基于小波变换的图像分割的研究

摘要

近年来，对图像分割的研究一直是图像技术研究的焦点。图像分割是一种很重要的图像分析技术，它的目的是把图像分为具有各种特性的区域并把感兴趣的部分提取出来。它融合了多个学科的成果，并且成功应用于工业、农业、医学、军事等领域，得到了广泛的应用。

图像分割是一个经典的问题，实现方法有很多种，但是至今仍没有一种通用的解决方法。经过研究发现，区分真正的噪声和边缘是图像分割的难题之一，然而小波变换则可以解决这一问题，小波变换是一种时--频两域的分析工具。本文则基于小波变换对图像分割技术进行研究，主要介绍了小波阈值分割方法。文中通过直方图、建立模型等手段对这两种方法做出具体的讨论，并利用Matlab分别对两种方法进行仿真，并得到了有效的结果。根据仿真结果我们可以看出不同分割方法的不同分割效果，从而更好地理解这些方法。

关键词：图像分割；小波变换；阈值；

Abstract

In recent years, the study of image segmentation has been the focus of imaging technology. Image segmentation is an important image analysis, its purpose is to take the various characteristics part out of the image. It combines the results of multiple disciplines, and successfully applied to such fields as industry, agriculture, medicine, military, and a wide range of applications.

There are many ways to achieve image segmentation, but could not find a common solution. After the study found that the distinction between real noise and the edge of one of the difficult problem of image segmentation, wavelet transform can solve this problem, wavelet transform is a time - frequency domain analysis tools. In this paper, image segmentation technique based on wavelet transform to study the two wavelet segmentation method, the wavelet thresholding segmentation method. Histogram, the establishment of model and other means to make a specific discussion of these two approaches, and use the Matlab simulation, and the effective results of the two methods, respectively. According to the results of the simulation we can see the different segmentation results of different segmentation methods, in order to better understand these methods.

Key words：Image; Wavelet transform; Threshold

目录

摘要 .................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................II 1 绪论 .. (1)

1.1 空域图像分割 (1)

1.2 频域图像分割 (2)

1.3 小波域图像分割 (3)

1.3.1 图像分割的描述 (3)

1.3.2 图像分割的发展及现状 (4)

1.3.3 基于适当最优准则实现图像的分割方法 (5)

1.3.4 基于小波变换的图像分割方法 (6)

1.4 本文的组织结构 (7)

2 小波变换理论 (7)

2.1 小波理论 (7)

2.2 小波变换 (8)

2.2.1 小波变换的概述 (8)

2.2.2 正交小波基的种类 (8)

2.2.3 多分辨率分析 (10)

2.2.4 连续小波变换 (11)

2.2.5 离散小波变换 (11)

2.2.6 小波离散图像的描述 (12)

3 图像分割中的小波阈值法 (14)

3.1 小波阈值法的原理 (14)

3.2 图像直方图的多分辨率分析 (15)

3.3 阈值分割算法 (16)

3.4 实验仿真 (16)

4 结论与展望 (18)

4.1 论文的总结 (18)

4.2 论文的展望 (18)

致谢 (20)

参考文献 (21)

附录 (22)

1绪论

1.1 空域图像分割

空域是指图像平面本身，空域图像分割就是直接对图像的像素进行处理分割。研究者经过几十年的研究与努力，研究出了很多种空域图像分割方法。归纳起来大致包括：串行边界分割技术、串行区域分割技术、并行边界分割技术、并行区域分割技术、结合特定理论工具的分割技术等[1]。

1. 串行边界分割技术

串行边界分割技术指通过顺序搜索边缘点，采用串行方式来对感兴趣目标的边界进行检测。主要有以下三个关键步骤：

①首先确定一个顺序搜索的起始边界点；

②然后在确定先前的搜索结果对下一边界点的检测和下一个结果的影响的前提之下，选择某种搜索策略，根据相应原则逐一检测新的边界点；

③最后选定搜索终止的条件，结束整个搜索过程。

串行边界分割技术所采取的策略主要有以下两种：

①首先检测出边界点，然后再连接边界点；

②以交叉结合的方式来进行边界点的检查和连接。

2. 串行区域分割技术

串行区域分割技术指通过对目标区域的直接检测，用串行方式来进行图像分割的技术。它的特点是将整个处理过程分解为的多个步骤依次进行，然后前续步骤的处理结果来决定对后续步骤的处理。结合了特定数学理论工具的一些图像分割方法也经常用串行区域分割的方式。

