新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总(共15套)
新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套）
1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】
1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x
abx acx ax m m m m 2
2
13
（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3
2
2
22
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“－”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“－”号后,多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x
abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2
2
1323()
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如：当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n
n n n -=--=----222121；,是在因式分解过程中常用的因式变
换。
解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3
2
2
22
)
243)((]
2)(2))[(()
(2)(2)(222
223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算1368
987
521136898745613689872681368987123?
+?+?+? 分析：算式中每一项都含有987
1368
,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987
+++?=
=?=987
1368
1368987
3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23
532x y x y +=-=-??
?
,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
分析：不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,
观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。
解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6。
4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n,32322
2n n n n ++-+-一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
3
23233222
222n n n n n n n n ++++-+-=+--
=+-+=?-?33122110352
22n n n n
()()
Θ对任意自然数n,103?n
和52?n
都是10的倍数。 ∴-+-++3
2322
2n n n n 一定是10的倍数
5、中考点拨：
例1。因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()---
=-+-=-+322231x x x x x ()()()()
说明：因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：41213
2
q p p ()()-+- 解：41213
2q p p ()()-+-
=-+-=--+=--+4121212112122132
2
2q p p p q p p q pq ()()()[()]()()
说明：在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1. 计算：200020012001200120002000?-? 精析与解答：
设2000=a ,则20011=+a
∴?-?200020012001200120002000
=+++-++=+?-+?=+?-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010
说明：此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算,运算量必然很大。其中2000、2001重复出现,又有200120001=+的特点,可通过设未知数,将复杂数字间的运算转化为代数式,再利用多项式的因式分解化简求值,从而简化计算。
例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542
x x x +++的公因式,求b 、c 的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式,求得公因式后可求b 、c,但比较麻烦。注
意到x bx c 2++是36254
2
()x x ++及3428542
x x x +++的因式。因而也是
-+++()3428542x x x 的因式,所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解：Θx bx c 2++是36254
2
()x x ++及3428542
x x x +++的公因式
∴也是多项式3625342854
2
4
2
()()x x x x x ++-+++的二次因式 而36253428514254
2
4
2
2
()()()x x x x x x x ++-+++=-+
Θb 、c 为整数
得：x bx c x x 2225++=-+ ∴=-=b c 25，
说明：这是对原命题进行演绎推理后,转化为解多项式1428702x x -+,从而简便求得
x bx c 2++。
例3. 设x 为整数,试判断1052+++x x x ()是质数还是合数,请说明理由。 解：1052+++x x x ()
=+++=++52225()()()()
x x x x x
Θx x ++25，都是大于1的自然数 ∴++()()x x 25是合数
说明：在大于1的正数中,除了1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）-+-41222
3
3
2
m n m n mn （2）a x
abx acx adx n n n n 2
211++-+--（n 为正整数）
（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3
2
2
2
22 2. 计算：()()-+-2211
10的结果是（ ）
A. 2
100
B. -210
C. -2
D. -1
3. 已知x 、y 都是正整数,且x x y y y x ()()---=12,求x 、y 。
4. 证明：812797913
--能被45整除。 5. 化简：11112
1995
+++++++x x x x x x x ()()()
…,且当x =0时,求原式的值。
【试题答案】
1. 分析与解答：
（1）-+-41222332m n m n mn =--+22612
2
mn mn m n () （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+-- =+---ax
ax bx cx d n 1
32()
（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()3
2
2
2
22
=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]
()()
()22
2
22333
注意：结果多项因式要化简,同时要分解彻底。 2. B
3. Θx x y y y x ()()---=12 ∴-+=()()x y x y 12 Θx y 、是正整数
∴12分解成1122634???，，
又Θx y -与x y +奇偶性相同,且x y x y -<+
∴-=+=??
?∴==??
