广东省2020年全国卷适应性考试理科数学试题含答案

适应性考试

理科数学

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合2

{430}A x x x =++≥，{21}x

B x =<，则A B =I （ ）

A ．[3,1]--

B ．(,3][1,0)-∞--U

C ．(,3)(1,0]-∞--U

D ．(,0)-∞ 【答案】B

【解析】(,3][1,)A =-∞--+∞U ，(,0)B =-∞， ∴(,3][1,0)A B =-∞--I U ．

2

．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则

7

i 1i

a a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1- 【答案】C

【解析】∵z

为纯虚数，∴a =

∴7i 3i i 1i 3

a a +-====-+． 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3

(1)()2

n n S a n =

-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)n

n

- B ．32n

+ C ．3n

D ．1

32n -?

【答案】C

【解析】1111223(1)2

3(1)2

a S a a a a ?

==-????+=-??，12

39a a =??=?，

经代入选项检验，只有C 符合．

4．执行如图的程序框图，如果输入的100N =，

则输出的x =（ ）

A ．0.95

B ．0.98

C ．0.99

D ．1.00 【答案】C 【解析】1111

12233499100x =

+++???+???? 111111199

(1)()()()2233499100100

=-+-+-+???+-=

．

5．三角函数()sin(

2)cos 26

f x x x π

=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）

A

2

π

B

π

C

2

π

D

π

【答案】B 【解析】()sin

cos 2cos

sin 2cos 26

6

f x x x x π

π

=-+

31cos 222sin 2)22

x x x x =

=-

)6

x π

=+，故选B ．

6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】D

【解析】11

=2(2+1)2232

V ????=正四棱锥．

7．设p 、q 是两个命题，若()p q ?∨是真命题， 那么（ ）

A ．p 是真命题且q 是假命题

B ．p 是真命题且q 是真命题

C ．p 是假命题且q 是真命题

D ．p 是假命题且q 是假命题 【答案】D

8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．

71 B ．73 C ．74 D ．7

6 【答案】A

【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率2

7317

P C =

=． 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）

A ．0

B ．2

C ．2

D ．3 【答案】D

【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0?-=a a b ， ∴21122

?=

=a b a ，

∴||+==a b

==

10．6

2

)21(x

x -

的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．16

15

- D ．1615

【答案】D

【解析】2612316611()()()22

r r r r r r r T C x C x x --+=-

=-，

令1230r -=，解得4r =．

∴常数项为4461

15()216

C -=

． 11．（ 广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆12

2

2

=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）

A ．122=-y x

B ．12

2=-x y C ．22

2

=-y x D ．22

2

=-x y

【答案】D

【解析】∵椭圆的端点为(0,，离心率为

2

，

依题意双曲线的实半轴a =2c =，b =D ．

12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +

)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；

②)cos sin (23x x x y --=；③1+=x

e y ；④?

??=≠=000

||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】C

【解析】∵1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>， ∴1212()[()()]0x x f x f x -->，∴)(x f 在R 上单调递增．

①2

31y x '=-+， (x ∈-∞，0y '<，不符合条件；

②32(cos +sin )=3)04

y x x x π

'=--+>，符合条件；

③0x

y e '=>，符合条件；

④()f x 在(,0)-∞单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H 函数”是②③．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知实数x ，y 满足约束条件??

?

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a

的取值范围是 ． 【答案】(,2)-∞-

【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C ,

∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴642

64a a a +

+

，解得2a <-．

14．已知双曲线116322

2=-p

y x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．

【答案】4

【解析】223()162

p p

+=，∴4p =． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2

n a 成等差数列，则=n a ． 【答案】n

【解析】∵n a ，n S ，2n a 成等差数列，∴2

2n n n S a a =+

当1n =时，2

111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =

当2n ≥时，22

11122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，

∴22

11()()0n n n n a a a a ----+=，

∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=， ∴{}n a 是等差数列，其公差为1，

∵11a =，∴*

(N )n a n n =∈．

16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则

=+)10()4(f f ．

【答案】2

【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，

∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知顶点在单位圆上的ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值；

（2）若42

2

=+c b ，求ABC ?的面积． 【解析】（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，

∴2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ?=+， ∴2sin cos sin()A A B C ?=+，

∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=， ∴2sin cos sin A A A ?=．

∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，∴1cos 2

A =

．

（2）由1

cos 2

A =，得sin A =，

由

2sin a

A

=，得2sin a A ==． ∵2

2

2

2cos a b c bc A =+-， ∴2

2

2

431bc b c a =+-=-=，

∴11sin 2224

ABC S bc A ?==?=．

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程a x b y

???+=中系数计算公式分别为： 1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--=-∑∑$，x b y a

??-=，其中x 、y 为样本均值． 【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5

万的有6人，低于或等于5万的有4人；

ξ取值为0，1，2．

152)0(2102

4===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，3

1

)2(2

1026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为

∴()012151535

E ξ=?