串行区域分割技术有两种基本形式：

①从单个像素出发，逐渐合并成所需的分割区域；

②从全图出发，逐渐分裂成所要的分割区域。

3. 并行边界分割技术

并行边界分割技术指通过对感兴趣区域的边界进行检测，用并行方式来对图像进行分割技术。其过程主要有以下两个步骤：

①检测感兴趣区域的边界点；

②形成感兴趣区域的边界。

对于步骤①可以采用各种微分算子来直接检测，也可以利用拟合方法与边缘模型进行间接检测。对于步骤②由于其过程较复杂，因此单纯利用微分算子不能形成闭合边界，需要通过一定的准则和数学工具将感兴趣的区域分离出来。

4. 并行区域分割技术

并行区域分割技术指通过对感兴趣区域的检测，用并行方式来进行图像分割的技

术。在实际应用中，并行区域分割技术主要包括以下两大类：

①特征空间聚类方法；

②阈值化方法。

5. 结合特定理论工具的分割技术

①基于信息论的分割技术

最近几年，出现了许多借助信息论中熵的概念的图像分割方法。这些方法利用信息论当中求熵的极值的方式来进行图像分割。例如：1D最大熵法、2D最大熵法、最大后验熵法、最小熵相关法、最大香农熵法、条件熵法等等。

②基于小波分析和小波变换的分割技术

小波变换是空间(时间)和频率的局域变换，通过平移、伸缩等运算对函数和信号进行多尺度的细化分析，有效的从信号中提取信息，从而解决了傅立叶变换不能解决的许多问题。近年来，在低频和高频分析时，有“变焦”特性的小波变换在图像分割中得到广泛应用。

1.2 频域图像分割

频域图像分割法就是傅里叶变换的方法，也是一种最简单的图象分割的方法。

傅里叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段，只是傅里叶变换是一种单纯对频域的分析方法，它在频域的定位性上是最准确的（即频域分辨率是最高），而在时域没有任何分辨能力，也就是表示傅里叶变换所反映的是整个信号在所有时间下的整体频域的特征，无法提供任何一段局部时间段上的频率信息。在现实生活中，经常会出现一些非平稳信号，例如音乐和语音信号等，它们的频域特征都在随着时间的变化而变化，这些信号被称为时变信号。

Gabor为了研究信号在局部时间范围内的频域特征，而提出了非常著名的Gabor变换，后来随着不断研究发展为短时傅里叶变换（又称加窗傅里叶变换，简称STFT）。如今短时傅里叶变换在许多领域已经得到了广泛的应用，但是它的定义决定了其窗函数的形状和大小都与频率和时间没有关系而保持固定不变，这样在分析时变信号时是不方便的[2]。高频信号持续时间一般都比较短，相反低频信号的持续时间则相对较长，所以我们希望在分析高频信号时能够用小时间窗，同时在分析低频信号时能够用大时间窗。从中我们会发现分析信号时，变时间窗的要求与短时傅里叶变换的固定时窗中窗不能随着频率变化而变化的特性相矛盾，因此这表明短时傅里叶变换无法处理这些问题；此外当人们在进行数值计算时，都希望能够将基函数离散化，从而节约存储量和计算时间，而Gabor变换则不能实现这种期望，原因是无论如何都无法构成一组正交基，所以在计算数值使很不方便，但是小波变换恰恰能实现[3]。

小波变换继承并且发展了短时傅里叶变换的局部思想的优点，同时还克服了其窗口大小不能随着频率变化而变化，且缺少离散正交基的缺点，是一种比较理想的用来处理信号的数学工具。因此目前小波变换在图象分割中获得了广泛的应用。

1.3 小波域图像分割

1.3.1 图像分割的描述

图像分割（image segmentation ）是一种非常重要的图像技术，它是图像分析与识别过程中的重要环节，其分割的结果直接关系到图像处理后期其他工作的质量，例如图像的测量、图像的识别等。一方面它是图像表达的基础，对于特征测量有着至关重要的作用；另一方面，由于图像分割及其基于分割的特征提取、目标表达和参数测量等将原始的图像形式转化为更加抽象紧凑的形式，从而使得更高层的图像分析和理解成为可能[4]。图像分割在不同的领域中都有重要的应用，所以有时会用不同的名称，比如目标识别（target identification ）技术，阈值化（threshold ）技术，目标检测（target detection ）技术，目标轮廓（object delineate ）技术，图像区分或求差（image discrimination ）技术等，虽然这些名称看起来是不同的技术，但其实它们本身或核心都是图像分割技术，由此可以看出图像分割技术的重要性[5]。 图像理解图像分割图像处理

