河北省石家庄市高三数学二模试卷文(含解析)
2015年河北省石家庄市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，则下列结论正确的是（）
A．N?M B．M∩N=N C．M∪N=M D．M∩N={0}
2．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）
A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．y=log2x
3．已知复数z满足（1﹣i）z=i2015（其中i为虚数单位），则的虚部为（）
A．B．﹣C．i D．﹣i
4．数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4，则a2+a12的值为（）
A．B．C．2 D．4
5．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23
6．投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P （﹣，﹣1），则sin（2α﹣）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．4
9．执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）
A．1+++
B．1+++
C．1++++
D．1++++
10．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）
A．11π B．7πC．D．
11．已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）
A．B．C．D．
12．已知函数f（x）=，设方程f（x）=2的根从小到大依次为x1，x2，…x n，…，n∈N*，则数列{f（x n）}的前n项和为（）
A．n2B．n2+n C．2n﹣1 D．2n+1﹣1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为．
14．函数f（x）=sin2x﹣4sinxcos3x（x∈R）的最小正周期为．
15．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．
16．设点P、Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（1）求角B的大小；
（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．
18．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调
查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”
（1）求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）
非读书迷读书迷合计
男15
女45
合计
（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
附：K2=n=a+b+c+d
P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．
（1）求证：CD⊥平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥PC时，求三棱锥B﹣APM的体积．
20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB 的垂直平分线交y轴于点P（0，﹣），求直线l的方程．
21．已知函数f（x）=e x﹣x﹣2（e是自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的图象在点A（0，﹣1）处的切线方程；
（2）若k为整数，且当x＞0时，（x﹣k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE交AB于点F．
（1）求证：O，C，D，F四点共圆；
（2）求证：PF?PO=PA?PB．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xOy中，直l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
六、选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2015年河北省石家庄市高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，则下列结论正确的是（）
A．N?M B．M∩N=N C．M∪N=M D．M∩N={0}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：利用已知条件求出结合的交集，判断即可．
解答：解：集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，
M∩N={﹣1，0，1，2，3}∩{﹣2，0}={0}．
故选：D．
点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）
A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．y=log2x
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：根据函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
解答：解：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；
y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；
y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；
令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，
且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，
又f（x）在定义域R上递增，
故选C．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法，应熟练掌握．
3．已知复数z满足（1﹣i）z=i2015（其中i为虚数单位），则的虚部为（）
A．B．﹣C．i D．﹣i
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义即可得出．
解答：解：∵i4=1，∴i2015=（i4）503?i3=﹣i，
∴（1﹣i）z=i2015=﹣i，
∴==，
∴=，
则的虚部为．
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义，属于基础题．
4．数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4，则a2+a12的值为（）
A．B．C．2 D．4
考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质结合已知求得，进一步利用等差数列的性质求得a2+a12的值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4，
∴3a7=4，，
则a2+a12=．
故选：B．
点评：本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础的计算题．
5．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．23
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y 对应的直线进行平移，可得当x=2，y=1时，z=2x+3y取得最小值为7．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，1），B（1，2），C（4，5）
设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z最小值=F（2，1）=7
故选：B
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
6．投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（）
A．B．C．D．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：利用乘法原理计算出所有情况数，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，再看点数之和为6的情况数，最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可．
解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，
而满足条件的事件是两个点数之和是6，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，
根据古典概型概率公式得到P=，
故选：A．
点评：本题根据古典概型及其概率计算公式，考查用列表法的方法解决概率问题；得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键，属于基础题．
7．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P （﹣，﹣1），则sin（2α﹣）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用三角函数的定义确定α，再代入计算即可．
解答：解：∵角α的终边过点P（﹣，﹣1），
∴α=+2kπ，
∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=﹣，
故选：D．
点评：本题考查求三角函数值，涉及三角函数的定义和特殊角的三角函数，属基础题．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．4
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据三视图得出几何体的直观图，得出几何性质，根据组合体得出体积．
解答：解：根据三视图可判断：几何体如图，
A1B1⊥A1C1，AA1⊥面ABC，AB=AC=CC1=2，CE=1
直三棱柱上部分截掉一个三棱锥，
该几何体的体积为V﹣V E﹣ABC==4=
故选：A
点评：本题考查了空间几何体的性质，三视图的运用，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．