?x y x y x y 2642
说明：求不定方程的整数解,经常运用因式分解来解决。 4. 证明：Θ812797
9
13
--
=--=--=?=??=?33339313
5
335345
2827262626
24224()
∴--812797913
能被45整除
5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()
11112
1995
x x x x x x …
=++++=++++++==+()()()()()()()()1111111121995
3419951996
x x x x x x x x x x x …………
∴当x =0时,原式=1
2 、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()()
完全平方公式
a a
b b a b 2222±+=±()
立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3
3
2
2
±=±?+()()μ 补充：欧拉公式：
a b c abc a b c a b c ab bc ca 3
3
3
2
2
2
3++-=++++---()() =
++-+-+-1
2
222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时,有a b c abc 3
3
3
3++=
（2）当c =0时,欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此,正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】
1. 把a a b b 22
22+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2
D. ()()a b b a 2
2
22--
分析：a a b b a a b b a b 2
2
2
2
2
2
22212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解,最后得到()()a b a b -++2,故选择B 。
说明：解这类题目时,一般先观察现有项的特征,通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +,求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算,可假设另一个因式,再用待定系数法即可求出m 的值。
解：根据已知条件,设2213
2
2
x x m x x ax b -+=+++()() 则222123
2
3
2
x x m x a x a b x b -+=+++++()()
由此可得211120
23a a b m b
+=-+==????
???()()()
由（1）得a =-1
把a =-1代入（2）,得b =1
2
把b =12代入（3）,得m =1
2
3. 在几何题中的应用。
例：已知a b c 、、是?ABC 的三条边,且满足a b c ab bc ac 2
2
2
0++---=,试判断
?ABC 的形状。
分析：因为题中有a b ab 2
2
、、-,考虑到要用完全平方公式,首先要把-ab 转成
-2ab 。所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。
解：Θa b c ab bc ac 222
0++---= ∴++---=2222220222
a b c ab bc ac
∴-++-++-+=()()()a ab b b bc c c ac a 2
2
2
2
2
2
2220 ∴-+-+-=()()()a b b c c a 2
2
2
0 Θ()()()a b b c c a -≥-≥-≥2
2
2
000，， ∴-=-=-=a b b c c a 000，， ∴==a b c
∴?ABC 为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来,然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数） 则()()23212
2
n n +-+
=++++--=+=+()()
()
()
2321232124481n n n n n n
由此可见,()()23212
2
n n +-+一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：因式分解：x xy 32
4-=________。
解：x xy x x y x x y x y 3
2
2
2
4422-=-=+-()()()
说明：因式分解时,先看有没有公因式。此题应先提取公因式,再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式：2883
2
2
3
x y x y xy ++=_________。
解：2882443
2
2
3
2
2
x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222
xy x y () 说明：先提取公因式,再用完全平方公式分解彻底。
题型展示： 例1. 已知：a m b m c m =
+=+=+1211221
2
3，，, 求a ab b ac c bc 2
2
2
222++-+-的值。 解：a ab b ac c bc 222
222++-+- =+-++()()a b c a b c 2
2
2 =+-()a b c 2 Θa m b m c m =
+=+=+1211221
2
3，， ∴原式=+-()a b c 2
=+++-+????
??
