人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)
八年级数学讲义目录
专题01 整式的乘除
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础,有以下5个公式:m
n
m n
a a a
+?=, ()m n mn
a a
=,()n n n
ab a b =,
(0)m n m n a a a a -÷=≠,01(0)a a =≠,1
(0)p p
a a a -=
≠. 学习指数运算律应注意: 1.运算律成立的条件;
2.运算律中字母的意义:既可以表示一个数,也可以表示一个单项式或者多项式; 3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,方法与多位数除以多位数的演算方法相似,基本步骤是: 1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位; 2.确定商式,竖式演算式,同类项上下对齐; 3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止.
例题与求解
【例1】(1)若n 为不等式200
3006n
>的解,则n 的最小正整数的值为 .
(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)
(2)已知21x x +=,那么432
222005x x x x +--+= . (“华杯赛”试题)
(3)把26
(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ,则
121086420a a a a a a a ++++++= . (“祖冲之杯”邀请赛试题)
(4)若5
4
3
2
37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则
ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= . (创新杯训练试题)
解题思路:对于(1),从幂的乘方逆用入手;对于(2),目前无法求x 值,可考虑高次多项式用低次多项式表示;对于(3),它是一个恒等式,即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算,故可考虑赋值法;对于(4),可考虑比较系数法.
【例2】已知252000x =,802000y
=,则
11
x y
+等于( ) A .2 B .1 C .
12 D .
3
2
(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:,x y 为指数,我们无法求出,x y 的值,而11x y x y xy
++=,所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系,于是自然想到指数运算律.
【例3】设,,,a b c d 都是正整数,并且5432
,,19a b c d c a ==-=,求d b -的值.(江苏省竞赛试题)
解题思路:设5
4
20
3
2
6
,a b m c d n ====,这样,a b 可用m 的式子表示,,c d 可用n 的式子表示,通过减少字母个数降低问题的难度.
【例4】已知多项式2
2
23286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+,求321
1
m n +-的值.
解题思路:等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应系数对应相等,从而可考虑用比较系数法.
【例5】是否存在常数,p q 使得4
2
x px q ++能被2
25x x ++整除?如果存在,求出,p q 的值,否则请说
明理由.
解题思路:由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数),根据“被除式=除式×商式”,运用待定系数法求出,p q 的值,所谓,p q 是否存在,其实就是关于待定系数的方程组是否有解.
【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被2
2x x +-整除,求
a
b
的值. (北京市竞赛试题) 解题思路:本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用.本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时,原多项式的值均为0,从而求出,a b 的值.当然本题也有其他解法.
能力训练
A 级
1.(1)24
23
4(0.25)1?--= . (福州市中考试题) (2)若23n a
=,则621n a -= . (广东省竞赛试题)
2.若2530x y +-=,则432x
y
g
. 3.满足200
300(1)
3x ->的x 的最小正整数为 . (武汉市选拔赛试题)
4.,,,a b c d 都是正数,且2
3
4
5
2,3,4,5a b c d ====,则,,,a b c d 中,最大的一个是 .
(“英才杯”竞赛试题)
5.探索规律:1
33=,个位数是3;2
39=,个位数是9;3
327=,个位数是7;4
381=,个位数是1;
53243=,个位数是3;63729=,个位数是9;…那么73的个位数字是 ,303的个位数字
是 . (长沙市中考试题) 6.已知31
41
61
81,27,9a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( )
A .a b c >>
B .a c b >>
C .a b c <<
D .b c a >>
7.已知5544
33
22
2,3,5,6a b c d ====,那么,,,a b c d 从小到大的顺序是( )
A .a b c d <<<
B .a b d c <<<
C .b a c d <<<
D .a d b c <<<
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
8.若1
122
2,22n n n n x y +--=+=+,其中n 为整数,则x 与y 的数量关系为( )
A .4x y =
B .4y x =
C .12x y =
D .12y x =
(江苏省竞赛试题)
9.已知23,26,212,a
b
c
===则,,a b c 的关系是( )
A .2b a c <+
B .2b a c =+
C .2b a c >+
D .a b c +>
(河北省竞赛试题)
10.化简43
22(2)
2(2)
n n n ++-得( ) A .1
12
8
n +- B .12n +-
C .
78
D .
74
11.已知2
2
3
3
4
4
7,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=,
试求17
1995()6()2
x y xy a b ++-+的值.
12.已知2
2
67314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++.试确定,,a b c 的值.
13.已知3
23x kx ++除以3x +,其余数较被1x +除所得的余数少2,求k 的值.
(香港中学竞赛试题)
B 级
1.已知23,45,87,a
b
c
===则28a c b
+-= .
2.(1)计算:1998
20002000
2000
2000
73153735
+??? ?
+??
= . (第16届“希望杯”邀请竞赛试题) (2)如果5555555555
55555
4444666666233322
n ++++++++?=+++,那么n = . (青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题)
3.(1)16
15与13
33的大小关系是16
15 13
33(填“>”“<”“=”).
(2)200020013131++与200120023131++的大小关系是:200020013131++ 2001200231
31
++(填“>”“<”“=”).