9．执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）
A．1+++
B．1+++
C．1++++
D．1++++
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S值，由此即可得到本题答案．
解答：解：根据题意，可知该按以下步骤运行
第一次：S=1，
第二次：S=1+，
第三次：S=1++，
第四次：S=1+++．
此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值．
∴S=1+++
故选B．
点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．
10．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）
A．11π B．7πC．D．
考点：球的体积和表面积；球内接多面体．
专题：空间位置关系与距离．
分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．
解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，
∴BC==，
∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，
由于三角形OSA为等腰三角形，
则有该三棱锥的外接球的半径R═=，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．
故选：D．
点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．
11．已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）
A．B．C．D．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|，再利用直线与抛物线方程组成方程组，结合根与系数的关系，求出k的值即可．
解答：解：∵抛物线方程为x2=4y，
∴p=2，准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）；
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AF|=y1+=y1+1，|FB|=y2+=y2+1；
∵|AF|=3|FB|，
∴y1+1=3（y2+1），即y1=3y2+2；
联立方程组，
消去x，得y2+（2﹣4k2）y+1=0，
由根与系数的关系得，y1+y2=4k2﹣2，
即（3y2+2）+y2=4k2﹣2，
解得y2=k2﹣1；
代入直线方程y=kx﹣1中，得x2=k，
再把x2、y2代入抛物线方程x2=4y中，
得k2=4k2﹣4，
解得k=，或k=﹣（不符合题意，应舍去），
∴k=．
故选：D．
点评：本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．
12．已知函数f（x）=，设方程f（x）=2的根从小到大依次为x1，x2，…x n，…，n∈N*，则数列{f（x n）}的前n项和为（）
A．n2B．n2+n C．2n﹣1 D．2n+1﹣1
考点：数列与函数的综合；分段函数的应用；数列的求和．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：作出函数f（x）=的图象，可得数列{f（x n）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，即可求出数列{f（x n）}
的前n项和．
解答：解：函数f（x）=的图象如图所示，
x=1时，f（x）=1，x=3时，f（x）=2，x=5时，f（x）=4，
所以方程f（x）=2的根从小到大依次为1，3，5，…，数列{f（x n）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，
所以数列{f（x n）}的前n项和为=2n﹣1，
故选：C．
点评：本题考查方程根，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，正确作图，确定数列{f（x n）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列是关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为﹣2 ．
考点：平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：求出向量﹣，然后利用向量与共线，列出方程求解即可．
解答：解：向量=（2，1），=（x，﹣1），
﹣=（2﹣x，2），
又﹣与共线，
可得2x=﹣2+x，
解得x=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查向量的共线以及向量的坐标运算，基本知识的考查．
14．函数f（x）=sin2x﹣4si nxcos3x（x∈R）的最小正周期为．
考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=﹣sin4x，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．
解答：解：∵f（x）=sin2x﹣4sinxcos3x
=sin2x﹣sin2x（1+cos2x）
=﹣sin2xcos2x
=﹣sin4x，
∴最小正周期T==，
故答案为：．
点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．
15．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4 ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．解答：解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；
∴p：﹣1≤x≤4，
∴￢p：x＞4或x＜﹣1，
∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，
∴q：3﹣m≤x≤3+m，
∴￢q：x＞3+m或x＜3﹣m，
若￢q是￢p的充分不必要条件，
则，解得：m≥4，
故答案为：m≥4．
点评：本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．
16．设点P、Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．
专题：导数的综合应用．
分析：对曲线y=xe﹣x进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．
解答：解：∵点P是曲线y=xe﹣x上的任意一点，和直线y=x+3上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xe﹣x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离．
由y′=（1﹣x）e﹣x ，令y′=（1﹣x）e﹣x =1，解得x=0，
当x=0，y=0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y=x+3的距离，
∴d min=．
故答案为：．
点评：此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（1）求角B的大小；
（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．
考点：余弦定理的应用；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）利用正弦定理化简bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），通过两角和与差的三角函数求出cosB，即可得到结果．
（2）利用三角形的面积求出ac=4，通过由余弦定理求解即可．
解答：解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），…（1分）
所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB…（3分）
所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB
∴cosB=﹣…（5分）
∴B=…（6分）
（2）由=得ac=4…（8分）．
由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16…（10分）
∴a+c=2…（12分）
点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
18．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”
（1）求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）
非读书迷读书迷合计
男15
女45
合计
（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
附：K2=n=a+b+c+d
P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
考点：独立性检验．
专题：概率与统计．
分析：（1）利用频率分布直方图，直接求出x，然后求解读书迷人数．
（2）利用频率分布直方图，写出表格数据，利用个数求出K2，判断即可．
解答：解：（1）由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）*10=1，可得x=0.025，…（2分）因为（ 0.025+0.015）*10=0.4，将频率视为概率，
由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人；…（4分）
（2）完成下面的2×2列联表如下
非读书迷读书迷合计
男 40 15 55
女 20 25 45
合计 60 40 100
…（8分）
≈8.249，…（10分）
VB8.249＞6.635，
故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．…（12分）
点评：本题考查频率分布直方图的应用，对立检验的应用，考查计算能力．
19．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．
（1）求证：CD⊥平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥PC时，求三棱锥B﹣APM的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．