高三数学一轮复习学案概率统计
高三数学一轮复习学案概率统计
【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然咨询题的方法，
在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用咨询题取材的范畴，概率的运算、离散型随机变量的分布列和数学期望的运算及应用差不多上考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式显现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识不等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用咨询题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识不及概率运算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必定思想的运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和差不多方法．该部分在高考试卷中，一样是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点要紧有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估量，正态分布，线性回来等．【例题解析】
题型1 抽样方法
【例1】在1000个有机会中奖的号码〔编号为000999-〕中，在公证部门监督下按照
随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 〔 〕A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ． 分层抽样 D ．以上均不对
分析：实际〝间隔距离相等〞的抽取，属于系统抽样．
解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，
388，488，588，688，788，888，988．答案B ．
点评：关于系统抽样要注意如下几个咨询题：〔1〕系统抽样是将总体分成均衡几个部
分，然按照预先定出的规那么从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样
方法．〔2〕 系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一
段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规那么抽取样本．〔3〕适用范畴：个体数较多的总体．
例2〔2018年高考广东卷理3〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．在
全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校
抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔 〕
A ．24
B ．18
C ．16
D ．12
分析：依照给出的概领先求出x 的值，如此就能够明白三年级的学生人数，咨询题就解决了．占全校学生总数的19%，
解析：C 二年级女生即20000.19380x =?=，如此一年级和二年级学生的总数是
3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生
一年级 二年级 三年级
女
生 373 x y
男生
377 370 z
应是64500162000?=．答案C ．点评：此题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析咨询题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为动身点考查随机抽样和分层抽样的知识．
例3．〔2018江苏泰州期末第2题〕一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000
人，并依照所得数据画了样本的频率分布直方图〔如以下图〕．为了分析居民的收入
与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人
作进一步调查，那么在[)2500,3500〔元〕月收入段应抽出 人．
分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．
解析：依照图能够看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是
()0.00050.00035000.4+?=，
故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000?=，故抽取25人．
点评：此题把统计图表和抽样方法结合起来，要紧目的是考查识图和运算能力．
题型2统计图表咨询题
例4〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第2题〕从某校高三年级随机
抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情形进行统计，其结果的频率
分布直方图如右图：假设某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，那么该班学生中能报
A 专业的人数为
A ．10
B ．20
C ．8
D ．16
分析：依照图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．
解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++?=，人数为0.45020?=．
点评：在解决频率分不直方图咨询题时容易显现的错误是认为直方图中小矩形的高确实是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题〕某篮球运动员在一个赛季的40场竞赛中的得分的茎叶图如下图，那么这组数据的中位数是 ；
众数是 ．
分析：依照茎叶图和中位数、众数的概念解决．
解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个〔或
是最中间两个数的平均数〕，故从茎叶图能够看出中位数是23；而众数是样本数据中
显现次数最多的数，故众数也是23．
点评：一表〔频率分布表〕、三图〔频率分布直方图、频率折线图、茎叶图〕、三数〔众
数、中位数、众数〕和标准差，是高考考查统计的一个要紧考点．
例5〔2018高考广东文11〕为了调查某厂工人一辈子产某种产品的能力，随机抽查了20
位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，
[)[)[)55,65,65,75,75,85，
[)85,95由此得到频率分布直方图如图，那么这20名工人中一天生产该产品数量在
[)55,75 的人数是 ．
分析：找出频率即可．
解析： ()200.0400.00251013?+?=????．
点评：此题考查频率分布直方图，解题的关键是明确那个直方图上的纵坐标是频率/组
距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．
题型3 平均数、标准差〔方差〕的运算咨询题
例6 〔2018高考山东文9〕从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，那
么这100 人成绩的标准差为〔
〕A ．3 B ．2105 C ．3 D ．8
5
分析：依照标准差的运算公式直截了当运算即可．
解析： 平均数是
5204103302301103100
?+?+?+?+?=，标准差是()()()()()22222
2053104330333023101310080103040821010055s ?-+?-+?-+?-+?-=+++===．
答案B ．
点评：此题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题
的关键是正确明白得统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清
晰，解答并不困难．
例7．〔中山市高三级2018—2018学年度第一学期期末统一考试理科第9题〕假设数
据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，那么数据
12331,31,31,
,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．分析：依照平均数与方差的性质解决．
解析：16,18
例8．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第3题〕如图是2009年元旦晚会举
办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分
和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分不为
A ． 84，4.84
B ．84，1.6
C ． 85，1.6
D ．85，4
解析：C
题型4 用样本估量总体