4.如果2
10,x x +-=则32
23x x ++= . (“希望杯”邀请赛试题)
5.已知5
5
4
3
2
(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++,则164b d f ++= .
(“五羊杯”竞赛试题)
6.已知,,a b c 均为不等于1的正数,且2
36,a
b c -==则abc 的值为( )
A .3
B .2
C .1
D .
1
2
(“CASIO 杯”武汉市竞赛试题)
7.若3210x x x +++=,则27
261226271x
x x x x x x ---+++++++++L L 的值是( )
A .1
B .0
C .—1
D .2
8.如果3
2
8x ax bx +++有两个因式1x +和2x +,则a b +=( )
A .7
B .8
C .15
D .21
(奥赛培训试题)
9.已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数,又121996231997()()M a a a a a a =++++++L g
L ,121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ,则M 与N 的大小关系是( )
A .M N =
B .M N <
C .M N >
D .关系不确定
10.满足2
2
(1)1n n n +--=的整数n 有( )个
A .1
B .2
C .3
D .4
11.设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55
ax by +的值.
12.若,,,x y z w 为整数,且x y z w >>>,5222220
8
x
y
z
w
+++=,求2010(1)x y z w +++-的值. (美国犹他州竞赛试题)
13.已知,,a b c 为有理数,且多项式3
2
x ax bx c +++能够被2
34x x +-整除. (1)求4a c +的值; (2)求22a b c --的值;
(3)若,,a b c 为整数,且1c a >≥.试比较,,a b c 的大小.
(四川省竞赛试题)
专题02 乘法公式
阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用,学习乘法公式应注意:
1.熟悉每个公式的结构特征;
2.正用 即根据待求式的结构特征,模仿公式进行直接的简单的套用; 3.逆用 即将公式反过来逆向使用; 4.变用 即能将公式变换形式使用;
5.活用 即根据待求式的结构特征,探索规律,创造条件连续综合运用公式.
例题与求解
【例1】 1,2,3,…,98共98个自然数中,能够表示成两个整数的平方差的个数是 .
(全国初中数字联赛试题)
解题思路:因2
2
()()a b a b a b -=+-,而a b +a b -的奇偶性相同,故能表示成两个整数的平方差的数,要么为奇数,要么能被4整除.
【例2】(1)已知,a b 满足等式2
2
20,4(2)x a b y b a =++=-,则,x y 的大小关系是( )
14.x y ≤
B .x y ≥
C .x y <
D .x y >
(山西省太原市竞赛试题)
(2)已知,,a b c 满足2
2
2
27,21,617a b b c c a +=-=--=-,则a b c ++的值等于( ) A .2
B .3
C .4
D .5
(河北省竞赛试题)
解题思路:对于(1),作差比较,x y 的大小,解题的关键是逆用完全平方公式,揭示式子的非负性;对于(2),由条件等式联想到完全平方式,解题的切入点是整体考虑.
【例3】计算下列各题:
(1) 2
4
8
6(71)(71)(71)(71)1+++++;
(天津市竞赛试题) (2)2
2
1.23450.7655
2.4690.7655++?;
(“希望杯”邀请赛试题)
(3)2
2
2
2
2
2
2
2
(13599)(246100)++++-++++L L .
解题思路:若按部就班运算,显然较繁,能否用乘法公式简化计算过程,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征.
【例4】设2
2
1,2a b a b +=+=,求77
a b +的值. (西安市竞赛试题)
解题思路:由常用公式不能直接求出77a b +的结构,必须把77
a b +表示相关多项式的运算形式,而这些多项式的值由常用公式易求出其结果.
【例5】观察:
22
2123415;
2345111;3456119;???+=???+=???+=L
(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;
(2)根据(1),计算20002001200220031???+的结果(用一个最简式子表示).
(黄冈市竞赛试题)
解题思路:从特殊情况入手,观察找规律.
【例6】设,,a b c 满足2
2
2
3
3
3
1,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求:
(1)abc 的值; (2)4
4
4
a b c ++的值.
(江苏省竞赛试题)
解题思路:本题可运用公式解答,要牢记乘法公式,并灵活运用.
能力训练
A 级
1.已知2
2(3)9x m x --+是一个多项式的平方,则m = . (广东省中考试题) 2.数48
31-能被30以内的两位偶数整除的是 .
3.已知2
2
2
246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= .
(天津市竞赛试题)
4.若3
3
10,100,x y x y +=+=则2
2
x y += .
5.已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2
2
2
2
()()a b x y ++的值为 .
(河北省竞赛试题)
6.若n 满足2
2
(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 . 7.22221111(1)(1)(1)(1)2319992000-
---L 等于( ) A .19992000 B .20012000 C .19994000
D .
2001
4000
8.若2
2
2
2
10276,251M a b a N a b a =+-+=+++,则M N -的值是( )
A .正数
B .负数
C .非负数
D .可正可负
9.若222,4,x y x y -=+=则1992
1992x
y +的值是( )
A .4
B .19922
C .21992
D .41992
(“希望杯”邀请赛试题)
10.某校举行春季运动会时,由若干名同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人,就能
组成一个正方形队列;如果原队列中减少120人,也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有多少名同学? (“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题)
11.设9
3
10382a =+-,证明:a 是37的倍数. (“希望杯”邀请赛试题)
12.观察下面各式的规律:
222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;?+=+?+?+=+?+?+=+?+L
写出第2003行和第n 行的式子,并证明你的结论.