=()()()12112212314
2
2
m m m m
说明：本题属于条件求值问题,解题时没有把条件直接代入代数式求值,而是把代数式因式分解,变形后再把条件带入,从而简化计算过程。
例2. 已知a b c a b c ++=++=003
3
3
，, 求证：a b c 5550++=
证明：Θa b c abc a b c a b c ab bc ca 3
3
3
2
2
2
3++-=++++---()() ∴把a b c a b c ++=++=00333
，代入上式, 可得abc =0,即a =0或b =0或c =0 若a =0,则b c =-, ∴++=a b c 555
若b =0或c =0,同理也有a b c 5550++= 说明：利用补充公式确定a b c ，，的值,命题得证。
例3. 若x y x xy y 3
3
2
2
279+=-+=，,求x y 22
+的值。
解：Θx y x y x xy y 3
3
2
2
27+=+-+=()() 且x xy y 2
2
9-+=
)1(9232
2
=++=+∴y xy x y x ， 又x xy y 2
292-+=()
两式相减得xy =0 所以x y 22
9+=
说明：按常规需求出x y ，的值,此路行不通。用因式分解变形已知条件,简化计算过程。
【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）()()a a +--2312
2
（2）x x y x y x 52
22()()-+-
（3）a x y a x y x y 2
2
3
4
2()()()-+-+- 2. 已知：x x +
=-13,求x x
441
+的值。 3. 若a b c ，，是三角形的三条边,求证：a b c bc 22220---< 4. 已知：ωω2
10++=,求ω
2001
的值。
5. 已知a b c ，，是不全相等的实数,且abc a b c abc ≠++=033
3
3
，,试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b
()()()1
11111
+++
++的值。
【试题答案】
1. （1）解：原式=++-+--[()()][()()]a a a a 231231 =+-+()()4123a a =-+-()()4123a a
说明：把a a +-231，看成整体,利用平方差公式分解。 （2）解：原式=---x x y x x y 5
2
22()() =--x x y x 2
3
21()()
=--++x x y x x x 2
2
211()()()
（3）解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2
2
2
2 =-+-()()x y a x y 2
2
2. 解：Θ()x x x x +
=++121222 ∴+=+-=--=x x
x x 2222
112327()()
∴+=∴++=()x x x x 222441491249， ∴+=x x
4
4147
3. 分析与解答：由于对三角形而言,需满足两边之差小于第三边,因此要证明结论就需要把
问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证明：Θa b c bc 2
2
2
2---
=-++=-+=++--a b bc c a b c a b c a b c 22222
2()
()()()
Θa b c ，，是三角形三边 ∴++>a b c 0且a b c <+ ∴++--<()()a b c a b c 0 即a b c bc 222
20---< 4. 解Θωω2
10++=
∴+++=()()ωωω1102
,即ω3
10-=
∴=∴==ωωω3
200136671
1()
5. 分析与解答：（1）由因式分解可知
a b c abc a b c 3
3
3
3++-=++()?++---()a b c ab bc ca 2
2
2
故需考虑a b c ab bc ca 222++---值的情况,（2）所求代数式较复杂,考虑恒等变形。 解：（1）Θa b c abc 3333++= ∴++-=a b c abc 33330 又Θa b c abc 3333++-
=++++---()()a b c a b c ab bc ca 2
2
2
∴++++---=()()a b c a b c ab bc ca 2
2
2
0 而a b c ab bc ca a b b c c a 2
2
22221
2
++---=-+-+-[()()()] Θa b c ，，不全相等
∴++--->a b c ab bc ca 2
2
2
0 ∴++=a b c 0 （2）Θabc ≠0 ∴原式=
+++++1
222abc
a b c b c a c a b [()()()] 而a b c ++=0,即a b c =-+()
∴原式=+--1
333abc b c b c [()] =+1
3abc
bc b c [()]
=
-=-1
33
abc abc ()
说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。
3、三角形及其有关概念
【知识精读】
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：
（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）
（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质
（1）三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°
（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角,等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中,等角对等边,等边对等角,大角对大边,大边对大角； （5
4. 补S S ABE ??
5.
