基于小波分析的机械故障诊断

绪 论

机械故障诊断技术作为一门新兴的科学，自从二十世纪六七十年代以来已经取得了突飞猛进的发展，尤其是计算机技术的应用，使其达到了智能化阶段。现在，机械故障诊断技术在工业生产中起着越来越重要的作用，生产实践已经证明开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。

我国的故障诊断技术在理论研究方面，紧跟国外发展的脚步，在实践应用上还是基本落后于国外的发展。在我国，故障诊断的研究与生产实际联系不是很紧密，研究人员往往缺乏现场故障诊断的经验，研制的系统与实际情况相差甚远，往往是从高等院校和科研部门开始，再进行到个别行业，而国外的发展则是从现场发现问题进而反映到高等院校或科研部门，使得研究有的放矢[1]。

要求机械设备不出故障是不现实的，因为不存在绝对安全可靠的机械设备。因此，为了预防故障和减少损失，必须对设备的运行状态进行监测，及时发现设备的异常状况，并对其发展趋势进行跟踪：对己经形成的或正在形成的故障进行分析诊断，判断故障的部位和产生的原因，并及早采取有效的措施，这样才能做到防患于未然。因此，设各状态监测与故障诊断先进技术的研究对于保证复杂机械设备的安全运行具有重要意义。

关键词：小波分析，故障诊断，小波基选取，奇异性

基于小波分析的机械故障检测

小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理

信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系：

设)(x g 为一光滑函数，且满足条件0g(x) lim ,1x)dx ( g x ==∞→+∞

∞-?，不妨设)(x g 为高斯函数，即σσπ2221)(x e x g -=

，令 d x,/x)( dg x)(=ψ由于?+∞

∞-=0x)dx (ψ，因此，可取函数x)(ψ

作为基小波。

对函数)(x f 的关于x)(ψ的小波变换可写成

-=-=

?+∞∞-dx a x x f a a W f )()(1),(τψτ?+∞∞-τd d a )(x f dx x g a )(τ （3-6） 其中， )()1()(a

x g a x g a ττ-=仍为高斯函数，不妨设a >0,则 ?∞+∞-=dx x g x f d d

a

a W a f )()(),(τττ （3-7） 积分?+∞∞

-dx x g x f a )()(τ可看作是函数f(x)用高斯函数)(x g a τ按尺度a 进行光滑后的结果，当a 很小时,用)(x g a τ对)(x f 光滑的结果对)(x f 的突变部分的位置及形状影响不大，由式(6)可知,小波变换模),(τa W f 与尺度a 下光滑后函数?+∞

∞-dx x g x f a )()(τ的此，),(τa W f 的极大值点对应的是?+∞

∞-dx x g x f a )()(τ的突变点，当尺度a 较小时, ?+∞

∞-dx x g x f a )()(τ的突变点就是)(x f 本身的突变点。这说明小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在一一对应关系。

下面介绍预备定理，它是利用小波变换进行机械故障检测的重要依据。

定理1(预备定理)：对于平稳随机信号)(t x ,其小波变换的均值为0，方差随着尺度因子a 的增大而趋于零。

证明：[])(t x W T E a =E ττψτd t x a )()(-?=[]ττψτd t x E a )()(-?=x m ττψd t a )(-? (x m 是)(t x 的均值函数)。为了保证逆变换的存在，要求?dt t )(ψ=0,则[])(t x W T E a =0。 设)()('t x m t x x +=,其中，)('t x 是零均值平稳随机噪声，则[]2

)(t x W T E a =[]2')(t x WT m WT E a x a +。由于x x a m m W T =ττψd t a )(-?=0,则[]2)(t x W T E a =[]

2')(t x WT E a 。噪声)('t x 可以看成白噪声)(t n 驱动的某个线性滤波器的输出。即)()('t h t x =*)(t n ,则)('t x W T a = )(t h *)(t n *a ψ(t)。

设)(ωn S 和n σ2分别是)(t n 的功率谱和方差，)(ωψa 和)(ωH 分别是)(t a ψ,)(t h 的FT,则

[]2')(t x WT E a =ωωωψωπd S H n a )()()(212

2?= ωωψωπσd H a n 222)()(2?。 （3-8） 令 max =c ))((2ωH ,'c =π

σ22c n , 则[]2')(t x WT E a ωωψd c a 2)(?≤=ωωψd a c 2

)(?=ωωψd a c 2')(?=εa c '