B 级
1.()n
a b +展开式中的系数,当n =1,2,3…时可以写成“杨辉三角”的形式(如下图),借助“杨辉三角”求出901.1的值为 . (《学习报》公开赛试题)
2.如图,立方体的每一个面上都有一个自然数,已知相对的两个面上的两数之和都相等,如果13,9,3
的对面的数分别为,,a b c ,则222
a b c ab bc ac ++---的值为 .
(天津市竞赛试题)
3.已知,,x y z 满足等式2
5,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= .
4.一个正整数,若分别加上100与168,则可得两到完全平方数,这个正整数为 .
(全国初中数学联赛试题)
5.已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+,则多项式2
2
2
a b c ab bc ac ++---的
值为( ) A .0
B .1
C .2
D .3
6.把2009表示成两个整数的平方差的形式,则不同的表示法有( )
A .16种
B .14种
C .12种
D .10种
(北京市竞赛试题)
7.若正整数,x y 满足2
2
64x y -=,则这样的正整数对(,)x y 的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
(山东省竞赛试题)
第2题图
1
1 2 1 1 3 3
1
1
4
6 4 1
1 5 10 10 5 1 … … … … … … …
8.已知3a b -=,则33
9a b ab --的值是( )
A .3
B .9
C .27
D .81
(“希望杯”邀请赛试题)
9.满足等式22
1954m n +=的整数对(,)m n 是否存在?若存在,求出(,)m n 的值;若不存在,说明理由.
10.数码不同的两位数,将其数码顺序交换后,得到一个新的两位数,这两个两位数的平方差是完全平方
数,求所有这样的两位数.
(天津市竞赛试题)
11.若x y a b +=+,且2
2
2
2
x y a b +=+, 求证:2003
200320032003x y a b +=+.
12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如
222222420,1242,2064,=-=-=-因此4,12,20这三个数都是神秘数.
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为22k +和2k (其中k 取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正值)是神秘数吗?为什么? (浙江省中考试题)
专题3 和差化积----因式分解的方法(1)
阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法,通常根据多项式的项数来选择分解的方法,有公因式的先提公因式,分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止. 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法: 1.换元法:
对一些数、式结构比较复杂的多项式,可把多项式中的某些部分看成一个整体,用一个新字母代替,从而可达到化繁为简的目的.从换元的形式看,换元时有常值代换、式的代换;从引元的个数看,换元时有一元代换、二元代换等. 2.拆、添项法:
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差,添项即把代数式添上两个符号相反的项,因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的,即经过拆项或添项后,多项式能恰当分组,从而可以运用分组分解法分解.
例题与求解
【例l 】分解因式(
)(
)
=-++++12212
2
x x x x ___________.
(浙江省中考题)
解题思路:把(
)
x x +2
看成一个整体,用一个新字母代换,从而简化式子的结构.
【例2】观察下列因式分解的过程: (1)y x xy x 442
-+-;
原式=()
()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ;
(2)bc c b a 22
22+--.
原式=()
()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-2
2
2222.
第(1)题分组后能直接提公因式,第(2)题分组后能直接运用公式. 仿照上述分解因式的方法,把下列各式分解因式: (1)bc ac ab a -+-2
;
(西宁市中考试题)
(2)yz z y x 442
2
2
+--.
(临沂市中考试题)
解题思路:通过分组,使每一组分组因式后,整体能再分解,恰当分组是关键,经历“实验--失败--再试验--再失败--直至成功”的过程.
【例3】分解因式
(1)1999)11999(19992
2---x x ;
(重庆市竞赛题)
(2)()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ;
(“缙云杯”邀请赛试题)
(3)()()()3
3
3
22y x y x -----.
(“五羊杯”竞赛试题)
解题思路:(1)式中系数较大,直接分解有困难,不妨把数字用字母来表示;(2)式中y x +、xy 反复出现,可用两个新字母代替,突出式子的特点;(3)式中前两项与后一项有密切联系.
【例4】把多项式3422
2
----y x y x 因式分解后,正确的结果是( ).
A .()()13--++y x y x
B .()()31+--+y x y x
C .()()13+--+y x y x
D .()()31--++y x y x
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:直接分组分解困难,可考虑先将常数项拆成几个数的代数和,比如-3=-4+1.
【例5】分解因式: (1)15
++x x ;
(扬州市竞赛题)
(2)893+-x x ;(请给出多种解法)
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
(3)12322
3
4
++++a a a a .
解题思路:按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略.
【例6】分解因式:61162
3
+++x x x .
(河南省竞赛试题)
解题思路:拆哪一项?怎样拆?可有不同的解法.
能力训练
A 级
1.分解因式: (1)
234
1
x x x -+=___________________________. (泰安市中考试题)
(2)3
3164mn n m -=__________________________.
(威海市中考试题)
2.分解因式:
(1)xy y y x x 2)1()1(-++-=_________________________; (2)8)3(2)3(2
2
2
-+-+x x x x =_____________________________. 3.分解因式:3242
2+++-b a b a =____________________________. 4.多项式a ax 83-与多项式442
+-x x 的公因式是____________________.
