镇海中学高三数学(理科)试卷

镇海中学高三数学（理科）试卷

2014.4.11

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．把答案填在下页的表格中 1. 设全集U=R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={}()0x f x ≠，N ={}()0x g x ≠，那么集合{}

()()0x f x g x =等

于（ ）

A M C U ?N C U

B N M

C U ?)( C M ?N C U

D M C U ?N C U

2. 下列命题中，正确的是（ ）

A 若z C ∈,则2

z ≥0； B 若,a b R ∈,且a b >，则a i b i +>+； C 若a R ∈，则()1a i +?是纯虚数； D 若1z i

=

,则3

z +1 对应的点在复平面内的第一象限。 3. 若)(x g 的图象与)2()2()(2

≤-=x x x f 的图象关于直线x y =对称，则=)(x g （ ） A ．)0(2≥-

x x B ．)0(2≥+x x

C ．)2(2≤-x x

D ．)2(2-≥+x x

4.如图，直线()00Ax By C AB ++=≠的右下方有一点(),m n ，则A m B n C ++

的值（ ）

A . 与C 同号

B. 与A 同号

C. 与B 同号

D. 与A ，B 均同号

5.已知： f (x )是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则f （2

T

-

）等于（ ） A 0

B

2

T

C T

D 2T -

6．已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2e =,且它的一个顶点与抛物线x 8y 2

-=的焦点重合,则此双曲线的

方程为

A. 14y 12x 22=-

B. 112y 4x 22=-

C. 13y x 22

=- D. 1y 3

x 22=- 7．若关于x 的不等式2－2

x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为（ ）

A 9,24??

-

???

B 5,24??

-

???

C 7,24??

-

???

D 7,33??

-

???

8. 在7

6

5

)1()1()1(x x x +++++的展开式中含4

x 项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的

（ ）

A ．第19项

B ．第20项

C ．第21项

D ．第22项

9. 一个正方体，它的表面涂满了红色，把它切割成27个完全相等的小正方体，从中任取2个，其中1个恰有

(m,n)

x

y

一面涂有红色，另1个恰有两面涂有红色的概率为 （ ） A ．

11716 B ．11732 C ．398 D ．39

16

10. 过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，AE y AC =，0xy ≠，则11

x y

+的值为 （ ） A ．4 B. 3 C . 2 D . 1

二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题后表格中.

11. 21lim 01n n an b n →∞

??

+--= ?+??

，则a =___________，b =__________.

12. 把函数3cos sin y x x =

-的图象，按向量(),m n =-a （m >0）平移后，所得的图象关于y 轴对称，则m

的最小正值为__________________。

13.设12,F F 为椭园22

142

x y += 的左右焦点，l 是它的一条准线，点P 在l 上，则12F PF ∠的最大值为__________________。

14. 设有两个命题：（1）不等式|x |+|x －1|>m 的解集为R ；

（2）定义在R 上的函数()()73x

f x m =--是减函数；

这两个命题中有且只有一个命题是真命题，则m 的取值范围是___________。

三、 解答题：本大题共6小题．共84分． 15．（本小题14分）

已知向量()()()()cos ,sin ,sin 2,1cos2,0,1,0,x x x x x π==-=∈a b c . (1)向量,a b 是否共线？证明你的结论；

(2)若函数f (x )=||()-+?b a b c ,求f (x )的最大值,并指出取最大值时对应的x 值.

16. （本小题14分）已知：()212,n n n f x a x a x a x =++

+且数列{}n a 成等差数列。

（1）当n 为正偶数时，(1)n f n -=，且1a =1，求数列{}n a 的通项； （2）在（1）的条件下，试比较1()2

n f 与3的大小。

17. （本小题14分）

已知长方体ABCD -1111D C B A 中，棱AB ＝BC ＝3，1BB ＝4，连结C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于E ，交

C B 1于F ．

（1）求证：C A 1⊥平面EBD ；

（2）求ED 与平面C B A 11所成角的大小；

（3）求二面角E -BD -C 的大小．

18. （本小题14分）一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.

（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x 次试飞时飞出了房间,求试飞次数x 的分布列；

（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y 次试飞时飞出了房间,求试飞次数y 的分布列；

19. （本小题14分）点Q 位于直线3x =-右侧,且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4.

（1）求动点Q 的轨迹C ；

（2）直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1

()2

FP FA FB =+，

0EP AB =，又OE =(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，PEF ?能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由。

20. （本小题14分）设12,x x 是函数()()32

2032

a b f x x x a x a =+->的两个极值点，且122x x +=.（1）证明：43

9

b ≤

. （2）若()()()1'2g x f x a x x =--，证明当12x x <<时，且10x <时，()4g x a ≤。

数学答案（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． DDABA BABCB

二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

题 号 11

12

13

14

答 案

a =1；

b =－1

56π 6

π 12m ≤<

三、 解答题：本大题共6小题．共84分． 15．（本小题14分）

解：（1）向量,a b 是共线的。……………………………………………2分

∵()cos 1cos2sin sin 2cos cos 0x x x x x x --=-=, ∴,a b 共线。……………………………………………………6分

（2）f (x )=()2

||()2sin sin 2sin x x x -+?=-+b a b c 2

112sin 48x ?

?=--+ ??

?