+?+?=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，

2

1()

2.250.250.25 2.255n

i

i x x =-=+++=∑，

4

1

()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i

i

i x x y y =--=-?-+-?-+?+?=∑，

1

2

1

()()

7 1.45

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--==

=-∑∑$，??5 1.4 2.5 1.5a

y b x =-=-?=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．

如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．

（1）证明：⊥FB 面PAC ；

（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．

【解析】（1）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,23)F ． ∵224BF AB AF =

+=，3PF =，

∴33

(,0,

)2P ，(2,0,23)FB =-u u u r ， (0,2,0)AC =u u u r ，33(,0,)2AP =u u u r ．

∵0FB AC ?=u u u r u u u r ，∴FB AC ⊥u u u r u u u r

． ∵0FB AP ?=u u u r u u u r ，∴FB AP ⊥u u u r u u u r ．

∵FB AC ⊥，FB AP ⊥，AC AP A =I ， ∴FB ⊥平面APC ．

（2）∵(2,0,0)AB =u u u r ，33

(,2,)22

PC =--

u u u r ， 记AB u u u r 与PC uuu

r 夹角为θ，则

337

cos =27

AB PC AB PC θ?-=

=u u u r u u u r u u u r u u u r ．

P

C

A

B

E F

【方法2】（1）4FB =,3cos cos 2

PFA BFA ∠=∠=

， 222cos PA PF FA PF FA PFA =

+-??∠

91223233/23=+-???=．

∵2223912PA PF AF +=+==， ∴PA BF ⊥．

∵平面ABEF ⊥平面ABC ，

平面ABEF I 平面ABC AB =，

AB AC ⊥，AC ?平面ABC ， ∴AC ⊥平面ABEF ．

∵BF ?平面ABEF ，∴AC BF ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BF ⊥平面PAC ．

（2）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，

MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．

32PN MB ==

，32

AN =， 225

2

NC AN AC =+=

，22BC =， 227PC PN NC =+=，

2235MC MB BC =+=

， 13573744cos 11427272

MPC +-

∠===-??． ∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为37

．

已知抛物线C ：x y 42

=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．

（1）求21M FM ?面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程． 【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，

设直线12P P 的方程为(1)y k x =-，0k ≠． 联立2

(1)

4y k x y x

=-??

=?，得2222

2(2)0k x k x k -++=．（*）

22222[2(2)]416(1)0k k k k ?=-+-=+>．

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则2122

2(2)

k x x k ++=

． 设111(,)M M M x y ，则11

12122222(1)M M M x x k x k y k x k ?++==????=-=??． 类似地，设222(,)M M M x y ，则22222

122112

21M M k

x k k y k k ?

+?==+??

??==-??-?

．

∴1||FM ==

2||2||FM k == 因此121211||||2(||)2||

FM M S FM FM k k ?=?=+． ∵

1

||2||

k k ≥+，∴124FM M S ?≥， 当且仅当1

||||

k k =，即1k =±时，12FM M S ?取到最小值4． （2）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得

1212

2222

1121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ?=+=++=++????=+=-=-+

??

，

消去k 后得2

3y x =-．

∴线段12M M 的中点P 满足的方程为2

3y x =-．

设函数mx x x x f -+=

ln 2

1)(2

（0>m ）

． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；

（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．

【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211

()x mx f x x m x x

-+'=+-=．

令()0f x '=，得2

10x mx -+=．

当2

40m ≤?=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．

当2

40m ?=->，即2m >时，由2

10x mx -+=解得

12m x =

，22

m x +=，且120x x <<，

在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，

∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．

（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．

又∵1

()(2)ln 2

f x x x m x =

-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <； 当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．

当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，

且211(()()ln 2222

m m m m f x -=+-

ln =+

22204

m m -+-<<，

4

014

<=<=（∵2m >），

∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，

又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．

（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，

则有()()f x f x x '=，即2

1ln 2x x mx

x +-1x m x =+-， 化简得：2

1ln 102

x x -+=（0x >）．（*）

记2

1()ln 12

g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x -'=-=，

令()0g x '=，解得1x =．

当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，

∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213

ln 122

x x -+≥．

由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，?

?AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．

（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．

【解析】（1）连接FC ，OF ，

∵?

?AB AF =，OB OF =， ∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥． ∵BC 是O e 的直径，∴CF BF ⊥． ∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，

∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=?-∠∠=?-∠， ∴DAO FBC ∠=∠．

（2）在Rt OAD ?与Rt OBG ?中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，

∴OAD ??OBG ?，于是OD OG =． ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=． 在Rt AGE ?与Rt BDE ?中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， ∴AGE ??BDE ?，∴AE BE =．

E

F

G C

O

A

B

B

D

A

O

C

G F

E

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45o

．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ． （1

（2

【解析】（1）∵直线过点(1,2)P -，且倾斜角为45o ．

∴直线l 的参数方程为1cos 45

2sin 45x t y t ?=+??=-+??o

o

（t 为参数），

即直线l 的参数方程为12

22

x y t ?=+

????=-+??（t 为参数）．

（2）∵2sin 2cos ρθθ=，∴2

(sin )2cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，

∴曲线C 的直角坐标方程为2

2y x =，

∵1222

x y t

?=+???

?=-+??

，∴2(2)2(1)-=，

∴240t -+=

，∴124t t =

24．（本小题满分10分）选修4-5设函数()5f x x a x =-+．

（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．

∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-． （2）若1x ≥-时，有()0f x ≥， ∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，

∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-，

∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥． ∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞U ．