σ=30MPa ,

x

τ=0, α=－30ο

带入式（5-3），（5-4）得

=45MPa

= -8.66MPa

b)取水平轴为x轴，根据正负号规定：

x

σ= -40MPa ,

y

σ=0 ,

x

τ=20 MPa , α=120ο

带入公式，得：

ο

ο240

sin

20

240

cos

2

40

2

40

-

-

-

+

+

-

=

α

σ=7.32MPa

a) b) c)

a) b) c)

x τ=

οο240cos 20240sin 2

40+--=7.32MPa c) 取水平轴为x 轴，则

x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30ο

代入公式得：

οο60sin )30(60cos 240

1024010----++-=

ασ=28.48MPa x τ=οο60cos 3060sin 2

4010---=-36.65MPa

5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa ）。试用解析法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

题5-4图

a) 解：（1）求指定斜截面的上应力

取水平轴为x 轴，则 x σ=100MPa , y σ=40MPa , x τ=40MPa,α=45ο 带入公式，得:

οο90sin 4090cos 240

100240100--++=

ασ=30 MPa ατ=οο90cos 4090sin 2

40100+-= 30MPa

(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

=20120402401002401002

2

=

+??

? ??-±+ MPa 按代数值321σσσ≥≥ 得

1201=σ MPa ，202=σ MPa ，03=σ MPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 02α=ο13.53 ，0α=ο57.26

b)

c)

a)

最大主应力1σ的方向与x 轴正向夹角为顺时针ο57.26

3）最大切应力

由公式（5-20） 602

1202

3

1max =-=

-=

σστMPa b ）解： （1） 求指定斜截面上的应力

取水平轴为x 轴，x σ=60MPa , y σ= -20MPa , x τ= -30MPa,α= -30ο

代入公式得:

)60sin(30)60cos(2)

20(602)20(60οο-+---+-+=

ασ=14.02MPa ατ=οο)60cos(30)60sin(2

)20(60-----= -49.64MPa

(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

3070)30(2)20(602)20(602

2

-=-+?

?

? ??--±-+=MPa 按代数值321σσσ≥≥ 得

701=σ MPa ，02=σ MPa ，303-=σ MPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 02α=ο87.36 ，0α=ο43.18

最大主应力1σ的方向与x 轴正向夹角为逆时针ο57.26 如图所示： 3）最大切应力 由公式（5-20） 502

)

30(702

3

1max =--=

-=σστMPa c)解:

取水平轴为x 轴，则

x σ=60MPa , y σ=0 , x τ= -40MPa,α= -150ο

代入公式得：

οο)300sin()40()300cos(20

602060-----++=

ασ=79.64MPa x τ=ο)300cos(40)300sin(2

4060----=5.98Mpa

(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

2080)40(206020602

2

-=-+?

?

? ??-±+=MPa 按代数值321σσσ≥≥ 得

1201=σ MPa ，202=σ MPa ，03=σ MPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 02α=ο13.53 ，0α=ο57.26

最大主应力1σ的方向与x 轴正向夹角为逆时针ο57.26 如图所示： 3）最大切应力

由公式（5-20） 502

)

20(802

3

1max =--=

-=

σστ 5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa ）。试用图解法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

题5-5

图 解：(1)求指定斜截面上的应力

由图示应力状态可知x σ=40MPa , y σ=20MPa , x τ=10MPa, y τ=-10MPa

由此可确定σ-τ面内的D 、D ’两点，连接D 、D ’交于C 。以C 为圆心，DD ’为直径可做应力圆，斜截面与x 轴正方向夹角为60ο

，在应力圆上，由D 逆时针量取120ο

得E 点，

b)

c) a)

按比例量的E 点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：

ασ=E x =60MPa ，ατ=E y =3.7MPa

（2）求主应力及其方程

应力圆中A 、B 两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：

A x =max σ=44.14MPa ，

B x =min σ= 15.86Mpa

按照 321σσσ≥≥得约定，可得三个主应力为：1σ =44.14MPa ，2σ =15.86MPa ，3σ =0MPa 由D 转向A 的角度等于20α。量得 20α=45ο（顺时针）因此，最大主应力与x 轴正方向夹角为顺时针22.5ο。