参数测量目标表达图像分割

图1.1图像分割在图像工程中的位置

其实图像分割简单地说，就是要把一幅数字图像分割成几个不同的区域，其中在同一区域内的具有在一定准则下的图像可以认为是有相同的颜色、纹理和灰度等性质，同时在任意相邻区域间的图像的性质是有显著的区别。在长时间的研究中，对于图像人们提出了很多不同的解释和表达, 图像分割可以借助集合概念给出如下的定义： 令整个图像的区域用集合B 表示,对于B 的分割可以看作是将B 分割成N 个满足下面五个条件的非空子集(子区域)N B B B ???,,21：

(1)B U N

i ==1； (2)对所有的i 和j ,j i ≠,都有γ=?j i B B ；

(3)对N i ,,2,1???=,有()True B P i =；

(4)对j i ≠,有()False B B P j i =?；

(5)对N i ,,2,1???=,i B 是连通的区域。

其中对于全部在集合B 中的元素，()i B P 是一致性逻辑谓词,γ代表空集。

在对图像进行研究和应用中，人们经常只是对图像中的某些部分或者是某些区域感兴趣，这些部分或者区域常被称为前景或目标(其他部分被称为背景)，他们一般是对应图像中所特定的、具有独立性质的区域。为了辨识和分析目标，需要将他们从图像中分离并提取出来，只有这样才有可能对目标进一步的分析利用。概括起来说，图像分割就是指把图像分成各具特性的区域并提取感兴趣的目标，从而对其进行分析、应用的技术和过程。这里特性是像素的颜色、灰度、纹理等，预先定义的目标可以是对应的单个区域，同时也可以是对应的多个区域[6]。

1.3.2 图像分割的发展及现状

对于图像分割的研究已经有几十年的历史，人们对此一直都高度重视。早在50年代中期即计算机视觉理论体系形成以前，人们就已经开始了对图像分割的研究。能够找到一种通用的、普适的图像分割方法是人们几十年来不断追求的梦想，人们为此付出了许多艰辛的努力，但也取得了不少研究成果，提出了很多图像分割算法。然而随着研究的不断深入，人们逐渐意识到，在将三维景物投影为二维图像的过程中，丢失了深度以及不可见部分的信息，不同的视角下的同一物体的图像会有很大的不同，还有会因为前后物体的遮挡而丢失信息等；另外，在场景中的很多比如物体表面几何、光源、物理特性以及成像设备与物体之间的空间特性等不同的因素，都被综合成为单一的图像中像元的灰度值；还有在成像过程中会或多或少地引入一些噪声和畸变。这些问题都直接或间接地导致了图像分割问题是一种信息不足的不确定性问题，所以不可能存在一种通用的对任何图像都适用的、统一的图像分割方法[7]。

在过去的四十多年里, 人们一直在高度重视图像分割的研究，至今为止，研究者提出了上千种不同类型的分割算法,如：小波分析法、水线法、匹配法、马尔可夫随机场模型法等，并且近年来每年都有上百篇相关研究成果的发表。但是,如今的方法大多是为了特定应用而设计的,具有很大的局限性和针对性，对图像分割的研究还是缺乏一个统一的理论体系。

近年来,随着计算机技术的不断发展和成熟，现在的图像分割已经得到了广泛的应用，几乎出现在所有有关图像处理的领域，例如在文档处理，工业自动化，生产过程控制，在线产品检验，遥感和生物医学图像分析，保安监视，以及军事，农业工程，体育等诸多领域。然而在缺乏足够先验信息的前提下进行图像分割是一项很困难的任务，如医学上人脑组织的细微变化、监控系统的随机性等，人们为了克服这一困难，建立了大量的图像模型来完成分割的任务，如利用概率分布函数刻画图像的纹理特征而建立起来

的统计图像模型等。相应地也研究出了各种分割算法，如基于区域的分割、合并分割算法等。基于图像模型的分割在易于实现的同时，准确的图像模型还可以提高分割的质量，因此对图像模型的研究，不仅是各种应用的需要，而且也是分割取得突破性进展的关键问题[8]。在国内，每年《计算机辅助设计与图形学学报》、《中国图像图形学报》等报刊都会刊登很多有关图像分割的研究成果。近几年，北京大学周蜀林主持的国家自然科学基金项目-图像分割的变分方法和应用，说明了国家对图像分割研究的重视。但目前国内外对图像分割结果的评价和准则系统的研究仍然很缺乏。

1.3.3 基于适当最优准则实现图像的分割方法

给定标号场的先验分布()ηp 和灰度场的条件分布()y p |η后，按照Bayes 理论，在给定观测图像的条件下，()y p |η的表达式为:

()()()ηηηp y p y p ||∞ （1-1） 下面给出几种经常使用的图像分割标准:

(1)按照MAP(maximum a posterior)准则来分割图像[9]