例1. 锐角三角形ABC 中,∠C ＝2∠B,则∠B 的范围是（ ） A. 1020?<
分析：
因为?ABC 为锐角三角形,所以090?<
又∵∠A 为锐角,()
∴=?-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>?∠∠B C 90 ∴>?390∠B ,即∠B >?30
∴?<
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x,3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100°
ΘAF BE F EBC FAB ABE //，∠∠，∠∠∴== 又∵BE 平分∠ABC,∴∠EBC ＝∠ABE ∴∠F ＝∠FAB,∴AB ＝BF 又∵AB ＋FB ＞AF,即2AB ＞AF
又∵AB AC AC AF ≤∴>1
2
， ∴>∠∠F C ,又∵∠∠F ABC =1
2
∴<∠∠C B 1
2
∴++<<
++6
4()()a b c c a b c 故最小边在周长的16与1
4
之间。
中考点拨：
∴++++=++=?∠∠∠∠∠∠∠∠A B C E D A AGF AFG 180 所以选择C
例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7,则第三边x 的范围是（ ） A. 大于2 B. 小于12 C. 大于2小于12 D. 不能确定 分析：根据三角形三边关系应有7575+>>-x ,即122>>x 所以应选C
在?AEP 中,
ΘΘ∠∠，∠∠，∠APE AEP AE AP AFE ACB AEF >∴>==?=?
6060
∴?AEF 是等边三角形 ∴=AF EF
()()()ΘAE AP BE EP BP PF FC PC AE EB EP PE FC AP BP PC
AB EF FC AP BP PC AB AF AC AP BP PC
PB PA PC AB AC >+>+>???
?
?++++>++++>++++>++∴++<+=2 ()∴+>+>+>???
?
?∴++>++=∴>++>
PA PB AB PB PC BC PC PA AC PA PB PC AB BC AC PA PB PC 23232
题型展示：
例1. 已知：如图,在?ABC 中,D 是BC 上任意一点,E 是AD 上任意一点。求证： （1）∠BEC ＞∠BAC ； （2）AB ＋AC ＞BE ＋EC 。
∴∠ 同理, ∴+>+∠∠∠∠BED DEC BAE CAE 即∠∠BEC BAC > （2）延长BE 交AC 于F 点
ΘAB AF BE EF
EF FC EC
AB AF EF FC BE EF EC
+>++>∴+++>++又
即AB AC BE EC +>+
例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
∴要转证∠EAB ＋∠ABD ＝270°
又∵∠C ＝90°,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证
证明：∵∠EAB ＝∠ABC ＋∠C ∠ABD ＝∠CAB ＋∠C
∠ABC ＋∠C ＋∠CAB ＝180°,∠C ＝90°
∴+=+++=?+?=?∠∠∠∠∠∠EAB ABD ABC C CAB C 18090270 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ()∴+=
+=??=?∠∠∠∠FAB FBA EAB ABD 121
2
270135 在?ABF 中,()
∠∠∠AFB FAB FBA =?-+=?18045
【实战模拟】
1. 已知：三角形的三边长为3,8,12+x ,求x 的取值范围。
2. 已知：
AD BC =,∠BCA 3. 如图,?ABC （ ） A. 68°
4. 已知：如图 求证：∠EAD
5.
【试题答案】
1.
分析：本题是三边关系的应用问题,只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。 解：∵三边长分别为3,8,12+x ,由三边关系定理得： 51211<+ ∴<<∴<<421025 x x 2. 解：ΘAB BC BCA BAC =∴∠=∠=，α 又ΘAD BC AD AB =∴=， ∴∠=∠D B ,又∵∠=∠+∠BCA D B ∴∠=-∴∠=-D B αβαβ， 根据三角形内角和,得： 2180ααβ+-=? ∴-=?3180αβ 3. 解：Θ∠=?BPC 134 ∴∠+∠=?PBC PCB 46 又∵BP 、CP 为∠B 、∠C 的平分线 ()∴= =∴+=+∴+=??=? ∴=?--=? ∠∠，∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PBC ABC PCB ACB PBC PCB ABC ACB ABC ACB BAC ABC ACB 121 2 1 2 2469218088 4. 证明：∠∠∠EAD EAC CAD =- ∵AE 平分∠BAC,∴= ∠∠EAC BAC 1 2 又∵AD ⊥BC,∴=?∠ADC 90 ∴=?-∠∠CAD C 90 又Θ∠∠∠BAC B C =?--180