（3）最大切应力等于由1σ3σ画出的应力圆的半径m ax τ=22.07MPa b)解：首先做应力圆：其中 D （0，-20） D '（50，+20）

1）斜截面与y 轴正方向夹角45ο（逆），因此从D '逆时针量20α=90ο

得E 点： E x =ασ=5MPa ，E y =ατ=25Mpa 2) A x =m ax σ=57MPa ， B x =min σ= -7Mpa

按照321σσσ≥≥得1σ =57MPa ，2σ =0MPa ，3σ = -7MPa 主应力方向：最大主应力与y 轴夹角为ο33.192

1

'=∠CA D （顺） 3) 最大切应力等于由31,σσ画出的应力圆的半径： 32max =τMPa

(c)解： 由图示应力状态可得应力圆上两点D （-20，20）和 D '

（30，-20）

连DD '交σ轴于C, 以C 为圆心，DD '为直径作圆， 即为应力圆，如图所示

1） 斜截面与x 轴正方向夹角为 60ο (顺), 因此由D 顺时针量120ο得E 点 E x =ασ=34.82MPa ， E y =ατ=11.65MPa 2） 主应力及其方位

应力圆与σ轴的两个交点A,B 的横坐标即为两个主应力：

A x =max σ=37MPa ，

B x =min σ= -27Mpa 因此1σ =37MPa ，2σ =0MPa ，3σ = -27MPa

由D '到A 的夹角为逆时针38.66ο，因此最大主应力为由y 轴正方向沿逆时针量19.33ο所得截面上的正应力。

3） 最大切应力为由31,σσ画出的应力圆半径32max =τMPa

5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm 。试求：(1)梁上各指定点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。

题5-6图

解：

1） 各点的单元体及应力

由梁的静力平衡求得250==B A F F kN

A,B,C 三点所在截面上的弯矩6250025.0102503=??=M Nm 剪力250=Q F kN

22.01.06

162500??==

W

M A σPa=93.75MPa （压应力） 875.462

1==A B σσMPa （压应力）

75.182

.01.010250233

=???

=Pa C τMPa 06.144

3==C B ττMPa

2） 作各单元体的应力圆

A 点：75.93,0,0321-===σσσMPa ，m ax τ=46.875MPa

B 点： 9.31==σA x MPa ，7.503-==σB x MPa ，02=σ，m ax τ=27.3MPa

C 点： ==1σA x 18.75MPa ，==2σB x 0，3σ= -18.75 MPa ，m ax τ=18.75MPa

5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa ）。

题5-7图

b)

c) a)

解：

a) 主应力501=σ MPa ， 由于其它两方向构成纯剪切应力状态， 所以有， 2

3

1max σστ-=

=50MPa 。

b) 一个主应力为50MPa ，其余两个方向应力状态如图所示 x σ=30MPa ， y σ= -20MPa ，x τ=20MPa 代入公式（5-8）

2737202)20(302)20(302

2

-=+?

?

? ??--±-+=MPa 所以1σ =50MPa ，2σ =37MPa ，3σ = -27MPa

m ax τ=

2

3

1σσ-=

5.382

27

50=-MPa b) 一个主应力为-30MPa ，其余两方向应力状态如图所示 取 x σ=120MPa ， y σ= 40MPa ，x τ=-30MPa

代入公式2

2

min

max 22

x y x y

x τσσσσσ+???

? ?

?+±+=

30130)30(2401202401202

2

=

-+??

? ??-±+=MPa 所以1σ =130MPa ，2σ =30MPa ，3σ =0MPa

m ax τ=

231σσ-=802

)

30(130=--MPa 5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。

题5-8图

解：

a) 三个主应力为0,321===σσσσ 三向应力圆可作如下

b) 这是一个纯剪切应力状态τσστσ-===321,0,

其三向应力圆为

m ax τ=τ

三向应力状态：一个主应力为零

先做一二向应力状态的应力圆，得31,σσ再由21,σσ和32,σσ分别作应力圆 三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态

5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa ）。

题5-9图

解：

画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x 轴，则 x σ=？ , y σ=50MPa , x τ=？，α=30ο时ασ=80MPa, ατ=0 代入式（5-3）（5-4）