∴ f (x )的最大值为

1

8，…………………………………………12分 此时1arcsin 4x =或1

arcsin 4

π-。………………………………14分

16．（本小题14分）

解：(1)若n 为偶数，则1231n n a a a a a n --+-+

-+=

设{}n a 的公差为d ，则1

2

dn =n ，所以，d =2。 又∵1a =1，

∴ 21n a n =-.…………………………………………………………6分

(2)()2

111113212222n

n f n ????????

=++

+- ? ? ? ???????

??

1122n f ??= ???2

3

1

111113(23)(21)2222n

n n n +????????

+++-+- ? ? ? ?

????

????

两式相减得：

1122n f ??= ???2

3

1

11111222(21)22222n n n +??????

????

++++-- ? ? ? ? ???????

????

所以，2

111()3(21)222n

n n f n -????

=--- ? ?

????

所以，1()32

n f <。……………………………………………………14分 17．（本小题14分）

（1）连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ．

又 ∵ A A 1⊥平面AC ， ∴ C A 1⊥BD ．

∵ C B 1⊥BE 而11B A ⊥平面C B 1， ∴ C A 1⊥BE ．

∵ BD BE ＝B ， ∴ C A 1⊥平面BED ． -----------------4

（2）连结D A 1，由B A 1∥CD 知D 在平面C B A 11内，由（1）是C A 1⊥E B ． 又∵ 11B A ⊥BE ，

∴ BE ⊥平面C B A 11，即得F 为垂足．

连结DF ，则∠EDF 为ED 与平面C B A 11所成的角． 由已知AB ＝BC ＝3，B B 1＝4，可求是C B 1＝5，5

12=

BF ． ∴ 59=

CF ，5161=F B ，则2027=EF ，4

9=EC ．

∴ 4

15

=ED ．

在Rt △EDF 中，25

9sin =

∠EDF ， ∴ ED 与平面C B A 11所成的角为25

9

arcsin

． -----------------9

（3）连结EO ，由EC ⊥平面BDC 且AC ⊥BD 知EO ⊥BD ． ∴ ∠EOC 为所求二面角E -BD -C 的平面角． ∵ 4

9

=

EC ，223=OC ，

∴ 在Rt △EOC 中，4

2

3tan ==

∠OC EC EOC ． ∴ 二面角E -BD -C 的大小为4

2

3arctan

． ---------------------14 18．（本小题14分） 解：（1）试飞次数x 的分布列如下：

x

1 2 ……

n

……

P

13 2133

? ……

1

2133

n -??? ???

……

……………………………………………………………………………7分 （2）()113P y ==

，()123P y ==，()1

33

P y ==。试飞次数y 的分布列如下： y 1

2

3

P

1

3 13 13

……………………………………………………………………………14分 19．（本小题14分）

解：（1）设(),Q x y ，则()343QF x x ++=>-，即：

()

()2

21343x y x x ++++=>-，化简得：

()2430y x x =--<≤。

所以，动点Q 的轨迹为抛物线2

4y x =-位于直线3x =-右侧的部分。…4分 （2）因为1

()2

FP FA FB =

+，所以，P 为AB 中点；又因为0EP AB =，且OE =(0x ,0)，所以，点E 为线段AB 垂直平分线与x 轴焦点。

由题可知：直线l 与x 轴不垂直，所以可设直线l 的方程为()1y k x =-，代入轨迹C 的方程得到：

()2222420k x k x k +-+= ()30x -<≤（＊）

设()f x =()

222242k x k x k +-+，要使得l 与C 有两个不同交点，需且只需

()()()224224240423023000k k k k f f ??=-->??-?-<

->??>?

解之得：

23

14

k <<。 由（＊）式得：22

24

A B k x x k -+=，所以，AB 中点P 的坐标为：

2212A B P x x x k

+=

=-，()2

1P F y k x k =-=-。 所以，直线EP 的方程为2212

1y x k k k

??

+

=--+ ???

令0y =得到点E 的横坐标为221E x k

=--。 因为

2314k <<，所以，E x ∈（11

3

-，－3）。……………………………10分 （3）不可能。………………………………………………………………11分 要使PEF ?成为以EF 为底的等腰三角形，需且只需2P E F x x x =+，即：

22

222111k k ?

?-=--- ???

，解得：2

12k =。 另一方面，要使直线l 满足（2）的条件，需要2

3,14??

∈ ???

k ，所以，不可能使PEF ?成为以EF 为底的等腰三角形。……………………………………………14分

20．（本小题14分） 解：（1）()2

2

'f x ax bx a =+-。

由12,x x 是函数

()()32

2032

a b f x x x a x a =

+->的两个极值点，知12,x x 是方程()22'0f x ax bx a =+-=的两个根。所以，

12

12b x x a x x a

?

+=-??

?=-? 又因为0a >，所以，12,x x 异号， 所以，2＝12x x +＝

()

2

2

12122

44b x x x x a a

+-=+。 即()2244b a a =-，其中01a <≤。

设()()244u a a a =-，则()2'812u a a a =-。 所以，()u a 在20,3?? ??

?上单调递增，在2,13

??????

单调递减。

所以，当01a <≤时，()216

327u a u ??≤=

???

即2

16

27

b ≤

，所以，439b ≤。……………………………………………7分

方法二：()()3

22

216442327a a a b a a ++-??=-≤=

???

， （2）

()()()()()()()()

112112'222g x f x a x x a x x x x a x x a x x x x =--=----=---，因为

120x x a =-<，且10x <，所以，20x >，

所以，当12x x <<时，

()()()()()2

12122242x x x x g x a x x x x a a -++-??

=-+-≤=????

。………14分