在已知图像标号的先验分布和在给定标号的前提下分布图像灰度场(或特征场)的条件，那么MAP 估计就是最大后验概率的解，即

()()()ηηηηp y p y p |max arg |max arg ?∞= （1-2） 实质上MAP 估计是缩小图像中的像素分类错误的概率，因为任何分割算法都可能会分类错误。MAP 估计在实际应用中有非理想的全局性，如在多分辨率分析下，随着尺度的增加而MRF 的系数也会增加，这违背了人的直觉，因为越粗糙的尺度MRF 的局部相应的系数应该越小。此外MAP 估计会使图像的边缘模糊化，并消除细小的结构，这主要是因为标号场的先验分布把区域边缘的各向异性与区域内的一致性合并起来作为图像分割的正则条件不当所引起，所以导致图像分割不适定的问题没有得到最好的答案。这种准则一般应用于对分割对象精度要求不太高，但是对物体的纹理要求较高的场合。

(2)基于MPM 估计准则[10]来分割图像

()y p s |max arg ?ηη= （1-3）

作为MAP 估计的一种替代，最大后验边缘估计是最小分类像素的期望值。已表明MPM 估计标准比MAP 估计标准更加适合图像分割，因为不管错误的分割像素的数目与真正的分割多么不同，MAP 估计分配都会给每个不正确分割一样的代价；但是MPM 估计是根据不正确分割的像素数分配给相应的代价。而MPM 估计需要模拟退火类似的复杂计算，当进行分割的质量区分时，MPM 不考虑空间位置的误差。

(3)基于最小方差估计准则来分割图像

()]|[?y p E ηηη= （1-4）

式（4-4）中是一种基于观测图像的最小方差无偏估计，从空间投影的角度来确定，

此估计是使η

?与η的空间距离最小。这种方法是在总体平均条件下的分割误差最小，其局部有可能会出现严重的分割误差。

(4)基于SMAP 估计准则来分割图像

()]|,[min arg ?0y Y C E sm ap ==ηηη （1-5） 随着观察图像的尺度增加，SMAP 估计标准是逐渐分配给较大的误差代价，由于较大的尺度容易导致更多的像素误分类，具有从粗尺度到细尺度一系列优化分割的优点，这符合人类的视觉原理。从估计的精确度来说，它比MAP 标准优秀；从算法的可行性来看，它形成了一套更加有效的计算方法，需要更小的计算量。

1.3.4 基于小波变换的图像分割方法

小波变换是一种近年来得到广泛应用的数学工具，是空间(时间)和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息。小波变换从图像分割的角度看，有以下几个优点

[9]：

(1) 通过选取合适的滤波器，小波变换可以最大程度地减小或消除所提取信息的不同特征之间的相关性；

(2)小波变换实现上有快速算法(即Mallat 小波分解算法)；

(3)小波变换具有“变焦”特性，在高频段可以用低频率分辨率和高时间分辨率，在低频段可以用高频率分辨率和低时间分辨率；

(4)小波分解可以覆盖整个频域，从而在数学上可以提供一个完备的描述。

小波理论在图像处理方面的应用日益成熟，小波变换具有方向性、多分辨率特性、非冗余性、以及小波系数具有重拖尾和持续性的非高斯分布等特性，对于刻画图像的非平稳性，小波理论提供了有效的工具。通过利用小波变换的多分辨率特性，让特征场建立在一系列小波域上，使相应分辨率的标号场利用该尺度的特征场，这样有利于刻画图像的非平稳性，小波系数随着分辨率的不同而具有不同的特征向量，从而有利于反映特征场的本质特征。同时对每一小波系数引入有限的隐状态，来反映小波系数的非高斯分布的特性。描述小波系数的非高斯分布需要用两个状态的高斯混合分布，纹理的小波系数、边缘用较大状态的方差来表示，平滑区域的小波系数用较小状态的方差来表示。大多数真实图像都可以使用这种模型，但该模型不具有通用性，如背景为较平滑的区域，受光照影响的交通图像分割问题，物体有纹理则相应的小波系数较大，但阴影的小波系数介于背景与物体之间，所以很难用两个状态的小波系数来表示图像的特征[10]。 与小波系数服从非高斯分布与高斯分布相背离来比较，小波系数通过有限通用混合分布(FGM)来逼近小波系数的分布似乎更加合理。同时在标号场先验模型确定的基础上，

HMT(即Hidden Markov Tree)模型没有具体表达式来给出标号场先验概率分布，认为父节点周围36个小波系数的标号与标号有关，这与小波系数的紧支撑性不同并且与小波系数的局部相关性也相互矛盾。另外，认为小波系数的标号是相互独立的的说法与尺度间小波系数的持续性、紧支撑性相背离，由于父节点与子节点一般都具有相同的标号，而且父节点周围的三个节点小波系数的标号与子节点的标号有关联。标号场体现的不是独立的作用关系而是小波系数标号的相互关系。

