最新-解析几何全国卷高考真题

2015-2017解析几何全国卷高考真题

1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2

212

x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ）

（A ）（-

3，3） （B ）（-6，6

（C ）（3-

，3） （D ）（） 【答案】A

【解析】由题知12(F F ，2

2

0012

x y -=，所以12MF MF ?=

0000(,),)x y x y -?- =2220

003310x y y +-=-<，解得033

y -<<，故选A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆

22

1164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24

x y -+=

【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2

2

2

(4)2a a -=+，解得3

2

a =，故圆的方程为22325()24

x y -+=

. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2

4

x 与直线y kx a =+（a ＞0）

交与M,N 两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.

【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在

【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而

不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.

试题解析：

（Ⅰ）由题设可得)M a

，()N a -

，或()M a -

，)N a .

∵1

2y x '=，故24x y =在x

=

，C

在,)a 处的切线方程为

y a x -=-

0y a --=.

故2

4x y =在x

=-处的到数值为

C

在(,)a -处的切线方程为

y a x -=+

0y a ++=.

0y a --=

0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=

+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()

k a b a

+.

当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）

A ．26

B ．8

C ．46

D ．10 【解析】由已知得321143AB k -=

=--，27

341

CB k +==--，

所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为

22(1)(2)25x y -++=，令0x =

，得2y =±

，所以MN =C ．

考点：圆的方程． 5、（2015年2卷11题）．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A

．2 C

【解析】设双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，

0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ?中，BN a =

，

MN =，故点M

的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即

222c a =

，所以e =D ．

考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．

6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆2

2

2

:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．

【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将

y kx b =+代入

22

9x y m +=得

2222(9)20

k x kbx b m +++-=，故

122

29

M x x kb

x k +=

=-+， 299

M M b

y kx b k =+=

+．于是直线OM 的斜率9M OM

M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直

线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(

,)3

m

m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,

9,

y x k

x y m ?

=-???+=?得222

2981P

k m x k =+，

即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，

因此2(3)

3(9)

M mk k x k -=

+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，

即2P M x x =

=

2(3)

23(9)

mk k k -?

+

．解得14k =

24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l

的斜率为

4

4OAPB 为平行四边形．

考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．

7、（2016年1卷5题）（5）已知方程22

2213x y m n m n

-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点

间的距离为4,则n 的取值范围是

（A ）()1,3- （B

）(- （C ）()0,3 （D

）( 【答案】A

考点：双曲线的性质

【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题

.

注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.

8、（2016年1卷10题）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、

E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B

考点：抛物线的性质.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

9、（2016年1卷20题）（本小题满分12分）设圆2

2

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）13

42

2=+y x （0≠y ）

（II ）)38,12[ 试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.

又圆A 的标准方程为16)1(2

2

=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：

13

42

2=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .

由?????=+-=134

)1(2

2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,3412

42221+-=k k x x .

所以3

4)

1(12||1||2

2212

++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--

=x k y ,A 到m 的距离为

1

2

2+k ,所以 13

44)1

2

(42||222

22

++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3

41

112||||212++==

k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[

.

当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 考点：圆锥曲线综合问题

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

10、（2016年2卷4题）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=

（A ）43- （B ）3

4

- （C

（D ）2

【解析】A

圆化为标准方程为：，

故圆心为，，解得，故选A ．

11、（2016年2卷11题）已知1F ，2F 是双曲线E ：22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E

上，1MF 与x 轴垂直，sin 211

3

MF F ∠= ,则E 的离心率为

（B ）3

2

（C

（D ）2 【解析】A

离心率，由正弦定理得． 12、（2016年2卷20题）（本小题满分12分）

已知椭圆E :22

13

x y t +

=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；

22

28130x y x y +--+=()()2

2

144x y -+-=()14

，1d ==43

a =-1221F F e MF MF =

-122112sin 31

sin sin 13

F F M

e MF MF F F =

===---

（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

【解析】 ⑴当时，椭圆E 的方程为，A 点坐标为， 则直线AM 的方程为．

联立并整理得， 解得或，则

因为，所以 因为，，

，整理得， 无实根，所以．

所以的面积为． ⑵直线AM

的方程为，

联立并整理得，

解得或

所以

所以

因为

4t =22

143

x y +

=()20-，()2

y k x =

+()22

1432x y y

k x ?+=???=+?

()

2222

341616120k x k x k +++-=2x =-

22

8634k

x k -=-+222861223434k AM k k -=+=++AM AN ⊥2

1212413341AN k k

k =??

+

+?- ?

??

AM AN =0k >2

12124343k k k

=++

()()

21440k k k --+=2440k k -+=1k =AMN △2

2

1

1121442

23449

AM

?==?+?(y k x =(22

13x y t y k x ?+=???=+?

()

222223230tk x x t k t +++-=x =x =AM =+=3AN k k

+

2AM AN =

所以

，整理得，． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以，即，整理得

．

13、（2016

年3卷11题）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

2

21(0)x y a b a b +=>>的左

焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）

（A ）1

3

（B ）12 （C ）23 （D ）34

【答案】A

考点：椭圆方程与几何性质．

【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e

的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特

殊位置，求出e ．

14、（2016年3卷16题）已知直线l ：30mx y m ++=与圆

22

12x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =，则||CD =__________________.