5.在1~100之间若存在整数n ,使n x x -+2
能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的n 有_______个. 6.将多项式yz z y x 12942
2
2
---分解因式的积,结果是(
).
A .)32)(32(z y x z y x ---+
B .)32)(32(z y x z y x +---
C .)32)(32(z y x z y x -+++
D .)32)(32(z y x z y x --++ 7.下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是(
).
A .272792
3
-+-x x x B .27272
3
-+-x x x C .27273
4
-+-x x x D .27932
3
-+-x x x
(“希望杯”邀请赛试题)
8.把44
+a 分解因式,其中一个因式是( ).
A .1+a
B .22+a
C .42+a
D .222
+-a a 9.多项式abc c b a 33
33++-有因式( ).
A .b a c -+
B .c b a ++
C .ab ac bc c b a -+-++2
22 D .ab ac bc +-
(“五羊杯”竞赛试题)
10.已知二次三项式10212
-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积,那么( ).
A .a 一定是奇数
B .a 一定是偶数
C .a 可为奇数也可为偶数
D .a 一定是负数 11.分解因式:
(1)13322)132(2
2
2
-+-+-x x x x ; (2)90)384)(23(2
2
-++++x x x x ;
(3)172
4+-x x ; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (4)6522
3--+x x x ; (重庆市竞赛试题) (5)4
4
4
)(y x y x +++;
(6)2
)1)(13)(12)(16(x x x x x +----.
12.先化简,在求值:
2)()(2b a b a a +-+,其中 2008=a ,2007=b .
B 级
1.分解因式:34442
2
-+--y y x x =_______________.
(重庆市竞赛试题)
2.分解因式:)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x =_____________.
(“五羊杯”竞赛试题)
3.分解因式:12)5)(3)(1(2
+++-x x x =_________________________.
(“希望杯”邀请赛试题)
4.分解因式:15
-+x x =______________________.
(“五羊杯”竞赛试题)
5.将14
5++x x 因式分解得(
).
A .)1)(1(32
++++x x x x B .)1)(1(3
2
+++-x x x x C .)1)(1(3
2
+-+-x x x x D .)1)(1(3
2
+-++x x x x
(陕西省竞赛试题)
6.已知c b a ,,是△ABC 三边的长,且满足0)(222
2
2
=+-++c a b c b a ,则此三角形是( ). A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .不能确定 7.61322
3+-+x x x 的因式是( ).
A .12-x
B .2+x
C .3-x
D .12
+x E. 12+x
(美国犹他州竞赛试题)
8.分解因式:
(1)2
)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+; (湖北省黄冈市竞赛试题) (2)1999199819992
4+++x x x ; (江苏省竞赛试题) (3)2
2
2
12)16)(1(a a a a a ++-++; (陕西省中考试题) (4)153143
+-x x ; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (5)3
3
3
)(125)23()32(y x y x y x ---+-; (“五羊杯”竞赛试题) (6)61214442
3
4
++--x x x x . (太原市竞赛试题)
9.已知乘法公式:
))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-
利用或者不利用上述公式,分解因式:12
468++++x x x x .
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
10.分解因式: (1)x x x 2762
3-+; (2)12
3--+a a a ;
(3)xy y x x y x ++--)7()2(82
2
.
11.对方程20042
222=++b a b a ,求出至少一组正整数解.
(莫斯科市竞赛试题)
12.已知在△ABC 中,),,(0106162
2
2
是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--, 求证:b c a 2=+.
(天津市竞赛试题)
专题04 和差化积----因式分解的方法(2)
阅读与思考
因式分解还经常用到以下两种方法 1.主元法
所谓主元法,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式,使问题获解的一种方法. 2.待定系数法
即对所给的数学问题,根据已知条件和要求,先设出一个或几个待定的字母系数,把所求问题用式子表示,然后再利用已知条件,确定或消去所设系数,使问题获解的一种方法,用待定系数法解题的一般步骤是:
(1)在已知问题的预定结论时,先假设一个等式,其中含有待定的系数;
(2)利用恒等式对应项系数相等的性质,列出含有待定系数的方程组;
(3)解方程组,求出待定系数,再代入所设问题的结构中去,得出需求问题的解.
例题与求解
【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 22
2
2
2
2
2
-++-+-因式分解后的结果是( ).
A .()()()z x y x z y -+-
B .()()()z x y x z y +--
C .()()()z x y x z y +-+
D .()()()z x y x z y -++
(上海市竞赛题)
解题思路:原式是一个复杂的三元二次多项式,分解有一定困难,把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列,改变原式结构,寻找解题突破口.