=80Mpa =0

x σ=70MPa , x τ=310- MPa

可做应力圆如图所示

由应力圆可求的三个主应力分别为

1σ =80MPa ，2σ =40MPa ，3σ =0MPa

最大切应力为m ax τ=40MPa

5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB 面上无应力作用。试求切应力τ和三个主应力。

题5-10图

解：

画出二向应力状态单元体，取水平方向为x 轴

则x σ=15MPa , y σ= -15MPa , x τ=τ，α=135ο时ασ=0, ατ=0

代入式（5-3）（5-4）

=0

=0 (自然满足)

由上式解得x τ=15MPa 主应力可由公式（5-8）求

300)15(2)15()15(2)15()15(2

2

-=

-+??

? ??---±-+-=MPa 因此三个主应力为 ：1σ =0，2σ =0，3σ =-30MPa

152

)

30(02

3

1max =--=

-=

σστMPa 5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa ）。试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A 点所在截面的位置。

d) e) f) 题5-11图

5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知：MPa 50MPa,40MPa,80===ασσσy x

。

试求主应力和最大切应力。

题5-12图

解：

x σ=80MPa , y σ=40MPa , x τ=τ，ασ=50MPa, α=60ο

将以上已知数据代入公式（5-3） x τ=0

再把x σ，y σ，x τ代入公式（5-8）求主应力

4080024080240802

2

=+?

?

? ??-±+=MPa 因此三个主应力为 ：1σ =80 MPa ，2σ =40 MPa ，3σ =-30MPa

m ax τ=

2

3

1σσ-=40MPa

5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面α和β上的应力分别为

MPa 60MPa,40==αατσ；

MPa 60MPa,200==ββτσ。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径R 。

题5-13图

解：

已知ασ=40MPa,βσ=200MPa,ατ=60MPa,βτ=60MPa

由上面两组坐标可得应力圆上两点D 1,D 2,连D 1D 2,作其垂直平分线交σ轴于C 点，以C 为圆心，CD 为半径作圆即为所求应力圆。

由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0)

半径 228060+=R =100

5-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K 任意两互垂方向的线应变ε'和ε''。试求所受拉力F 。已知材料弹性常数E 、ν，圆杆直径d 。

题5-14图

解：

围绕K 点取单元体，两截面分别沿 ε’和ε” 方向。 如下图所示 由广义胡克定律()y x E

μσσε-='1

联求解得 2

1"'μ

μ

εεσ-+=

E E x

我们还可以取K 点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面

截取

根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量

得：

又σ=

A

F 所以 F=σA=

2

4

11"'d E E πμεε-+

5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K 点与轴线成30°方向的线应变?30ε。试求外力偶矩T 。已知圆轴直径d ,弹性模量E 和泊松比ν。

题5-15图

解：

围绕K 点沿ε30ο方向和与之垂直的方向取单元体如左图 由沿横纵截面单元体如右图 由公式（5-3、5-4)得: 由胡克定律

又τ=316d T W T P π=， 16

3τπd T = 所以()

()

μεπμεπ+=

+=

124313162303303ο

οE d E d T

5-16一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为10×10×10mm 3，铝材的弹性模量E=70GPa ，ν=0.33。试求铝块受到F=6kN 的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。

题5-16图

解：

F 力作用面为一主平面，其上的正应力为 2

3

310

106?-=-=A F σMPa = -60MPa

前后面为自由表面，也为主平面，1σ=0 由题意知2ε=0 由胡克定律 2ε=

()()3121

σσμσ+-E

所以MPa 8.1932-==μσσ

()()))608.19(25.00(1020011

93211---?=+-=

σσμσεE =6102.376-? ()()))8.190(25.060(10

200119

2133---?=+-=σσμσεE =6

108.763-?- 所以 mm l l 3611110672.310102.376--?=??=?=?ε

5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45°方向的正应变?45ε，空心圆轴外径为D ,内外径之比为α。试求外力偶矩T 。材料的弹性常数E 、ν均为已知。

题5-17图

解：

受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45ο和

135ο面上主应力取得极大值和极小值，为主平面，1σ=τ， 3σ= -τ

由胡克定律 1ε=

()()311

σμσ-E

=ο45ε 代入化简得 ο451ετμ

=+e

所以 τ=

με+145οE 由受扭圆轴表面上一点剪应力公式()

