山东省潍坊市新高考2020届模拟考试数学试题

山东省潍坊市新高考2020届模拟考试

数学试卷

本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{}{}

2110,60P x x Q x x x =≤≤=+-=，则P Q ?等于 A.{}1,2,3

B.{}2,3

C.{}1,2

D.{}2

2.将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 A.23

π B.2π C.5π

D.3π

3.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：

现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是

A.该教职工具有本科学历的概率低于60%

B.该教职工具有研究生学历的概率超过

50% C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%

D.该职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%

4.已知向量()31,3,,a b λ??

=-= ? ???

，若3a b a b ⊥+，则与a 的夹角为 A.

6

π

B.

4

π C.

3

π

D.23

π

5.函数()()231ln 31

x

x

x f x -=

+的部分图像大致为

6.若2020

0x x a x

>+≥，则恒成立的一个充分条件是 A.80a >

B.80a <

C.0a >10

D.0a <10

7.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马刺先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问相逢时良马比驽马多行几里？ A.540

B.426

C.963

D.114

8.已知函数()f x 的导函数()()()()3

2

4

123f x x x x x '=---，则下列结论正确的是

A.()f x 在0x =处有极大值

B.()f x 在2x =处有极小值

C.()f x 在[]1,3上单调递减

D.()f x 至少有3个零点

二、多项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.

设复数122

z =-

+，则以下结论正确的是 A.2

0z ≥

B.2

z z =

C.31z =

D.2020z z =

10.已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是 A.若,,////m n m n αβαβ⊥⊥，则

B.若//αγβγαβ⊥⊥，，则

C.若//,//,,//m n m n ββααβ?，则

D.若,n n αβαβ?⊥⊥，则

11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数

()()7

1

sin 2121

i i x f x i =-????

=-∑

的图像就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的

是

A.函数()f x 为周期函数，且最小正周期为π

B.函数()f x 为奇函数

C.函数()y f x =的图像关于直线2

x π

=

对称

D.函数()f x 的导函数()f x '的最大值为7

12.已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，点

()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是

A.1QF QP +的最小值为21a -

B.椭圆C 的短轴长可能为2

C.椭圆C

的离心率的取值范围为10,

2?

?

? ???

D.若11PF FQ =，则椭圆C

+ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数()ln ,0,

1,0,2x x x f x x >??

???≤ ????

?则

1f f e ??

??= ? ?????

___________. 14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b

-=>>的渐近线与圆()22

:23F x y -+=相切，且

双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为____________. 15.在2

ABC A π

?∠=

中，，点D 在线段AC 上，且满足32,cos 5

AD CD C ==，则

sin CBD ∠=____________.

16．如图1，四边形ABCD 是边长为10的菱形，其对角线AC=12，现将△ABC 沿对角线AC 折起，连接BD ，形成如图2的四面体ABCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________；在图2中，

设棱AC 的中点为M ，BD 的中点为N ，若四面体ABCD 的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN 长度的取值范围为________．(注：第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)

已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω???

=+>>< ??

?

的图像如图所示． (1)求()f x 的解析式； (2)将函数()f x 的图像向右平移

6

π

个单位长度，得到函数()()(),y g x h x g x ==+设

()f x ，求函数()02h x π??

????

在，上的最大值．

18．(12分)

如图，点C 是以AB 为直径的圆上的动点(异于A ，B)，已知2,7,AB AE EB ==

⊥平面ABC ，四边形

BEDC 为平行四边形． (1)求证：BC ⊥平面ACD ；

(2)当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．

19．(12分)

为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取

10000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布()2

N

μσ，．如果加工的零件内径小于3μσ-或

大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．

(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少； (2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L (单位：元)与零件的内径X 有如下关系：

5343=6353.

X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-??-≤<-?

?

-≤<+??->+?，，

，，，，， 求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润． 附：若随机变量X 服从正态分布()()2

,=0.6826N

P X μσμσμσ-<≤+，有，

()()22=0.954433=0.9974P X P X μσμσμσμσ-<≤+-<≤+，．

20．(12分)

设抛物线()2

20E x py p =>：的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为

(1，1)．

(1)求抛物线E 的标准方程；

(2)若B ，C 为抛物线E 上的两个动点(异于点A)，且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围．

21．(12分)

已知函数()()()21121

ln ,2x x e f x x x mx m R g x x e e e

+-=-

∈=--+． (1)若函数()()()

11f x f 在，处的切线与直线10x y -+=平行，求m ；

(2)证明：在(1)的条件下，对任意()()()1212,0,,x x f x g x ∈+∞>成立．

22．(12分)

设()n f x 是数列()()()2

1,1,1,,1n

x x x ++???+的各项和，2,n n N ≥∈．

(1)设()()()1202n n n g x f x g x ??=-- ???

，证明：在，

内有且只有一个零点； (2)当1x >-时，设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列，其各项和为()n h x ，比较()n f x 与()n h x 的大小，并说明理由；

(3)给出由公式sin 22sin cos x x x =推导出公式2

2

cos 2cos sin x x x =-的一种方法如下： 在公式sin 22sin cos x x x =中两边求导得：

2cos22cos cos 2sin sin x x x x x =?-?

所以2

2

cos 2cos sin x x x =-成立．

请类比该方法，利用上述数列的末项()1n

x +的二项展开式证明： n ≥2时，

()

1

10n

k

k n i kC =-=∑(其中k n C 表示组合数)