人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程 1.一元二次方程 预习归纳 1.等号两边都是整式,只含有一个 ,并且未知数的最高次数是 的方程,叫一元二次方程. 2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 . 3.一元二次方程的一般形式是 . 例题讲解 【例】把方程(3x -2)(2x -3)=x 2-5化成一元二次方程的一般形式,并写出方程的二次项,一次项及常数项和二次项系数,一次项系数. 基础训练 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A .21 10x x =++ B .2110x x =++ C .210xy -= D .22 0x xy y =-+ 2.方程()45x x -=化为一般形式为( ) A .2450x x =-+ B .2450x x =++ C .2450x x =-- D .2 450x x =+- 3.方程23740x x =-+中二次项的系数,一次项的系数及常数项分别是( ) A .3、7、4 B .3、7、﹣4 C .3、﹣7、4 D .3、﹣7、﹣4 4.(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 +ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.(2014哈尔滨)若x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为 . 6.把一元二次方程2(x 2+7)=x +2化成一般形式是 . 7.下列数中-1,2,-3,-2,3是一元二次方程x 2-2x =3的根是 . 8.若方程x 2-2x +m =0的一个根是-1,求m 的值. 9.(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0(a ≠0)的解是x =1,求2013-a -b 的值.
九年级数学培优材料10
B A B E D A M N 九年级数学培优材料(10) -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式2x-3有意义,x 的取值范围为( ) A 、x ≥0 B 、x ≥32 C 、x ≥23 D 、x ≥-3 2 2、下列各式中为最简二次根式的是( ) A 、12 B 、 12 C 、13 D 、 5 3、将一元二次方程x 2+3=x 化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) A 、0、3 B 、0、1 C 、1、3 D 、 1、-1 4、如图,在△OAB 绕点O 逆时针旋转70°得到△OCD,若∠A=100°,∠D=50°,则∠AOD 的度数是( ) A 、20° B 、30° C 、40° D 、50° 5、如图,已知AB 为⊙O 直径,AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD ⊥AB 于M,若OM :OB=3:5,则CD 的长为( ) A 、8cm B 、10cm C 、14cm D 、16cm 6、下列格式中计算正确的是( ) A 、5 3=315 B 、4=±2 C 、a 4b=a 2 b D 、a 2-b 2=a-b 7、在一个不透明的口袋中,装有3个红球和a 个黄球,它们除了颜色不同外其余均相同,若 从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为2 3,则口袋中球的总数为( ) A 、2个 B 、6个 C 、9个 D 、12个 8、如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 是AB 上一点,将△BCE 沿着CE 折叠至△FCE ,若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切,则折痕CE=( ) A 、5 3 B 、5 C 、8 3 3 D 、以上都不对 9、如图,MN 是⊙O 的直径,MN=2,点A 在⊙O 上,∠AMN=30°,B 为弧AN 的中点,P 是直径MN 上一动点,则PA+PB 的最小值是( ) A 、2 2 B 、 2 C 、2 D 、1
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1(b a b ab b -÷-- (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题)
(3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.
初中数学九年级培优教程整理全
初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换(一)(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换(二)(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系(P62----69) 第12讲圆等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点! 坚持就是胜利!
第1讲 二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义,能准确进行辨析; 2.掌握二次根式有关性质,并能熟练运用性质进行化简; 3.会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件,求参数的值(或取值围). 经典·考题·赏析 【例1】 (荆州)下列根式中属最简二次根式的是( ) A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点:①被开方式中不能含分母;②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母,C 、D 含开方数4、9,故选A. 【变式题组】 1.⑴()下列根式中不是最简二次根式的是( ) A. 【例2】(黔东南)方程480x -=,当y >0时,m 的取值围是( ) A .0<m <1 B .m ≥2 C .m <2 D .m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题,隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x -8=0,x -y -m =0.化为y =2-m ,则2-m >0,故选C. 【变式题组】 2.()若实数x 、y 2 (0y -=,则xy 的值是__________. 3.2()x y =+,则x -y 的值为( ) A .- 1 B .1 C .2 D .3 4.()使代数式4 x -有意义的x 的取值围是( ) A .x >3 B .x ≥3 C .x >4 D .x ≥3且x ≠4 5.()2 2(4)0a c --=,则a -b -c =________. 是同类二次根式的是( ) A B C D
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九年级数学培优材料(10) -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式越有意义,x的取值范围为() 3 2 3 A、x20 B、x三二 C、 D、 2、下列各式中为最简二次根式的是() A、y/12 B、 C、± D、y/5 3、将一元二次方程x?+3=x化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为() A、0、3 B、0、1 C、1、3 D、1、-1 4、如图,在ZXOAB绕点O逆时针旋转70°得到△ OCD,若ZA=100° , ZD=50°,贝iJZAOD 的度数是() A、20° B、30° C、40° D、50° 5、如图,已知AB 为(DO 直径,AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD丄AB 于M,若OM: 0B=3:5, 则CD的长为() A、8cm B、10cm C、14cm D、16cm 6、下列格式中计算正确的是() A、^J|=3V15 B、辰±2 C、V^b=a2Vb D、 7、在一个不透明的口袋中,装有3个红球和a个黄球,它们除了颜色不同外其余均相同,若 2 从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为予则口袋中球的总数为() A、2 个 B、6 个 C、9 个 D、12 个 8、如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB上一点,将ZXBCE沿着CE折叠至Z\FCE, 若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的(DO相切,则折痕CE=() A、5羽 B、5 C、 D、以上都不对 9、如图,MN是00的直径,MN=2,点A在OO上,ZAMN=30° , B为弧AN的中点,P 是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是() A、2^2 B、迄 C、2 D、1 10、已知四边形ABCD是矩形,AB是的直径,E是00 ±一点,过点E作EF丄DC于
2019-2010九年级数学培优讲义:旋转综合之角含半角模型
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即,在数学中考中,几何变换往往是中考中最令人头痛的题型,其辅助线的添加非常灵活,和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中,旋转是最为常见、也是最为重要的变换,本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型,这部分是本期内容的第三讲:旋转综合之角含半角模型,希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示,在等腰Rt ABC △中,点D ,E 在斜边上,45DAE ∠=?, 将ABD △旋转至ACF △,连接EF .则ADE △≌AFE △,222DE BD CE =+ 2、如图所示,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,45EAF ∠=?,将ABE △旋转至ADG △,则AEF △≌AGF △,EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转; 2、证全等; 3、利用全等、相似得到边角的关系. 例1 如图,已知等边ABC △的边长为1,D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?,BD CD =,60MDN ∠=?.求AMN △的周长.