例8〔2018高考湖南文12〕从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自
理的情形如
下表所示：
那么该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．
解析：60 由上表得23211500023060.500
-?=?=点评：考查样本估量总体的思想．
题型5．线性回来分析
例9．〔2007高考广东〕下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的
产量x 〔吨〕与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对比数据
3
6
2.5
4.5〔1〕请画出上表数据的散点图；
〔2〕请依照上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回来方程y bx a =+；
〔3〕该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试依照〔２〕求出的线性回来
方程，推测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
分析：此题中散点图好作，此题的关键是求y 关于x 的线性回来方程y bx a =+，它既
能够由给出的回来系数公式直截了当运算，也能够遵循着最小二乘法的差不多思想――
即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．
解析：
〔1〕散点图如右；
〔2〕方法一：设线性回来方程为y bx a =+，那么
2222
22222
(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52
b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-，
即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．
因此线性回来方程为0.70.35y x =+．
方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -??-===
==-?93.50.70.352
a =-?=，因此线性回来方程为0.70.35y x =+．〔3〕100x =时，0.70.3570.35y x =+=，因此推测生产100吨甲产品的生产能耗比技
术改造前降低19.65吨标准煤．
点评：此题考查回来分析的差不多思想．求线性回来方程的方法一这实际上是重复了回
来系数公式的推导过程，那个地点的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即
()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而那个
时候，当13336172
a b -=
时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就能够解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回来系数的运
算公式，一样考试中都会给出那个公式，但要注意各个量的运算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估量值，不是完全确定的值．关于此题我们能够运算题目所给的数据
组的相关系数0.9899r =，相关指数2
0.98R =．这讲明x ，y 具有专门强的线性相关
性，讲明讲明变量对预报变量的奉献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有
约2%来自其它因素，这与我们的直观感受是十分符合的．此题容易用错运算回来系数
的公式，或是把回来系数和回来常数弄颠倒了．
例10．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试第17题〕为了分析某个
高三学生的学习状态，对其下一时期的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
数学 88 83 117 92 108 100 1
12
物理 94 91 108 96 104 101 1
06
〔1〕他的数学成绩与物理成绩哪个更稳固？请给出你的证明；
〔2〕该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，假设该生的物理成绩达到115分，
请你估量他的数学成绩大约是多少？并请你依照物理成绩与数学成绩的相关性，给出该
生在学习数学、物理上的合理建议．
分析：成绩的稳固性用样本数据的方差判定，由物理成绩估量数学成绩由回来直线方程
解决．
解析：〔1〕12171788121001007
x --+-++=+=； 69844161001007
y --+-+++=+=；
2994==1427S ∴数学，2250=7
S ∴物理， 从而2
2S S >数学物理，因此物理成绩更稳固． 〔2〕由于x 与y 之间具有线性相关关系，依照回来系数公式得到
497??0.5,1000.510050994b a ===-?=， ∴线性回来方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳固性，将有助于物理成绩的进一步
提高．
点评：?考试大纲?在必修部分的统计中明确指出〝①会作两个有关联变量的数据的散点
图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能依照给出的线
性回来方程系数公式建立线性回来方程〞．2007年广东就以解答题的方式考查了那个
咨询题，在复习备考时不可掉一轻心．
题型6 古典概型与几何概型运算咨询题
例11 〔2018高考江苏2〕一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ．
分析：枚举差不多事件总数和随机事件所包含的差不多事件的个数后，依照古典概型的
运算公式运算．
解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，差不多事件的总数是36，故那个概率是
31369
=．或是数形结合处理． 点评：古典概型的运确实是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概
率的综合性咨询题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的运算．
例12．〔2018年福建省理科数学高考样卷第4题〕如图，边长为2的正方形内有一内
切圆．在图形上随机投掷一个点，那么该点落到圆内的概率是
A ．4π
B ．4π
C ．44π-
D ．π
分析：确实是圆的面积和正方形面积的比值．
解析：依照几何概型的运算公式，那个概率值是4
π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一样有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性
地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率运算一起进行综合考查．
例13．〔2018高考山东文18〕现有8名奥运会理想者，其中理想者123A A A ，，通晓日
语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的理想
者各1名，组 成一个小组．
〔1〕求1A 被选中的概率；
〔2〕求1B 和1C 不全被选中的概率．
分析：枚举的方法找出差不多事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典
概型的运算公式解决．
解析：〔1〕从8人中选出日语、俄语和韩语理想者各1名，其一切可能的结果组成的差
不多事件空间
Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，
231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}
由18个差不多事件组成．由于每一个差不多事件被抽取的机会均等，因此这些差不多
事件的发生是等可能的．
用M 表示〝1A 恰被选中〞这一事件，那么
M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}
事件M 由6个差不多事件组成，因而61()183
P M ==． 〔2〕用N 表示〝11B C ，不全被选中〞这一事件，那么其对立事件N 表示〝11B C ，全
被选中〞这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，}，事件N 有3个差不多事件组成， 因此31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166
P N P N =-=-=． 点评：此题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、〝正难那么反〞
等数学思想方法，考查分析咨询题解决咨询题的能力．
题型7 排列组合〔理科〕
例14．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第9题〕由0,1,2,3,4这五个数字