，所以，随着尺度a 的增大，[]2')(t x WT E a 趋于零,也即是[]2

)(t x W T E a 随着a 的增大趋于零。 一般说来，机械设备在正常运转时，系统输出的信号由确定性信号和平稳随机噪声叠加而成，其小波变换是两部分小波变换之和。由上述预备定理，并根据小波奇异性理论的相关结论可知，确定性信号边沿对应的小波变换的模极大值随着尺度因子的增大将增大，或随着噪声的影响缓慢衰减。然而，平稳随机噪声作为平稳随机信号的一种，其小波变换的模极大值将随着尺度因子的增大而迅速衰减。因此，在大尺度下，信号的小波变换的模极大值将主要属于确定性信号的边沿。而机械故障信号的出现对应于确定性信号的边沿。根据这一原理，结合小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在的一一对应关系，可以将信号的故障点与平稳噪声区别开来，实现机械故障的检测。

小波函数的选取

信号奇异点可通过信号的小波变换局部极大值来定位，而奇异性运用该点的Lipschitz 来定量描述。运用该理论来实现信号的奇异性检测，比常规手段更优越。需要注意的是: 选择不同的小波分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小，其检测效果也不一样，因此，选择合适的小波非常重要。在第二章我们介绍了常见的小波函数，以及不同的小波函数的用处，目前没有一定的规则来断定如何选择小波基。

在实际中,Morlet 小波运用领域较广,可以用于信号表示和分类、图像识别、特征提取;墨西哥草帽小波用于系统辨识;对于数字信号往往选择Haar 或Daubechies 作为小波基;另外还有根据小波函数的消失矩来选择小波基波。本文主要是机械故障的诊断，因此选择Daubechies 小波基函数。

Daubechies (db N) 小波系

Daubechies 小波函数中,除了db1 (即Haar 小波) 外,其他小波没有明确的表达式。通常Daubechies 系中的小波基记为db N , N 为序号, 且N = 1 , 2 , ?, 10 。

Daubechies 小波的特性:具有正交性、双正交性和紧支集,可以进行连续小波变换

(CWT) 、离散小波变换(DWT) ,但不具有对称性,支集宽度为2 N - 1 ,小波函数的消失矩数为N ,规则性系数随阶数的增大而增大,对于大的N ,规则性系数大约为013 N ,而Daubechies 小波函数的阶数严格为正整数。

小波基波选择的标准

在故障的奇异性检测中,信号的奇异点可以从其小波变换的小波系数模极大值中检测出来。其基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz 指数α> 0 时,其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大;当α< 0 时,则随尺度的增大而减小。也就是说在一个合适的尺度下,通过小波变换,根据小波系数模极大值和奇异点的关系,能够检测出信号的奇异点。本文提出的基于小波规则性系数相似性选择小波基,主要是从小波分析和Fourier 变换的基本思想相似, Fourier 变换是以正弦为基波,用其各次谐波来近似某一函数,其中Fourier 系数代表了各次谐波分量在函数中的权重,这一权重实质上表明了各次谐波和这一函数的相似性;而小波分析是利用小波的窗函数特性来分断逼近,而小波系数的大小也反映了小波和函数某段的相似程度[4] 。同时函数和小波的规则性均表示着各自的可微性和平滑程度,这样按相似性,可以用平滑的小波,即规则性系数大的小波,来表示平滑的函数;用不平滑的小波,即规则性系数小的小波,来表示非平滑函数。需要说明的是这里的相似不是绝对的相等或非常接近,只是表示一种趋势。这一思想和利用小波消失矩选择小波函数有着一致性,因小波的规则性系数和小波的消失矩有着同向的变化趋势,这可从Daubechies 小波的消失矩和其小波规则性系数的关系看出,见表1。

表1 部分db 系小波规则性系数表

小波名称db1 db2 db3 db4 db5 db7 db10

规则性系数0 0．5 0．91 1．27 1．59 2．15 2．90不同小波基对信号奇变检测仿真

1) 不同小波基对突变信号突变点检测当信号产生突变时,在突变点处含有高频成分,并且信号形状还很不规则。用Daubechies 小波族的部分小波对阶跃信号阶跃点检测来说明不同小波检测的差异。Daubechies 小波族的db1,db2,db3,db4,db6,db9对阶跃的点检测结果,如图1 所示。

从图1 中可以发现db1 的检测结果最好,这是因为阶跃信号的阶跃点是突变点,且其Lips2chitz 指数一致为0 ,而db1 小波的规则性系数也是0 ,就是说它们在信号的阶跃处有着最大的相似性,因此db1 能最有效地刻画出阶跃点的特

征。db3 ,db5 ,db7 和db9 虽也能检测出突变点,但它们所得检测图的幅值要比db1 小,这是因为它们的规则性系数大,规则性好和阶跃信号在阶跃处的相似性较小。