1.4 本文的组织结构

图像分割是数字图像处理中的重要技术之一，是图像处理的核心技术。但是图像模型的准确建立是影响图像分割质量好坏的重要因素。

本文对小波变换在图像分割中的应用进行了研究，主要内容有：

第一章首先介绍了空域图像分割、频域图像分割和小波域图像分割。详细地叙述了图像分割技术的研究背景，包含了图像分割在国内外的发展及现状和小波变换在图像分割中的方法，为全文研究的小波变换在图像分割中的应用提供理论基础。

第二章首先详细阐述了小波理论、小波变换的理论。为第三章和第四章图像分割方法的提出奠定了理论基础。

第三章首先介绍了小波阈值分割方法的原理，然后阐述了阈值分割的算法，最后分别对小波阈值分割方法和传统阈值分割法进行仿真实验，通过对比表现出小波阈值分割的优点，这也是本文的创新点。

第四章通过前三章对小波变换在图像分割中的应用的详细阐述，进一步进行总结，指出小波变换在图像分割中应用的广泛，但随着科技的日益发展，图像分割的技术与理论还需进一步的完善。

2 小波变换理论

2.1 小波理论

小波（wavelet ）,是在有限的时间范围内变化，并且它的平均值为零的数学函数。

小波函数的精确定义为：设()t ψ为一平方可积函数，即)(t ψ∈()R L 2,如果其傅里叶

变换()w ψ满足条件：

()∞

ψ （2-1） 其中称()t ψ为一个小波母函数或基本小波，称上面的公式为小波函数的可容许性条件。

从小波的定义可以知道小波的特点是小，即它们在时域都具有紧支集或近似紧支

集；还具有正负交替的波动性。

2.2 小波变换

2.2.1 小波变换的概述

小波变换的基本思想是：先找到一个满足一定条件下的基本小波函数，通过对其进行伸缩和平移来构成小波函数族

(){}R b a t g b a ∈,,,其中每个()t g b a ,在时域和频域上都具有比较好的局部性，再利用这个小波函数去表示和逼近所需研究的信号，这样有利于更好的分析和处理[11]。

一般我们把选取的基本小波函数用()x ψ来表示，()x ψ又称为母小波函数，而所选取的母小波函数又必须满足如下条件：

()?∞

∞-∧∞<=dw w w C 2

||ψψ （2-2）

式（2-2）中的()w ∧ψ是()x ψ的傅里叶变换。在满足允许条件的前提下，所选取的母小波函数都可看作是一个带通滤波器的脉冲响应.由上式可直接得出：

()?∞

∞-=0dx x ψ （2-3） 上式（2-2）和（2-3）是完全等价的，式（2-3）表明()x ψ具有一定的震荡性。对母小波函数进行伸缩和平移以后便可得到如下小波函数族：

()()??? ??-=-a b x a x x b a b a ψψψ21,,|

|}|{ （2-4） 这里的()x b a ,ψ称为小波函数（简称小波）。R b ∈，}0{R a ∈，a 、b 分别称为伸缩和平移因子，变量a 反应函数的宽度或尺度，变量b 指明函数沿着x 轴的平移位置。一

般情况下，母小波函数()x ψ能量集中在原点，而小波函数()x b a ,ψ能量集中在b 点[8]。

2.2.2 正交小波基的种类

(1) Haar 小波

Haar 系的函数是不连续的，并且它在频域上随着w 的衰减速度只为w 1

，所以频域

的局部性能不好，但是它的结构简单，经常运用到理论研究中。其中Haar 小波函数图象如图2.1所示。

00.20.40.60.81 1.2 1.4

-1.5-1

-0.5

0.5

1

1.5

图2.1 Haar 小波函数图像

(2) Morlet 小波

Morlet 小波是高斯下的单频率复正弦函数：

()22

t t i e e t -?=ωψ

式中，i 表示虚数，ω常数。虽然Morlet 小波有解析表达式，但其不具有正交性的同时也不存在紧支集。Morlet 小波的特点是能够提取信号中的幅值和相

应的信息，并广泛应用于地球物理信号处理中。其中Morlet 小波函数如图2.3所示。

-8-6-4-202

468

-1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Morlet 小波函数

图2.3 Morlet 小波函数图像

(3) Meyer 小波

该小波在频域上具有紧支集和任意阶正则性，所以它在时域和频域都具有较好的局部性。 其中Meyer 小波和Meyer 尺度函数如图2.3所示。

图2,3 Meyer 小波 2.2.3 多分辨率分析

Mallat 在1987年将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，并且提出了多分辨率分析概念。同时小波变换具有多分辨率性，多分辨率分析指满足下列性质的一系列闭子空间Z j V j ∈},{：