组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,那么19a =
A ．2014
B ．2034
C ．1432
D ．1430
分析：按照千位的数字查找规律． 解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小
的一个，即2014，答案A ．
例15．〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题〕有3张都标着字母
A ，6张分不标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，假设任取其中6张卡片组成牌号，那么能够组成的不同牌号的总数等于 ．〔用数字作答〕
分析：由于字母A 是一样的，没有区不，故能够按照含有字母A 的多少分类解决，如
含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上
安排数字．
解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =?=；含两
个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为
72043205400240012840+++=．
点评：解决排列、组合咨询题的一个差不多原那么确实是先对咨询题分类、再对每一类
中的咨询题合理地分步，依照排列组合的有关运算公式和两个差不多原理进行运算．
题型8 二项式定理〔理科〕
例15．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第12题〕
1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分
图象 如下图，那么实数a 的值为___________．
分析：依照点列的图能够明白012,,a a a 的值，即能够通过列方程组解决．
解析：由图123,4a a ==，又依照二项展开式113n n a C a na -===，
()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13
a =． 点评：此题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的咨询题，解决咨询题的差不多
动身点是方程的思想．
例16〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第4题〕
假设23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，那么5a 等于
A ．56
B ．56-
C ．35
D ．35- 分析：依照展开式的系数之比求出n 值．
解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．
点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区不，不把符号弄错了．
题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差〔理科的重要考点〕
例17．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第19题〕在一个盒子中，放有标
号分不为1，2，3的三张卡片，现从那个盒子中，有放回．．．
地先后抽得两张卡片的标号分不为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．
〔1〕求随机变量ξ的最大值，并求事件〝ξ取得最大值〞的概率；
〔2〕求随机变量ξ的分布列和数学期望．
分析：依照对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量能够取那些值，然后依
照其取这些值的意义，分不运算其概率．
解析：〔1〕x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，
3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值
为3 ．
有放回抽两张卡片的所有情形有933=?种，9
2)3(=
=∴ξP ． 〔2〕ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情形，
1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情形，
2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情形．
91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，9
2)2(==ξP ． 那么随机变量ξ的分布列为：
因此，数学期望9
93929190=?+?+?+?=ξE ． 点评：有放回的〝取卡片、取球〞之类的咨询题，其差不多事件的总数要由分步乘法计
数原明白得决，这是一类重要的概率模型．
例18．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试加试第4题〕某次乒乓
球竞赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，竞赛采纳五局三胜制，按以往竞赛体会，甲胜
乙的概率为23
． 〔1〕求竞赛三局甲获胜的概率；
〔2〕求甲获胜的概率；
〔3〕设甲竞赛的次数为X ，求X 的数学期望．
分析：竞赛三局甲即指甲连胜三局，能够按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式运
算，也能够将咨询题归结为三次独立重复试验，将咨询题归结为独立重复试验概型；甲
最后获胜，能够分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲竞
赛的次数也确实是本次竞赛的次数，注意当三局就终止时，可能是甲取胜也可能是乙取
胜等．
解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，
〔1〕竞赛三局甲获胜的概率是：333328()327
P C ==
； 〔2〕竞赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327
P C ==； 竞赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381
P C ==； 甲获胜的概率是：3456481
P P P ++=． 〔3〕记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．
333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；
1882168107()3()4()5()27272727818127
E X =?++?++?+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为差不多考查点的概率试题，但那个地点又不是单
纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类
竞赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．
题型11 正态分布
例19.〔2018高考湖南理4〕设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,假设
(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,那么c = ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
分析：依照正态密度曲线的对称性解决．
解析：B 依照正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2
x =对称，故1122
c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．
例20〔2018高考安徽理10〕设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和
2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如下图．那么有
A ．1212,μμσσ<<
B ．1212,μμσσ<>
C ．1212,μμσσ><
D ．1212,μμσσ>>
分析：依照正态密度曲线的性质解决．
解析：A 依照正态分布),(2
σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，
在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反
过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．
点评：考试大纲对正态分布的要求是〝利用实际咨询题直方图，了解正态分布曲线的特
点及曲线所表示的意义〞，那个考点多次显现在高考试卷中．
【专题训练与高考推测】
文科部分
一、选择题