4

3116απτ-==

D T W T P 5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K 点与轴线成45°方向的线应变

6451050-??=ε，材料的弹性模量Pa G 200E =,25.0=ν。试求梁上的载荷

F 之值。

题5-18图

解：

K 点的应力状态如图所示

其中τ由公式（3-40） 求得

又K 点有τσ-=3，135ο方向有τσ=1，代入到胡克定律 有 ()()()μτμττμσσε+=+=-=

111

3130E

E E ο

()

μετ+=

145ο

E Pa

比轴两式有()

25.01106000456+?

?=-ο

εE F =48000N=48kN

5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A 点在与水平线成60°方向上的正应变

460100.4-??=ε，直径

d =20mm ，材料的弹性模量3.0MPa,102003=?=νE 。试求载荷F 。

题5-19图

解：

A 点应力状态如图所示

由公式（5-3）

由胡克定律 又σ=A

F

所以

3.03104102004102041

)3(441

4

962602-???????=???

? ??-=?=--?πμεπσE d A F =37233.7N=37.23 kN 5-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB 线段长度的改变量。已知：AB 原长为

a ，与轴线成45°，B 点在中性层上，梁高为h ，宽为

b ，弹性模量为E ，泊松比为ν，弯矩

为M 。

题5-20图

解：

求AB 的伸长量需先求AB 方向的应变，去AB 中点位置C 其应力状态如图所示，其

中σ=

Z

C

I My σ=

3

12

145sin 21

bh a M

ο 由此可求出AB 方向及与其垂直方向的正应力

由胡克定律

5-21 用45°应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为ε0°=-267×10-6, ε45°

=-570×10-6及ε90°=79×10-6。构件材料为Q235钢，E=210GPa ，ν=0.3。试求主应变，并求出该点处主应力的数值和方向。 解：

由公式（5-36） 可求主应力：

()()()

()()

2

90452

4509002

11212οοοοοοεεεε

μεεμσ++-+±

+-=

E

E =

()()()

()()62

29910]795705702673.01210210792673.01210210[

-?--++-+?±+--?=

01

.11061.5310

01.1101061.536

6=??=

Pa MPa

由公式（5-34）求主应变，在此之前先由(5-33)求x γ 代入（5-34）

主应力与主应变同方向：由 （5-35）： 75.279

267952

20=---=-=y x x tg εεγα 2α0=70ο，α0=35ο

5-22 在某液压机上横梁的表面某点处，用45°应变花测得ε0°=51.6×10-6, ε45°=169×10-6及ε90°=-117×10-6。上横梁的材料为铸铁，E=110GPa ，ν=0.25。试求该点处主应力的数值和方向。 解：

由公式（5-36）

03

.2444

.14-=

MPa 所以1σ=14.44MPa, 2σ=0, 3σ=-24.03MPa 主应力方向 =2.393

2α0=67.32

ο

, α0=33.66ο

5-23单元体受应力如图5-46所示（应力单位为MPa ）。试：(1)作三向应力图，并比较两者的max τ；(2)将单元体的应力状态分解为只有体积改变及只有形状改变的应力状态；(3)求图5-46b 所示应力状态的形状改变比能（3.0Pa,G 200E =ν=）。

题5-23图

a) 解：

1) 作三向应力状态的应力圆

=73.3MPa

7.863.73160'11=-=-=m σσσ MPa 3.133.7360'22-=-=-=m σσσ MPa 3.733.730'33-=-=-=m σσσ MPa 802

160max =-=τ MPa b) 752)30(120max

=--=τMPa

7.46)3050120(3

1

)(31321=-+=++=σσσσm MPa

3.737.46120'11=-=-=m σσσ MPa 3.37.4650'22=-=-=m σσσ MPa 7.767.4630'33-=--=-=m σσσ MPa

=36.617×103 J/m 3

5-24试证明圆轴纯扭转时无体积改变。 解： 纯剪切应力状态0=+y x σσ

因为min max σσσσ+=+y x 所以0min max =+σσ

而第三向主应力本来就是零，因此0,0321==++m σσσσ 体积变形比能与m σ成正比，所以0=V v