图3-1不同db 系的小波函数检测突变点的差异（从上到下依次为db123469）这个结果说明小波基波会得到较好的结果。不同小波基对缓变信号的检测在实际的系统故障中也存在着大量的,如果只是检测出信号奇变的突变点,按照规则性系数相似方法,选择规则性系数较小的奇变缓变信号,对其检测的小波基的选择仍可根据小波基规则性系数来确定。这里仍用Daubechies小波族的部

图3-2 不同小波基波对缓变信号的检测

分小波来说明,用db1 ,db3 ,db4 ,db5 和db7 在一个确定的尺度下对缓变信号进行检测,如图2 所示。

从最终的结果来看db5检测所得的图形和缓变信号较接近,也就是说用db5 最能准确地刻画这一缓信号的特征。从图2 中可以看出这一缓变信号变化比较平稳且连续,所以它自然有着较大的Lipschitz 规则性指数,而db5 的规则性系数要比db1 ,db3 和db4 大,这就说明了对缓变性信号的检测要用规则性系数较大的小波做小波基效果会更好。当然也不是越大越好,db7 的检测结果和实际信号的差别要比db5 的结果和实际信号的差别更大就说明这一点,这要考虑到相似性。这也说明缓变信号检测的小波基的选择要比突变信号困难一些,并且在实际系统中不可能算出系统输出信号的规则性系数。实际中往往可通过系统观测信号是否光滑连续,按照规则性系数相似方法, 在一定范围内选择小波基,并要用不同小波基反复尝试比较,才能最终确定。

另外,小波变换是一个尺度可变的信号分析方法,可在不同的尺度下对信号进行处理。因此,即使小波基选定,如尺度不合适,也很难对信号进行有效地分析,特别是对缓变信号。因为突变信号可将尺度尽量选小一点,总可以将突变点检测

出来,对缓变信号,如尺度不适当会使分析结果产生很大的差异。用db3 小波对上

面的缓变信号在不同尺度下进行检测,结果如图 3 所示。

图3-3 db3 小波在不同尺度下对缓变信号检测结果

d1 ,d2 ,d3 ,d4 和d5 分别对应不同的尺度。从图中可以看出d4 所用尺度最能体现这一缓变信号的变化趋势,而其他各层的结果和实际相差较大。同时也说明对缓变信号的检测要在相对较大的尺度下,这是因为小波在大尺度下其变化趋势比在小尺度下要平缓,换句话说其规则性增大了,从而和缓变信号的规则性系数变得接近了。图中的结果也说明了这一点,因d4 的尺度要比d1 ,d2 ,d3 大,但又不是越大越好,d5 的尺度比d4 的尺度要大,但效果却比d4 差就说明这一点。所以对缓变信号的检测,小波变换尺度的选择也很关键。

综上述，本文主要采用db3小波对故障信号进行分解！

故障点的定位与分析

现在我们来看看以上实验，我们的原始信号是一个等幅周期性很强的两组正弦信号组成，其幅值相同，当我们从原始信号里是看不出故障点的定位的，我们采用传统的傅利叶变换也不能得到其准确的位置！现我们采用db3小波单层分解，其图如3-4所示。

图3-4 利用模极大值定位奇异点

通过这次实验，我们有如下结论：

通过模极大值定位奇异点，我们可以清楚地看到故障信号的奇异点的位置，大约在499左右，其模极大值为-0.6247，t=500点左右的模变化量为0.9918，远远超过正常变动范围0.75。

实验及仿真

MATLAB简介

MATLAB是美国的Math Works 公司推出的一个科技应用软件。它的名字是由MATRIX（矩阵）和LABORATORY(实验室) [18]这两个词的前三个字母组合而成。MA TLAB 是主要面向科学计算, 可视化以及交互式程序设计的高技术计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境之中, 为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多学科领域提供了一种简捷、高效的编程工具。借助于这种编程环境, 任何复杂计算问题及其解的描述均十分符合人们的逻辑思维方式和数学表达习惯, 并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言的编程模式。

。

MATLAB仿真实验结果

本试验选取正常信号3组和故障信号5组进行测试，测试步骤如下：

（1）通过标准信号来选取小波基函数及小波分解层数；

（2）通过标准信号的小波分解的细节信号来确定模极大值的阀值；

（3）运用选取的小波对测试信号进行检测：首先进行小波分解，其次阀值对分解的细节信号进行检测，最后判断是否存在故障及确定故障点的位置。

试验结果如表：

表5-1仿真试验统计

信号类型总组数准确组数准确率

标准信号 3 3 100%

测试信号 5 4 80%

8 7 87．5%

结论：通过本仿真实验基本上能够实现其设计目的，其准确率能达到87.5%，这在实验是一个很高的数据，故而可以采用本方法。

实验相关如图4-3所示：

图4-5仿真实验

结论：通过对信号的小波分解以及特征提取的仿真，初步得出结果：采用db3小波分解正确识别率高，说明db3小波与信号匹配性好，而采用支集长度大于db3的小波虽然正确识别也比较高，但是由于滤波器长度的增加必然产生边界问题，这会影响检测的准确率。另外由于支集长度大于db3的小波滤波器长度较长，因而会增大计算量，这不利于对信号的快速检测。由于小波分解的层数越多，计算量也就越大，同时也不利于奇