1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，通过适当的时刻后，再从池中
捕得100条鱼，假设其中有记号的鱼为10条，试估量鱼池中共有鱼的条数为〔〕A．1000B．1200C．130D．1300
2．x与y之间的一组数据：
x0123
y1357
那么y与x的线性回来方程为y a bx
=+必过点〔〕A．()
2,2B．()
1.5,0C．()
1,2D．()
1.5,4
3．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，假设采纳下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，那么每人入选的概率〔〕
A．不全相等B．均不相等
C．都相等，且为
2007
50
D．都相等，且为
40
1
4．依照某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，假设在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为〔〕A．15%B．20%C．45%D．65%
5．4张奖券中只有1张能中奖，现分不由4名同学无放回地抽取．假设第一名同学没有抽到中奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是〔〕A．
1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．1
6．有如下四个游戏盘，假如撒一粒黄豆落在阴影部分，那么可中奖．小明期望中奖，他应选择的游戏盘是〔〕
二、填空题
7．归直线方程为0.50.81
y x
=-，那么25
x=时，y的估量值为．8．假设由一个2*2列联表中的数据运算得2 4.013
K=，那么有把握认为两个变量有关系．
9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采纳分层抽样的方法进行抽样，甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，那么乙生产线生产了件产品．
10．如图：M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，
那么弦MN 的长度超过2R 的概率是 ．
三、解答题
11．一个质地平均的正方体玩具的六个面上分不写着数字1,2,3,4,5,6，现将那个正方体玩
具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分不为,a b ，曲线
:1x y C a b
+=． 〔1〕曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；
〔2〕曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率． 年收入x 〔万元〕 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y 〔万元〕 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．
理科部分
一、选择题
1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()22
2f x x bx a =++有两相异零点的概率是
〔 〕 A ．16 B ．14 C ．13 D ． 12
2．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分不为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，那么y 与x
的线性回来方程可能是
〔 〕 A ．1y x =+ B ．2y x =+ C ．21y x =+
D ．1y x =- 5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要
发生爆炸．炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第
三座军火库的概率为0.1，那么军火库发生爆炸的概率是 〔 〕
A ． 0.006
B ．0.4
C ． 0.5
D ． 0.6
6．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下
它上面的数字，然后把两数相加得和，那么取得的两球上的数字之和大于11或者能被4
整除的概率是 〔 〕
A ．1649
B ．1549
C ．27
D ．1349
7．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发觉该场地
内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据能够估量出
草坪的面积约为 〔 〕
A ．2768m
B ．21632m
C ．21732m
D ．2
868m
8．6名同学报考,,A B C 三所院校，假如每一所院校至少有1人报考，那么不同的报考方法
共有 〔 〕
A ．216种
B ．540种
C ．729种
D ．3240种
二、填空题
9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，
从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ．
10． 5)212(++x
x 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11． 假设2x =，那么50(1)x +展开式中最大的项是 项．
三、解答题
13．甲、乙两运动员进行射击训练，他们击中的环数都稳固在7,8,9,10环，且每次射击成
绩互不阻碍．射击环数的频率分布条形图如下：
假设将频率视为概率，回答以下咨询题．
〔1〕求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；
〔2〕假设甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．
15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：〔1〕有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；
〔2〕不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．
〔1〕依照表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；
〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．
【参考答案】
文科部分
1．解析：B 依照用样本估量总体的思想，池中有记号的鱼的频率是
110，故鱼池中鱼的条数是1200条．
4．解析：D 过样本中心点．选D ．
7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是2007
50． 8．解析：D 只有O 型和A 型，依照互斥事件的概率加法得结论为65%． 9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是
13． 10．解析：A 选择游戏盘的原那么是中奖的概率大，A 中中奖的概率是
38，B 中中奖的概率是13，C 中中奖的概率是44π-，B 中中奖的概率是1π
，比较大小即知． 11．解析：11.69 0.5250.8111.69?-=
12．解析：95%
13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．
14．解析：12
连接圆心O 与M 点，作弦MN 使090=∠MON ，如此的点有两个，分不记为12,N N ，仅当N 在不属于M 的半圆弧上取值时满
足MN >，现在
21180=∠ON N ，故所求的概率为2136018000=． 15．解析：差不多事件的总数是36．
〔1〕,a b
1≤，即22111a b
+≥，逐个检验， ()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率包含着11个差不多事件，故所求的概率是1136； 〔2〕曲线C 所围成的区域的面积是2ab ，即求25ab ≥的概率，差不多事件只能是
()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是
41369
=． 16．解析：〔1〕由题意知，年收入x 为讲明变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图〔如下图〕．
从图中能够看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此能够用线性回来方程刻画它们之间的关系．
6x =∵， 1.83y =，102
1406i i x ==∑，102135.13i
i y ==∑，10
1117.7i i i x y ==∑， 0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-?=．
从而得到回来直线方程为0.1720.798y x =+．
〔2〕0.17290.798 2.346y =?+=万元．