（1）平移不变性：即()()00V n t f V t f ∈-?∈，对所有的Z n ∈；

（2）一致单调性：即????????????--21012V V V V V ；

（3）伸缩规则性：即()()02V t f V t f j j ∈?∈ Z j ∈；

（4）渐进完全性：即()R L V Z

j j Z j 2};0{=?=?∈∈； （5）正交基存在性：即存在0V ∈φ，使()Z n n t ∈-}{φ是0V 的正交基，使

()}{0n t span V -=φ，()()n m R dt m t n t f ,δφφ=--。

由于离散化小波的信息量仍是冗余的，因此再次从数字计算机处理的角度考虑，人们仍然希望减小离散化小波的冗余量，直到得到一组正交基。这组正交基称为正交小波基。如何构成正交基，构造小波母函数()x ψ，而解决这些问题的方法就是多分辨率分析理论。

从多分辨率的定义可知，所有的闭子空间Z j j V ∈}{都由同一尺度函数φ伸缩后的平移系列展开成的尺度空间，()t φ被称为多分辨率分析中的尺度函数。多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下展开的。所以多分辨率分析理论为小波变换提供了数学上的理论基础[12]。

-10-50510

-1-0.500.511.5Meyer 小波-10-505

10

-0.500.511.5Meyer 尺度函数

2.2.4 连续小波变换

将任何()R L 2空间里的函数()t f 在小波基下进行展开，我们称这种展开为函数()t f 的连续小波变换（简称为CWT ），它的表达式为

()()()()dt a t t f a t t f a WT R a f ??

? ??->==

,,, （2-5） 从CWT 的定义可知，小波变换和傅里叶变换一样都是积分变换，()τ,a W T f 被称为小波变换系数，因为小波基与傅里叶基不相同，所以小波变换和傅里叶变换的不同之处有很多。其中最重要的不同是，小波基有平移τ、尺度a 两个参数，因此在小波基下把函数展开，就意味着将该时间函数投影到二维时间-尺度的相平面上。由于小波基本身的特点，把函数投影到小波变换域之后，可以更好的提取函数的一些本质特征。

位移和尺度都连续变化的连续小波基函数与傅里叶基不同，形成了一组非正交的过度完全基。这表示其任意函数的小波展开系数间都有相关关系，如果用()ττφ'',;,a a K 来描述两个基函数()τψ,a 和()τψ'',a 的相关度大小，那么

()()()dt t t C a a K a R

a ττψφψψττ''-?=''?,,1,;, （2-6）

其中ψK 表示时移半平面()τ,a （由于a>0所以称半平面）、连续尺度的两个不同点间的CWT 系数的相关关系，同时也称ψK 为再生核或者重建核，小波的选取决定了它的结构。CWT 的缺点是系数具有较大的冗余量，但我们也可以利用它的冗余量来实现去噪和数据恢复[13]。

2.2.5 离散小波变换

在实际应用中，尤其在计算机实现时，经常需要将连续小波离散化。对变换进行二进制离散是一种方便的形式，我们将离散化后的小波和所相应的小波变换分别称为二进小波和二进小波变换。与连续小波变换不同，因为离散小波变换在尺度-位移的相平面上，所对应是离散的点，所以被称为离散小波变换，把小波变换的连续相平面离散化。 离散化小波变换()()>=

。

在理想状态下，当离散后的小波基函数()t n m ,ψ满足正交完备性条件时，所计算的小波变换系数没有任何冗余度，可以最大限度地压缩并减少计算量。可是在连续小波变换的概念出现以后，人们一直无法找到具有一定正则性的可作为()R L 2空间的标准正交基

的()t n m ,ψ。所以人们就去研究具有一定冗余度、非正交的离散小波基离散栅格的取法和它的正、反演问题，也即小波框架的定义。当经伸缩和位移由基本小波()t ψ引出的函数族 ：

()()

s j j k j kT t a a t -=--020,ψψ； Z k j ∈, （2-7） 具有以下性质时：22

,2|||||,|||||f B f f A j k k j ≤><≤∑∑ψ；∞<<

于是称()Z k j k j t ∈,,}{ψ构成了一个小波框架，

又称上述性质为小波框架条件，其频域可表示为 ：()∞<<<≤ψ≤∑∈βαβα0,|2|2Z

j j w

离散小波变换具有时移和非伸缩共变性。连续小波变换具有时移共变性，但对于离散小波变换，在小波框架式的情况下该性质就不存在了。

2.2.6 小波离散图像的描述

图像分割是根据像素、区域属性给每个像素分配标号的过程。通常用两个随机场在马尔可夫随机场中来描述待分割的图像，一个是像素的标号场，被称为隐随机场，用先验分布来描述标号场的局部相关性；另一个是特征场或灰度场，常根据标号场用分布函数来描述观测数据或特征向量的分布。