解 延长AC 到E ,使CE BM =,连接DE . 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM ,DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=?,连接MC ,NC ,MN . (1)填空:与ABM △相似的三角形是_______,_______;(用含a 的代数式表示) (2)求MCN ∠的度数; (3)猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论.
【2021版 九年级数学培优讲义】专题16 相似三角形的性质
专题16 相似三角形的性质 阅读与思考 相似三角形的性质有: 1. 对应角相等; 2. 对应边成比例; 3. 对应线段(中线、高、角平分线)之比等于相似比; 4. 周长之比等于相似比; 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题,性质5进一步丰富了面积的有关知识,拓展了我们研究面积问题的视角. 如图,正方形EFGH 内接于△ABC ,AD ⊥BC ,设BC a =,AD h =,试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解 【例1】如图,已知□ABCD 中,过点B 的直线顺次与AC ,AD 及CD 的延长线相交于E ,F ,G ,若5BE =,2EF =,则FG 的长是 . (“弘晟杯”上海市竞赛试题) 解题思路:由相似三角形建立含FG 的关系式,注意中间比的代换. G E F D C B A
【例2】如图,已知△ABC 中,DE ∥GF ∥BC ,且::1:2:3AD DF FB =, 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形( ) (黑龙江省中考试题) A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路:△ADE ,△AFG 都与△ABC 相似,用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图,在△ABC 的内部选取一点P ,过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线,这样所得的三个三角形t 1,t 2,t 3的面积分别为4,9和49,求△ABC 的面积. (第二届美国数学邀请赛试题) 解题思路:由于问题条件中没有具体的线段长,所以不能用面积公式求出有关图形的面积,可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示,经过三角形内一点向各边作平行线(也称剖分三角形),我们可以得到: ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ; ② 1HG IE DF BC AC AB ++=; ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=; ④ 2ABC S =△. 上述性质,叙述简捷,形式优美,巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题,简明而迅速,奇特而匠心独
人教版九年级数学上培优讲义精编
一元二次方程 概念、解法、根的判别式(讲义) 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程,并且都可以化成 _______________(____________________)的形式,这样的方程叫做一元二次方程. 思考次序:______________、__________、_______________. 2. 我们把____________________(____________________)称为一元二次方程 的_______形式,其中____,____,____分别称为二次项、一次项和常数项,_____,_____分别称为二次项系数和一次项系数. 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理.主要 解法有:________________,________________,_____________,_____________等. 4. 配方法是配成_______公式;公式法的公式是_____________; 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式,然后把方程左边进行____________________,根据_________________________,解出方程的根. 5. 通过分析求根公式,我们发现___________决定了根的个数,因此 _________被称作根的判别式,用符号记作_________;当__________时,方程有两个不相等的实数根(有两个解);当__________时,方程有两个相等的实数根(有一个解); 当__________时,方程没有实数根(无根或无解). 二、精讲精练 1. 下列方程:①3157x x +=+;② 21 10x x +-=; ③2 5ax bx -=(a ,b 为常数);④322 =-m m ;⑤2 02 y =;⑥2(1)3x x x +=-;⑦22250x xy y -+=.其中为一元二次方程的是____________. 2. 方程221x =-的二次项是________,一次项系数是____,常数项是 ______. 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程,则m 的值为 ___________.