理科部分
1．解析：D 依照题意,a b 应满足22b a >，即b a >，以(),a b 为点，在aob 平面上，结合图形可知那个概率为12
． 2．解析：A 线性回来直线一定过样本中心点()2.5,3.5，应选A ．
3．解析：D 设A B C ，，分不表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件．那么()0.2P A =，
()0.3P B =，()0.1P C =．
设D 表示〞军火库爆炸〞，那么D A B C =．又A B C ，，∵彼此互斥，
()()()()()0.20.30.10.6P D P A B C P A P B P C ==++=++=∴．
4．解析：A 差不多事件总数为7749?=个，而满足条件的差不多事件个数为16个：
(13)(22)(31)(17)(26)(35)(44)，，，，，，，，，，，，，，(53)(62)(71)(57)(66)(75)(67)(76)(77)，，，，，，，，，，，，，，，，，． 故所求事件的概率为1649
．
5．解析：B 依照随机模拟的思想，能够认为树叶落在该场地上是随机的，如此椭圆草坪的
面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比．
23009660401632()300
m -??=． 6．解析：B 先将6名同学分成()()()1,1,4;1,2,3;2,2,2三组，再分配到三所院校．其中
()()
1,1,4,2,2,2涉及到平均分组，注意考虑分组的专门性．540!3121
332224262336111246=??
? ??++A C C C C C C C C ，选B ． 7．解析：二 2，80、60、50 总体人数为400302250952++=〔人〕，∵
9525190=……余2，400805=，3022605-=，250505
=，∴从高二年级中剔除2人，因此从高一，高二，高三年级中分不抽取80人、60人、50人．
8．解析：6322 5101(2)(22x x x x
++=，其展开式的第1r +项为10101022211010((22r r r r
r r r r x T C C x x ----+==，令10022
r r --=，那么5r =，即展开式中的常数项是第6项，该项的值为552106322
2
C -=，因此应填入22． 9．解析：30 设第1r +项为1r T +且最大， 那么有115050*********(2)(2)29(2)(2)
r r r r r r r R r r r r C C T T r T T C C --+++++??????=??????≥≥≥≥． ∴50(1)x +展开式中第30项最大．
10． 解析一：
〔1〕甲运动员击中10环的概率是：10.10.10.450.35---=
设事件A 表示〝甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)〞，那么()0.350.450.8P A =+=．
事件〝甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上〞包含三种情形：
恰有1次击中9环以上，概率为()()12
1130.810.80.096P C =-=；
恰有2次击中9环以上，概率为()()212230.810.20.384P C =-=·；
恰有3次击中9环以上，概率为()()303330.810.80.512P C =-=·． 因为上述三个事件互斥，因此甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率1230.992P P P P =++=．
〔2〕记〝乙运动员射击1次，击中9环以上〞为事件B ，
那么()10.10.150.75P B =--=．
因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，因此ξ的可能取值是0,1,2．
因为()20.80.750.6P ξ==?=；
()()()10.810.7510.80.750.35P ξ==?-+-?=；
()()()010.810.750.05P ξ==-?-=． 因此ξ的分布列是
因此00.0510.3520.6 1.55E ξ=?+?+?=．
解析二：
〔1〕设事件A 表示〝甲运动员射击一次，恰好命中9环以上〞(含9环，下同)，那么()0.350.450.8P A =+=．
甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为 ()3
00030.810.80.008P C =?-=·． 因此甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率010.992P P =-=． 〔2〕同解析一．
11．解析：〔1〕有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3．又由于每次取到
高中数学概率统计知识万能公式文科
高中数学概率统计知识万 能公式文科 The pony was revised in January 2021
第六部分 概率与统计万能知识点及经典题型Ⅰ 【考题分析】 1、考试题型：选择填空1个，解答题：18（必考） 2、考题分值：17分； 3、解答题考点：①频率直方图的应用，②线性回归直线的应用，③独立性检验和概率 4、难度系数：左右，（120分必须全对，100以上者全对） 【知识总结】 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数： 112212n n n x x x x ωωωωωω++???+= ++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n =-+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率
1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
高中数学《概率与统计》教学设计
高中数学《概率与统计》教学设计 课题:1.3抽样方法 教学目的:1理解什么是系统抽样 2.会用系统抽样从总体中抽取样 教学重点:系统抽样的概念及如何用系统抽样获取样本 教学难点:与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样,这是本节课的一个难点;当总体中的个体数不能被样本容量整除时,可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,使剩下的个体数能被样本容量整除,然后再按系统抽样进行,这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的.这是本节课的又一难点授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.在统计学里,我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体,从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量.总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样 3.⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 N 1;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n;⑵简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;⑶简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础. 4.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个编号(号码可从1到N,并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作,然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时
高三数学二轮学案(三角函数综合)
第5讲：三角函数的综合应用 一、考点检测 1． 已知x x x 2tan tan 24tan ，则=??? ??+ π的值为________________. 2． 已知=<<--=+??? ??+ ααπαπαcos ,02,534sin 3sin 则_____________. 3． 若 =-=-=-+)2tan(,2)tan(,3cos sin cos sin αββααααα则_______________. 4． 设α为锐角，若的值为则??? ? ?+=??? ??+ 122sin ,546cos παπα______________. 5． =--+)5tan 85(tan 10sin 20 sin 220cos 1o o o o o ________________. 二、热点透析 例1.已知函数??? ? ?+-+-=4sin )4sin(2)32cos()(πππ x x x x f （1） 求函数)(x f 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2） 求函数)(x f 在区间????? ?- 2,12ππ上的值域.