【答案】4

23k k

+23632

k k t k -=-3t >236332k k k ->-()()23

1202

k k k +-<-2k <

考点：直线与圆的位置关系． 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．

15、（2016年3卷20题）已知抛物线C ：2

2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12

,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR

FQ ；

（II ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

2

1y x =-．

试题解析：由题设

)

0,21

(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b

a R

b Q a P b b B a A +---.

记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .

记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则2

22111k b a ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

，

所以AR

FQ . ......5分

（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，

则

2,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=

??.

由题设可得221211b a x a b -=

--，所以01=x （舍去），11=x .

设满足条件的AB 的中点为),(y x E .

当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB

k k =可得)

1(12≠-=+x x y

b a .

而y b

a =+2，所以

)1(12

≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12

-=x y . ....12分

考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．

16、（2017年1卷15题）已知双曲线22

22:x y C a b

-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为

圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=?，则C 的离心率为_______．

【解析】如图，

OA a =，AN AM b ==

∵60MAN ∠=?，∴AP =

，OP =

∴tan AP OP θ==

又∵tan b a

θ=

b a =，解得223a b =

∴e ==

17、（2017年1卷20题）已知椭圆C ：22

221x y a b

+=()0a b >>，四点()111P ，

，()201P ，

，31P ?- ??

，41P ? ??

中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．

【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P

又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将(

)23011P P ?- ??

，，代入椭圆方程得 2221

13

1

41b a

b ?=??

??+=??，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2

214

x y +=．

（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 22112

1A A P A P B y y k k m m m

----+=

+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y ，，，

联立22

440

y kx b x y =+??+-=?，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，2122

44

14b x x k -?=+

则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()212121

12

x kx b x x kx b x x x +-++-=

222

22

8888144414kb k kb kb

k b k --++=-+

()()()

811411k b b b -=

=-+-，又1b ≠

21b k ?=--，此时64k ?=-，存在k 使得0?>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =--

当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．

18、（2017年2卷9题）若双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆

()

2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）

A ．2 B

C

D

【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想. 【解析】解法一：常规解法

根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为b

y x a

=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到

=，解得2e =.

解法二：待定系数法

设渐进线的方程为y kx =

∴

=23k =；由于渐近线的斜率与离心率

关系为221k e =-，解得2e =.

19、（2017年2卷16题）已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与 化归思想运算求解的能力 【解析】解法一：几何法

∵∴∴∴习. 20、（2017年2卷20题）

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

.

(1) 求点P 的轨迹方程；

(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦

点F .

【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力

【基本解法】

（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹：

设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：()0,NP x x y =-,()00,NM y =. 又2NP NM =

,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y ==.

又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：2

20012

x y +=。 所以：2

2

2x y +=.

解法二：

椭圆C 的参数方程为：sin x y θ

θ

?=??=??（θ为参数）.

设)

,sin M

θθ，),0N

θ,(),P x y ，

则：(),NP x y θ=,()0,sin NM θ=.

又2NP NM =,所以：()),0,sin x y θθ=，

则：,x y θθ==.

则：2

2

2x y +=.

（Ⅱ）解法一：设)

P

θθ

，()13,Q y -,()1,0F -,则

()

2OP θθ=

，()

1

3,OQ y =-,()

13,y PQ θθ

=--，

()

1,PF θθ=-.

又1OP PQ ?=,所以：

)(

)

22113,y 2cos sin 2sin 1

θθθθθθθθ?-=---=

即：1sin 3θθ=-.

那么：()

()11,3,y 3sin 0PF OQ θθθθ?=-?-=+=. 所以：PF OQ ⊥.

即过P 垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F 。

解法二：设()11,P x y ，()23,Q y -,()1,0F -,则()11,OP x y =，()23,OQ y =-,

()1213,PQ x y y =---，()111,PF x y =---.

又1OP PQ ?=,所以：

()()221112111121,3,31x y x y y x x y y y ?---=--+-=.

又()11,P x y 在22

2x y +=上，所以：11233x y y -=-.

又()()1121121,3,330PF OQ x y y x y y ?=---?-=+-=. 所以：PF OQ ⊥.

即过P 垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F 。

21、（2017年3卷5题）已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y x =，

且与椭圆22

1123x y +

=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22

143

x y -=

【答案】B

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y ，则b a =

① 又∵椭圆22

1123

x y +

=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②

由①②解得2,a b =C 的方程为22

145

x y -

=，故选B. 22、（2017年3卷10题）已知椭圆2222:1x y

C a b

+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，

且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）

A B C ．３

D ．13

【答案】A

【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，

∴d a =

=

又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵2

2

2

b a

c =-，可得(

)

2

22

3a a c

=-，即2223

c a =

∴c e a =

= A 23、（2017年3卷20题）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线交C 于A ，B 两点，

圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；

（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线与圆M 的方程．

【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，

联立：222

y x x my ?=?=+?得2

240y my --=，

2416m ?=+恒大于，122y y m +=，124y y =-．

1212OA OB x x y y ?=+uu r uu u r

12(2)(2)my my =++

21212(1)2()4m y y m y y =++++

24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥uu r uu u r

，即O 在圆M 上．

⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ?=uu u r uu r

1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=

21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=

化简得2210m m --=解得1

2

m =-或

①当1

2m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，

120122y y y +==-，0019224

x y =-+=，

半径||r OQ ==则圆229185

:()()4216

M x y -++=

②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，

12

012

y y y +==，0023x y =+=，

半径||r OQ ==则圆22

:(3)(1)10M x y -+-=