小波域马尔可夫先验模型根据小波变换的特点，主要分为尺度间马尔可夫先验模型、尺度内马尔可夫先验模型和混合先验模型三种形式。小波域尺度间马尔可夫先验模型有利于形成较大一致性区域，在研究文本图像和遥感图像的分割时，Hyeokho Choi 等[17]把小波多尺度思想引入图像分割，为了精确反映出小波系数尺度间的依赖关系，采用了父节点周围36个节点的标号对子节点标号确定影响，让马尔可夫参数具有因果性和可变性，从而形成有效的计算方法，并取得较好的进行分割。但文中没有给出标号场的具体表达式，认为父节点的标号是相互独立，确定各自对子节点的标号有影响，这与马尔可夫的局部特性不相符。Sun J.等[19]结合空域等思想改进了小波域尺度间标号场先验模型，把父节点与父节点的兄弟节点的标号对子节点标号的所有作用写成了统一的表达式，这与马尔可夫的局部特性相符。但是此尺度间小波域马尔可夫先验模型对分割的边界定位不精确且对噪声敏感。小波域尺度内的马尔可夫先验模型可采用空域非因果的马尔可夫先验模型的表达形式，这种模型对图像的边缘很敏感，并易于形成局部一致性区域。Fan Guoliang 等研究了混合马尔可夫先验模型对纹理图像分割所产生的影响，研究结果表明混合先验模型对边界定位精确，而容易将区域误分并对边缘定位不敏感，分割效果并不合理，便提出了MJCMS 分割算法，表明此算法准确提高了分类，尤其是边缘的敏感性和边界定位的准确性。

为了准确刻画图像的特征属性，2001年Hyeokho choi 等错误！未定义书签。提出了HMT 模型，

把图像分解的每个小波系数分为两个状态，每个较大的状态对应图像的边缘，每个较小的状态对应图像结构特征的平滑区域，并认为每个状态都服从高斯分布，即每个小波系数用两个独立的高斯混合模型来描述，每个子带可用有限高斯混合模型来逼近。假设图像小波分解中的各子带间是相互独立的，应用于纹理图像的分割取得了较好的整体属性。但如果引入过多的隐状态到每个小波系数，则会增加计算的复杂度，同时很难解释隐状态的物理含义。侯玉华等通过秩统计量分析小波分解中三个子带间的相关性，了解到三个子带间存在相关性，并其相关性随着尺度的增加而渐渐增强，便提出改进的HMT 模型的文本图像分割方法，并取得了比Hyeokho choi等认为的小波分解图像子带间相互独立的分割结果更好，然而增加了计算的复杂度。2001年，每个小波系数引入三个隐状态，并认为图像的小波系数服从一个方差较大的高斯分布、一个方差较小的高斯分布和一个方差适中的高斯分布混合而成，应用文本图像分割取得了更好的分割效果。2004年在研究纹理图像分割时，sun J.等用复小波分解图像，用有限Rayleigh混合分布来逼近小波系数的分布。小波域特征场模型建立的主要困难就是每个小波系数引入几个隐状态和如何合理的解释引入的隐状态物理概念。

3 图像分割中的小波阈值法

3.1 小波阈值法的原理

阈指的是一个系统的界限，而阈值是指阈的数值，图像中的“阈值”命令就是把彩色或灰度图像转换成高对比度的黑白图像，“阈值”命令有利于确定图像的最亮或最暗区域，比如可把阈值设为某个色阶，而所有比该色阶暗的像素变为黑色；所有比该色阶亮的像素变为白色。阈值分割法就是一种基于区域的图像分割技术。其原理是经过不同特征阈值的设定，将图像像素点分为很多类。常用的特征包含直接来自于原始图像的彩色或灰度特征，由彩色或原始灰度值变换而得到的特征[17]。设()y x f ,为原始图像，根据一定的准则在()y x f ,中找到多个特征值N T T T ,,,21???,其中1≥N .把图像分割为几部分，图像分割后为：

()()()()()?????????≤≤≤?