例2.已知102)4(cos =-π x ，?? ? ??∈43,2ππx (1) 求x sin 的值； (2) 求)32sin(π+ x 的值. 变式：已知向量)cos ,1()2,(sin θθ=-=→→b a 与互相垂直，其中），（2 ,0π θ∈. （1） 求θθcos sin 和的值. （2） 若2 0,1010)sin(π??θ<<= -，求?cos 的值.
例3.已知函数)12 17,(),(cos sin )(sin cos )(,11)(ππ∈+?=+-=x x xf x f x x g t t t f （1） 将函数)(x g 化简成[]） π?ω?ω2,0,0,0()sin(∈>>++A B x A 的形式； （2） 求函数)(x g 的值域. 变式：已知函数??? ?? +=12cos )(2πx x f ，x x g 2sin 211)(+= （1） 设0x x =是函数)(x f y =图像的一条对称轴，求)(0x g 的值. （2） 求函数)()()(x g x f x h +=的单调递增区间.
[精品]新高三数学第二轮专题复习概率与统计优质课教案
高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
高中数学统计与概率知识点(原稿)
高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
求数列通项专题高三数学复习教学设计
假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足
则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数
概率论与数理统计概率问题
选修2-3 2.2.1 条件概率 一、选择题 1．下列式子成立的是( ) A ．P (A | B )＝P (B |A ) B ．0
3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.215 D.115 [答案] C [解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C. 4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.35 [答案] B [解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件． 所以其概率为4361236 ＝13. 5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )
高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第一章
第1讲 集合及其运算 A 应知应会 一、 选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0},B ＝{x |x －1<0},则A ∩B 等于( ) A. (－∞,1) B. (－2,1) C. (－3,－1) D. (3,＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B 等于( ) A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1},B ＝{x |x 2－2x －3<0},则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x ＞－1} C. {x |1 B 巩固提升 一、 填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0,e x },B ＝{－1,0,1},若A ∪B ＝B ,则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0},B ＝? ??? ??x |2x ≤14 ,则(?R A )∩B ＝________． 3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z,A ＝{x |x ＝3n －1,n ∈Z},B ＝{x ||x |＞3,x ∈Z},则A ∩(?U B )中元素的个数为________． 4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x ＞0},N ＝{x |x 2－4≥0},则M ∪N ＝________． 二、 解答题 5. 设集合U ＝{2,3,a 2＋2a －3},A ＝{|2a －1|,2},?U A ＝{5},求实数a 的值． 6. 已知全集S ＝{1,3,x 3＋3x 2＋2x },A ＝{1,|2x －1|},如果?S A ＝{0},则这样的实数x 是否存在？若存在,请说明理由． 抽样方法（月日） 421 教学目标：了解简单随机抽样与分层抽样的概念，要求会用简单随机抽样和分层抽样这两种 常用的抽样方法从总体中抽取样本。 教学重点：会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本 教学难点：会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本 教学过程： 复习： 1.在统计里，我们把＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫总体，其中的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿叫个体，从总体中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫一个样本，样 本中＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做样本容量。 2.从5万多名考生中随机抽取500名学生的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均 成绩，指出：＿＿＿＿＿＿＿是总体，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是个体，＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是总体的一个样本，样本容量是＿＿＿＿＿＿。 3.我们在初中学习过一些统计知识，了解统计的基本思想方法是用样本估计总体，即通过不 是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本 的情况去估计总体的相应情 况，例如，我们通常用样本平均去估计总体平均数，这样，样本的抽取是否得当，对于研究 总体来说十分关键。 那么，怎样从总体中抽取样本呢？怎样使所抽取的样本能更充分地反映总体的情况呢？ 下面我们介绍两种常用的抽样方法：简单随机抽样和分层抽样。 二、新课讲授： 1.简单随机抽样： 假定一个小组有6个学生，要通过逐个抽取的方法从中取3个学生参加一项活动，第1 次抽取时每个被抽到的概率是＿＿＿，第2次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是＿＿， 第3次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是＿＿。 每次抽取时各个个体被抽到的概率是相等的，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的 概率是否确实相等？ 例如，从含有6个体的总体中抽取一个容量为2的样本，在整个抽样过程中，总体中的任意 一个个体，在第一次抽取时，它被抽到的概率是＿＿；若它第1次未被抽到而第2次被抽 a 到的概率是＿＿＿＿，由于个体第1次被抽到与第2次被抽到是＿＿＿（填互斥，独立） a 事件，根据＿＿＿事件的概率＿＿公式，在整个抽样过程中，个体被抽到的概率P＝＿＿ a ＿＿＿＿＿。