导数压轴处理套路与大招(上)
导数压轴题处理套路
专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -
专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理）
例1. 已知 （1）讨论的单调性
（2）设，求证：
例2. 已知函数，。 （1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有。
例3. 设函数
. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2
1(1)ln 2
f x x ax a x =
-+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212
()()
1f x f x x x ->--()ln ,m
f x x m R x
=+
∈m e =e ()f x ()'()3
x
g x f x =
-()()
0,
1f b f a b a b a
->><-m
例4. 已知函数 （1）讨论函数的单调性
（2）对任意的
，有
，求k 的取值范围
例5. 已知函数，是否存在，对任意x ，x ，x x ，恒成立？若存在，求之；若不存在，说明理由。
例6. 已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．
（1）求实数a 的值；
（2）若2
()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围； （3）当1n m >>*
(,)m n N ∈时,m n
>．
()1ln x
f x x
-=
()y f x =)2
12,,x x e ?∈+∞?121212
()()f x f x k
x x x x ->-()2
1ln (2)2
f x x a x a x =-+-a R ∈12∈(0,)+∞1≠21212
()()
f x f x a x x ->-
专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）
例1. 已知函数ln ()=
1a x b
f x x x
++，曲线=()y f x 在点(1(1))f ，处的切线方程为23=0x y +-. （1）求a 、b 的值；
（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>+-，求k 的取值范围.
例2. 设函数2
()=1x
f x e x ax ---. （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.
例3. 已知函数2
()(1)x
f x x e ax =--.
（1）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式； （2）当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. （3）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.
例4. 设函数()1x f x e -=-. （1）证明：当1x >-时，()1
x f x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1
x
f x ax ≤+，求a 的取值范围.
例5. 设函数sin ()=
2cos x
f x x
+．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．
例6. 已知函数()=
11
x x
f x e x λ-+-+ （1）证明：当0λ=时间，()0f x ≥
（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求实数λ的取值范围。
例7. 已知函数()()
2()=ln 1f x x a x x ++-，其中R a ∈ （1）讨论函数()f x 的极值点个数，并说明理由 （2）若()0,0x f x ?>≥成立，求a 取值范围。
例8. 已知函数()2
11()=ln .022f x ax x ax a ??++->
???
（1）求证02a <≤时，()f x 在1+2??∞????
，上是增函数
（2）若对任意的()1,2a ∈，总存在01,2x ??∈+∞????
使不等式()
20()1f x m a >-成立，求实数m 的取值范围
例9. 已知函数2
()=(2)e (1)x f x x a x -+-有两个零点.求a 的取值范围；
例10. 已知函数()=(1)ln (1)f x x x a x +--.
（1）当4=a 时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （2）若当()1,∈+∞x 时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
专题三 导数与零点问题（如何取点）
例1. 已知函数22()().x
x f x a e
a e x =+--
（1）讨论()f x 单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；
例2. 已知函数()()()2
21x f x x e a x =-+- 有两个零点.求a 的取值范围；
例3. 设函数()2=ln x
f x e a x -.讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；
例4. 已知函数()()21x f x x e ax =-+ 有两个零点. (2) 求a 的取值范围
例5. 已知函数2
12
().x m f x e x m x =---当m<0时，试讨论y=f(x)的零点的个数；
例6. 设函数11
l n ()l n l n ()x
f x x x x =
-+++，是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()a f x ≥的解集为0+∞（，）
？若不存在，试说明理由。
例7. 已知函数22
21()-(+)2.x x f x a e a x e x x =++当02a <≤时，证明()f x 必有两个零
点
例8. 已知函数()()n f x a x a R =∈
（1）求()f x 的单调区间
（2）求函数()f x 的零点个数，并证明你的结论
例9. 设常数00,a λ>>，函数2
()l n ,x f x a x x λ
=-+对于任意给定的正数,a λ证明存在
实数0x ，当0x x >时，0()f x >
例10. 已知函数().ln x a x x f +=
（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()x f 的单调区间；
（3）若函数()x f 没有零点，求a 的取值范围.
例11. 已知函数()()x
e a x x
f +=，其中e 是自然对数的底数，R a ∈.
（1）求函数()x f 的单调区间；