初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行. 2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们. 3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图,三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,一共构成哪 几对对顶角?一共构成哪几对邻补角? 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01.如右图所示,直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ,则: ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角,几对邻补角? 02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角. 问:当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例2】如图所示,点O 是直线AB 上一点,OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC . ⑴求∠EOF 的度数; ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的 定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解; 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC =2 1 ∠BOC ,∠FOC = 21∠AOC ∴∠EOF =∠EOC +∠FOC =21∠BOC +2 1∠AOC =()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC +∠AOC =180° ∴∠EOF =21×180°=90° ⑵∠BOE 的余角是:∠COF 、∠AOF ;∠BOE 的补角是:∠AOE . 【变式题组】 01.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,OA 平分∠EOC ,且∠EOC =100°,则∠BOD 的度数是( ) A .20° B . 40° C .50° D .80° 02.(杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4= . 【例3】如图,直线l 1、l 2相交于点O ,A 、B 分别是l 1、l 2上的点,试用三角尺完成下列作图: ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线,垂线段是一条线段. 【变式题组】 01.P 为直线l 外一点,A 、B 、C 是直线l 上三点,且PA =4cm ,PB =5cm ,PC =6cm ,则点P 到直线l 的距离为( ) A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A B C D O (第1题图) 1 4 3 2 (第2题图) l 2
八年级上数学培优试题及标准答案
八年级上数学培优试题及答案
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第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 专题一三角形个数的确定 1.如图,图中三角形的个数为() A.2 B.18 C.19 D.20 2.如图所示,第1个图中有1个三角形,第2个图中共有5个三角形,第3个图中共有9个三角形,依此类推,则第6个图中共有三角形__________个. 3.阅读材料,并填表: 在△ABC中,有一点P1,当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时,可构成三个不重叠的小三角形(如图).当△ABC内的点的个数增加时,若其他条件不变,三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样? 完成下表: △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4.三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a的取值范围是() A.-6<a<-3 B.-5<a<-2 C.2<a<5 D.a<-5或a>-2 5. 在△ABC中,三边长分别为正整数a、b、c,且c≥b≥a>0,如果b=4,则这样的三角形共有______个. 6.若三角形的三边长分别是2、x、8,且x是不等式 2 2 x+ > 12 3 x - -的正整数解,试求第 三边x的长.
状元笔记 【知识要点】 1.三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边. 2.三角形三条重要线段 (1)高:从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高. (2)中线:连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线. (3)角平分线:三角形内角的平分线与对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 3.三角形的稳定性 三角形具有稳定性. 【温馨提示】 1.以“是否有边相等”,可以将三角形分为两类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.而不是分为三类:三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形,等边三角形是等腰三角形的一种. 2.三角形的高、中线、角平分线都是线段,而不是直线或射线. 【方法技巧】 1.根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时,要看两条较短边之和是否大于最长边. 2.三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形,这两个三角形面积相等. 参考答案: 1.D 解析:线段AB上有5个点,线段AB与点C组成5×(5-1)÷2=10个三角形;同样,线段DE上也有5个点,线段DE与点C组成5×(5-1)÷2=10个三角形,图中三角形的个数为20个.故选D. 2.21 解析:根据前边的具体数据,再结合图形,不难发现:后边的总比前边多4,若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4-3,则第n个图形中,三角形的个数是4n-3.所以当n=6时,原式=21. 3.解:填表如下: △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015) 解析:当△ABC内有1个点时,构成不重叠的三角形的个数是3=1×2+1;当△ABC内有2个点时,构成不重叠的三角形的个数是5=2×2+1;参考上面数据可知,三角形的个数与点的个数之间的关系是:三角形内有n个点时,三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1,故当有3个点时,三角形的个数是3×2+1=7;当有1007个点时,三角形的个数是1007×2+1=2015. 4.B 解析:根据题意,得8-3<1-2a<8+3,即5<1-2a<11,解得-5<a<-2.故选B. 5.10 解析:∵在△ABC中,三边长分别为正整数a、b、c,且c≥b≥a>0,∴c<a+b.∵b=4,
九年级数学培优讲义与测试
第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点 函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数,其函数图像是一条直线。若0b =时,则称函数y kx =为正比例函数,故正比例函数是一次函数的特殊情况。 当0k >时,函数y kx b =+是单调递增函数,即函数值y 随x 增大(减小)而增大(减小);当0k <,y kx b =+是递减函数,即函数值y 随x 增大(减小)而减小(增大)。 函数(0)k y k x =≠称为反比例函数,其函数图像是双曲线。 当0k >且0x >时,函数值y 随x 增大(减小)而减小(增大);当0k >且0x <,函数 值y 随x 增大(减小)而减小(增大),也就是说:当0k >时,反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数;当0k <时,函数k y x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。 若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时,12b b ≠时,两面直线平行。 当12k k =时,12b b =时,两面直线重合。 当12k k ≠时,两直线相交。 当121k k =-时,两直线互相垂直。 求一次函数、反比例函数解析式,关键是要待定解析式中的未知数的系数;其次,在解题过程中要重视数形相结合。 例题精讲 例1:在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ,求c 为何值时AC BC +取最小值。 解 显然,当点C 在线段AB 内时,AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+,代入(1,2)A --、(4,2)B 得242,k b k b -+=-??+=?解得456,5k b ?=????=-?? 所以线段AB 为46(14),55 y x x =--≤≤ 代入(1,)C c ,得4621.555 c =?-=- 例2:求证:一次函数211022 k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点,并求这个定点。 解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得 (21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立,所以得 2102100,x y x y --=??+-=?解得12519,5x y ?=????=??当125x =,195y =时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图像过定点1219,55?? ??? .