又由于个体的任意性，说明在抽样过程中每个体被 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 平面向量及其线性运算 教学内容：平面向量及其线性运算（2课时） 教学目标：理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义，掌握平面向量的线性 运算（向量加法、减法、数乘）的性质及其几何意义，理解平面向量共线的条件 和平面向量的基本定理． 教学重点：平面向量的线性运算． 教学难点：用基底表示平面内的向量． 教学用具：三角板 教学设计： 一、知识要点 1. 平面向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量；向量的基本要素：大小和方向. （2）向量的表示： ①几何表示法；用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的 方向表示向量的方向；②字母表示：a 或AB . (3) 向量的长度（模）：即向量的大小，记作||a 或||AB . (4) 特殊的向量：零向量：0||=?=；单位向量：a 为单位向量?1||= . (5) 相等的向量：大小相等，方向相同的向量. (6) 相反向量：-=?-=?=+. (7) 平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行(共线)向量，记作∥. 2. 时, a a λ与, a a λ与异向； 0a =. ()()a a μλμ= μλμλ3.（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平 面内任一向量，有且仅有一对实数1λ，2λ，使2211e e λλ+=. 其中不共线的向量1e ，2e 称为基底. （2）向量共线定理：向量与向量共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得λ=， 即∥?)(≠=λ. 二、典型例示 例1 判断下列命题是否正确： ① 零向量没有方向；② 两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等； ③ 单位向量都相等；④ 在平行四边形ABCD 中，一定有DC AB =； ⑤ 若b a =，c b =，则c a =；⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ⑦ b a =的充要条件是||||b a =且a ∥b ；⑧ 向量AB 就是有向线段AB ； ⑨若AB ∥CD ，则直线AB ∥直线CD ；⑩ 两相等向量若共起点，则终点也相同. 解：只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确，是因为有向线段仅仅是向量的直观体 现，我们可以用有向线段来表示向量，但向量可以用不同的有向线段表示，只要 这些有向线段的长度相等方向相同即可，因此向量与有向线段是有区别的. 注：正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提． 例2 （1）化简下列各式：①++；②++)(； ③)()(+++；④++-；⑤)(--. （2）若B 是AC 的中点，则= ，= ，= . 注：正确运用向量的运算法则和运算律进行化简，尤其要注意差向量起点和终点的选择． 例3 已知32=，3 2=，则DE 等于（ ） A. 3 1 B. CB 31- C. CB 3 2 D. CB 32- 注：逆用向量的运算法则，体现逆向思维. 例4 设=，=，=，判断下列命题的真假：（1）若=++，则 三个向量可构成ABC ?；（2）若三个向量可构成ABC ?，则=++；并由此回答下列 问题：若命题甲为=++，命题乙为三个向量可构成ABC ?，则命题甲是命题乙的什 么条件？ 注：注意向量运算的几何意义，体现数形结合思想. 例5如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD 且CD AB 2=，M ，N 分别是CD 和AB 的中 点，设=，=，试用，表示和. 解：2 1++-=++= a b AB AD 2 121-=-=； DN MN 41412121-=-=++=++=. 注：关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径，然后再借助于向量的运算逐步转 化成用基底表示． 三、课堂练习 1．已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为（ ） A. 4233a b + B. 2433a b + C. 2233a b - D. 2233 a b -+ 2．已知,,AB a BC b CA c ===,则0a b c ++=是,,A B C 三点构成三角形的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 对平面内任意的四点A,B,C,D ，则AB BC CD DA +++= . 4. 化简： （1）AB BC CD ++=_____________； 专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定 第八章 解析几何 第41讲 直线的斜率与方程 A 应知应会 一、 选择题 1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－1 4 的直线方程为 ( ) A. 3x ＋4y ＋15＝0 B. 3x ＋4y ＋6＝0 C. 3x ＋y ＋6＝0 D. 3x －4y ＋10＝0 2. 直线2x cos α－y －3＝0??? ?α∈????π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ????π6，π3 B. ????π4，π3 C. ????π4，π2 D. ????π4，2π 3 3. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ????π4－x ＝f ????π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A. π4 B. π3 C. 2π3 D. 3π 4 4. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( ) A. m ＝－3 ,n ＝1 B. m ＝－3 ,n ＝－3 C. m ＝3 ,n ＝－3 D. m ＝3 ,n ＝1 二、 解答题 6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1 3 的直线方程． 7. 求适合下列条件的直线方程． (1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等； (2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程． B巩固提升 一、填空题 1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________． 2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________． 4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________． 二、解答题 5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M； (2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程． 