??≤≤≥=--1

0211

11,,,,,T y x f L T y x f T L T y x f T L T y x f L y x g N N N N N 若若若若 （3-1） 一般阈值运算可看作是对图像中某点的某种局部特性、某点的灰度以及该点在图像中的位置的函数，此阈值函数可记为：()()()y x f y x N y x T ,,,,,，式中()y x f ,是点()y x ,的灰度值；而()y x N ,是点()y x ,的局部领域特性。

若只选取一个阈值则称为单阈值分割，图像被它分为目标和背景两大类；若用多个阈值进行分割则称为多阈值方法，被分割的图像被分为多个目标区域与背景，为了区分目标，还要标记各个区域。阈值分割法是对灰度图像的一种假设：目标、背景内的相邻像素的灰度值是相似的，然而不同目标或背景的像素在灰度上也不同，在图像直方图上反映出不同目标与背景对应不同的峰。选取的阈值应位于两个峰之间的谷，把各个峰分开。阈值分割的优点是实现简单，当不同的物体灰度值或其他特征值有很大差异时，它能有效的分割图像。阈值分割通常作为图像的预处理，然后应用其他分割方法进行后处理。但是传统的阈值分割方法由于噪声的存在很难合理选取阈值。

基于小波变换的阈值分割法的基本原理是：先由二进制小波变换把图像的直方图分解为各层次的小波系数，然后按照一定的分割准则和小波系数选取阈值门限，最终利用阈值标出图像分割的区域。整个分割过程是由粗到细，通过尺度变化来控制，起始分割由()R L 2子空间上投影的直方图来实现。若分割不理想，则用直方图在子空间的小波系数

逐步细化图像分割。分割算法的计算量和图像尺寸的大小是线性关系。

基于小波变换的阈值法图像分割技术能够有效弥补传统的图像阈值法分割方法的不足，具有较强的抗噪声性能，对于直方图为多峰值时，可利用小波的多分辨率特性，合理选择灰度阈值，对图像进行分割处理[16]。

3.2 图像直方图的多分辨率分析

设每个整数 Z j ∈ (Z 为整数集合),

};2{Z k k d j j ∈=是指在j 分辨率下的二进制有理数。对于任意Z k ∈，j d 是一组在实数轴上等间隔采样点的集合，a 若j i <,则i d 表示

低分辨率的采样点；但j i >时，则d 表示高分辨率的采样点。假设()y x f ,为一幅图像，

m D 是该图像中最大灰度,那么直方图表示为：

()[]m f D k k y x f y x k h ,0|;}),(:),{(|∈== （3-2）

式中“| …|”指计数操作，()k h f 是离散函数。令()()]1,[,+∈=k k x h h k f x f ，

离散函数()k h f 表示为连续函数()x h f ，而

()x h f 可看作是由若干分段常数函数组成。对于Z j ∈，f h 根据采样点}{j d 采样，则j f h 表示在j 分辨率下的直方图。同时j f h 可用Haar

尺度函数()x φ的伸缩与平移表示,即

()???≤≤=其他01

01x x φ

（3-3） ()()()∑∈--=Z n j j f j f n

x n h x h 22φ

（3-4） 由于连续函数

()x f h 由几个分段常数函数组成，存在阶梯现象，则要用滤波操作处理函数()x f h ,消除其高频成分。

多层表达曲线

()x f h 可以表示为: ()∑∈=z k k

j k f a x h ,φ （3-5） }

,{}{,><=k j f k h a φ （3-6）

()k x j j k j -=222,φφ （3-7）

则可得出相应的阈值分割算法。

3.3 阈值分割算法

按上式图像的直方图曲线可进行多分辨分解，通过分解系数}{k a ，则可以找出图像的分割阈值。如下是算法步骤:

步骤 1：设分割区域为M ，分解级数m D j 16-=,m D 是图像中的最大灰度值； 步骤2：在对直方图曲线()x h f 进行j 级二进制小波分解时，则可以得到Z k k j f j k h a ∈><=},{}{,φ；

步骤 3：在分解系数j k a }{中,找到满足l l a a >-1与1+

步骤4：若M n ≤，则 1+=j j ，当0，则合并靠得近的灰度阈值，更新灰度阈值数组，使M n =，另外1+=j j ,当0

3.4 实验仿真

实验采用MATLAB 程序语言来进行编程仿真。实验仿真结果如下图，其中(a )为原始图像；(b )为该图像的灰度直方图，由直方图可看出，峰值较多，很难直接选取门限；(c )为阈值为90时用传统的阈值法进行分割后的图像；(d )为通过小波阈值门限分割后的图像，该阈值同为90。由传统的阈值分割法与小波阈值分割法在相同的阈值下分割的图像进行比较。其中小波阈值分割方法的程序见附录1。

(a ) 原始图像 (b ) 直方图