异点检测的准确定位，因而实验采用5层分解，由经验判断，采用一层二层的细节系数作为研究的对象，采用模极大值来判断奇异点，在奇异点处，具有一阶微分，但是一阶微分不连续，其李氏指数理论值为1，而实验值0.9958，误差小于1%。

总结与展望

机械在运转时发生故障是常见的一种现象，基于小波变换的机械故障诊断也是当前比较热门的一项研究之一，如何快速、准确地提取故障信号，如何准确定位故障的发生点及进行故障的预测是机械故障分析与检测的关键性问题。本文就此问题展开如下研究。

本文首先介绍了选题的背景和意义，详细分析了小波变换的基本理论、小波变换用于机械故障检测的基本原理以及一般小波基的选取原则和分解层数。在此基础上，利用模极大值方法对故障信号进行了检测，首先通过试验方法确定了小波基和分解层数，然后利用模极大值方法对故障点进行了定位，最后通过实验仿真验证了这一方法。

通过小波变换对机械故障信号进行检测测，提高了故障检测的准确性，同时使故障检测更具可操作性，基本上实现了最初设计的目的。

然而通过试验方法来确定小波基的选取的方法虽然很实用，但很麻烦，仍需改进。本文所采用的模极大值方法前人也有有过，并非十分新的方法，利用小波变换的方法检测机械故障还有很多问题存在，比如本文的仿真实验是在一台ACER笔记本上进行的，所采用的信号并非真正的故障信号，而是想象的一种模拟信号，如果真正的是机械故障信号其真实性还有待提高。

通过一段时间的了解，我相信在这一方面会做得更好……

参考文献

[1] 徐小力，梁福平，许宝杰．大型汽轮发电机组故障诊断技术现状与发展，2008

[2] 马晓建，陈瑞琪，吴文英，周保堂，贺世正．机械故障诊断中常用解调方法的比

较及应用，[J]东华大学学报(自然科学版)，2001 (05).

[3] 何晓霞，沈玉娣，张西宁．连续小波变换在滚动轴承故障诊断中的应用，[J]机械

科学与技术，2001 (04).

[4] 王平，廖明夫．滚动轴承故障特征信息的自动提取方法研究，[J]机械强度，2003

(06)

[5]聂祥飞．基于小波变换的一维信号奇异性检测研究，信息技术，2004(05)

[6]崔锦泰，程正兴译．小波分析导论[M]．西安：西安交通大学出版社，1995

[7]林京，屈梁生．基于连续小波变换的奇异性检测与故障诊断，振动工程学报，2000

[8]高志，于啸海．MATLAB小波分析工具箱原理与应用，国防工业出版社，2004

[9]唐远炎，王玲．小波分析与文本文字识别，科学出版社，2003

[10]成礼智，王红霞，罗永．小波的理论与应用，科学出版社，2004

[11]林京，屈梁生．基于连续小波变换的奇异性检测与故障诊断，振动工程学报，

2000(12)

[12]陈中，赵联文．信号奇异性检测中小波分析的应用，重庆师范大学学报(自然科

学版)，2004

[13]许彬，郑链，王克勇，宋承天．基于信号奇异性分析的小目标检测方法，红外技

术，2005

[14]周小勇，叶银忠．故障信号检测的小波基选择方法，控制工程，2003(7)

[15]权建峰，李艳，郭东敏，栗鸣．小波变换模极大值方法对信号的奇异性检测，探

测与控制学报，2009 (4)

[16]孙成祥，晁勤．小波变换在信号奇异性检测中的应用仿真研究，江西科学，2007(2)

[17]袁海英，陈光踽．小波分析在信号奇异性检测中的应用，电讯技术，2006

[18]Mallat S．Zero-crossing of a wavelet transfom.IEEE Trans．On Information Theory，

1991,37(4)

[19]Mallat S．Zhong S F.Characterization of signals from multi-scale edges.IEEE Trans.On

Pattern Analysis and Machine Intelligence，1992，14(7)

[20] Mallat S．Hwang WL.Singularity detection and processing with wavelets.IEEE

Trans.On Information Theory，1992,38(2)．