6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交 OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝1 2x上时,求直线AB的方程． (第6题) 第六部分 概率与统计万能知识点及经典题型Ⅰ 【考题分析】 1、考试题型：选择填空1个，解答题：18（必考） 2、考题分值：17分； 3、解答题考点：①频率直方图的应用，②线性回归直线的应用，③独立性检验和概率 4、难度系数：0.7-0.8左右，（120分必须全对，100以上者全对） 【知识总结】 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 2 2 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。 分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21 ?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 课题：1．7概率与统计 教学目的： 1能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本； 2. 能通过对样本的频率分布估计总体分布； 3. 培养学生动手能力和解决实际问题能力通过例题，对本章部分内容进行一次复习．培养学生的探究能力以及分析与解决实际问题的能力 教学重点：统计在实际生活中的应用 教学难点：学生解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1某中学高中部共有16个班级，其中一年级6个班，二年级6个班，三年级4个班.每个班的人数均在46人左右（44人－49人），各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所学校学生的周体育活动时间，它是指学生在一周中参加早锻炼、课间操、课外体育活动、体育比赛等时间的总和（体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内）.为使所得数据更加可靠，应在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.此外还有以下具体要求： （1）分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本，样本容量可在40－50之间选择 （2）写出实习报告，其中含：全部样本数据；相应于男生样本的 - - 1 x与 1 s，相 应于女生的 - - 2 x与 2 s，相应于男、女全体的样本的 - - x；对上面计算结果作出分 析. 解：（1）由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异，应采用分层抽样；又由于各班的学生数相差不多，且每班的男女学生人数也基本各占一半，为便于操作，分层抽样时可以班级为单位.关于抽取人数，如果从每班中抽取男、女学生各3人，样本容量各为48（3×16），符合对样本容量的要求. （2）实习报告如表一所示. 1 .在本班范围内，就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具 《概率与统计》专项练习（解答题） 1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机 器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n ＝19，求y 与x 的函数解析式； （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易 损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 解：（Ⅰ）当x ≤19时，y ＝3800 当x ＞19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700 ∴y 与x 的函数解析式为y ＝{3800， x ≤19 500x ?5700，x ＞19 (x ∈N ) （Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7 ∴n 的最小值为19 （Ⅲ）①若同时购买19个易损零件 则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800 ∴平均数为1 100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000 ②若同时购买20个易损零件 则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500 ∴平均数为1 100(4000×90＋4500×100)＝4050 ∵4000＜4050 ∴同时应购买19个易损零件 2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保 频数 10162024 第二章 函 数 学案4 函数及其表示 导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 自主梳理 1．函数的基本概念 (1)函数定义 设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域． (2)函数的三要素 __________、________和____________． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有：________、________、________. (4)函数相等 如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据． (5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________． 2．映射的概念 (1)映射的定义 设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的 . （2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集. 自我检测 1．(2011·佛山模拟)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．(2010·湖北)函数y ＝1 log 0.54x －3的定义域为( ) A ．(34，1) B ．(3 4 ，＋∞) 概率与统计知识点： 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1． 5、二项分布：如果随机变量X 的分布列为： 其中0 达濠侨中高三数学（文科）第二轮复习题 概率与统计 一 选择题 1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 2.为了解某社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 3.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．19 4. 【2015高考新课标文】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1 20 5． 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ． 112π+ C ．1142π- D ． 112π - 6.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ） A ．23 B ．33 C ．43 D ．53 7.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等人教版高中数学《统计》全部教案
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