八年级数学上册培优讲义(人教版)
2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义 第一讲认识三角形 考点·方法·破译 1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线),会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2.知道三角形两边的和大于第三边,两边之差小于第三边. 3.了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4.掌握三角形三内角和等于180°,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5.会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6.会从复杂的图形中找到基本图形,从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析 【例1】若的三边分别为4,x,9,则x的取值范围是______________,周长l的取值范围是______________;当周长为奇数时,x=______________. 【解法指导】运用三角形三边关系,即第三边小于两边之和而大于两边之差故5<x<13,18<l<26;周长为19时,x=6,周长为21时,x =8,周长为23时,x=10,周长为25时,x=12, 【变式题组】 01.若△ABC的三边分别为4,x,9,且9为最长边,则x的取值范围是______________,周长l的取值范围是______________. 02.设△ABC三边为a,b,c的长度均为正整数,且a<b<c,a+b+c=13,则以a,b,c 为边的三角形,共有______________个. 03.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断)并全部用完,能摆出不同形状的三角形个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形,题目没有交代底边和腰,要给予讨论.当18cm为腰时,底边为 58-18×2=22,则三边为18,18,22. 当18cm为底边时,腰为5818 2 =20,则三边为20, 20,18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解:18cm,18cm,22cm或18cm,20,20cm. 【变式题组】 01.已知等腰三角形两边长分别为6cm,12cm,则这个三角形的周长是() A.24cm B.30cm C.24cm或30cm D.18cm 02.已知三角形的两边长分别是4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm 03.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分,则此等腰三角形的腰长为______________. 【例3】如图AD是△ABC的中线,DE是△ADC的中线,EF是△DEC的中线,FG是△EFC 的中线,若S△GFC=1cm2,则S△ABC=______________.
最新(师)九年级数学培优《圆》专题训练
1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练(一) 1
2- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 2
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八年级数学培优讲义下册
第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念,能求出分式有意义,分式值为0、为1的条件. 课堂学习检测 一、填空题 1.用A 、B 表示两个整式,A ÷B 就可以表示成的形式,如果除式B 中,该分式的分式. 2.把下列各式写成分式的形式: (1)5÷为. (2)(3x +2y )÷(x -3y )为. 3.甲每小时做x 个零件,做90个零件所用的时间,可用式子表示成小时. 4.n 公顷麦田共收小麦m 吨,平均每公顷的产量可用式子表示成吨. 5.轮船在静水中每小时走a 千米,水流速度是b 千米/时,轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时. 6.当x =时,分式 1 3-x x 没有意义. 7.当x =时,分式1 1 2--x x 的值为0. 8.分式 y x ,当字母x 、y 满足时,值为1;当字母x ,y 满足时值为-1. 二、选择题 9.使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是( ) A .a ≠0 B .a ≠1 C .a ≠-1 D .a +1>0 10.下列判断错误.. 的是( ) A .当32 =/x 时,分式2 31-+x x 有意义 B .当a ≠b 时,分式2 2b a ab -有意义 C .当2 1- =x 时,分式x x 41 2+值为0 D .当x ≠y 时,分式x y y x --2 2有意义 11.使分式 5 +x x 值为0的x 值是( ) A .0 B .5 C .-5 D .x ≠-5 12.当x <0时, x x | |的值为( ) A .1 B .-1 C .±1 D .不确定 13.x 为任何实数时,下列分式中一定有意义的是( ) A .x x 12+ B . 1 1 2--x x C . 1 1 +-x x D . 1 1 2+-x x
沪科版九年级数学综合培优讲义(含答案)
九年级数学综合培优讲义 1.如图,若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b=() A.B.C.D. 【解答】解:依题意得(a+b)2=b(b+a+b), 而a=1, ∴b2﹣b﹣1=0, ∴b=,而b不能为负, ∴b=. 故选B. 2.如图,已知⊙O是正方形ABCD的外接圆,点E是弧AD上任意一点,则∠BEC 的度数为() A.30°B.45°C.60°D.90° 【解答】解:连接OB,OC, ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆, ∴∠BOC=90°, ∴∠BEC=∠BOC=45°. 故选B.
3.已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连接DE,DE=. (1)求证:AM?MB=EM?MC; (2)求EM的长. 【解答】证明:(1)∵AB、CE是⊙O内的两条相交弦, ∴AM?MB=EM?MC; (2)∵M是OB中点,圆半径R=4, ∴OM=MB=2, ∴AM=6, ∵CD是直径, ∴∠CED=90°, ∴CE2=CD2﹣DE2, ∴CE==7, 设EM=x,6×2=x?(7﹣x), 解得x=3或x=4, ∵EM>MC, ∴EM=4.
4.农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴,其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系: (1)分别求出y 1和y 2的函数解析式; (2)张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备.请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 【解答】解:(1)由题意可得, 0.4=1×k ,得k=0.4, 即y 1与x 的函数关系式为y 1=0.4x , ,解得,, 即y 2 与x 的函数关系式为y 2=; (2)设购买Ⅱ型农机设备投资t 万元,购买Ⅰ型农机设备投资(10﹣t )万元,共获补贴Q 万元, Q=y 1+y 2=0.4(10﹣t )﹣=, ∴当t=3时,Q 取得最大值,此时Q= ,10﹣t=10﹣3=7, 答:投资7万元购买Ⅰ型农机设备,投资3万元购买Ⅱ型农机设备,共获最大补贴万元. 5、如图,为了测量出楼房AC 的高度,从距离楼底C 处603米的点D(点D 与楼底C 在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i =1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ,在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°,求楼房AC 的高度.(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°