数列与不等式知识点及练习唐

数列与不等式

一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：

①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112

-+?=n n n

a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )

(2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足??

≤≥+0

01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足??

?≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对

值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：

（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①??

?≥-==-)

2()111n S S n S a n n n （；②

{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①

)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.第一节通项公式

常用方法题型1 利用公式法求通项

例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。

2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322

-+=n n S n ； ⑵12+=n

n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：

???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n

n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.

题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；

⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2

，求数列{}n a 的通项公式.

总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”；迭乘法适用于求递推关系形如

“

)

(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：①

1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----

② 11

22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=

----- . 题型3 构造等比数列求通项

例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令p

x x a a n n -=

?==+11，∴

)

(1x a p x a n n -=-+；③由

pa a n n +=+1得

pa a n n +=-1，

∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .

例4已知数列{}n a 中，n

n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.

总结：递推关系形如“n

n n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为：“q pa a n n +=+1”或“n

n n n f a a )(1+=+求解.

数列求和的常用方法

一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和

公

式

：

???

??≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q

a a q

q a q na S n n n 3.

)

1(21

+==∑=n n k S n

k n 4、

)12)(1(61

2++==∑=n n n k S n

k n

5.21

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n 二.裂项相消法:适用于?

+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例2 求数列

)

1(n 1

+n 的前n 项和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分

解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）111)1(1+-

=+=n n n n a n （2）)1

21121(211)12)(12()2(2

+--+=+-=n n n n n a n （3）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

三.错位相减法:可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.

例1：求和：

. 例2:数列1，3x ，5x 2,…,(2n-1)x

n-1

前n 项的和．

小结：错位相减法类型题均为：

a b 等差数列等比数列连续相加。四.常用结论

1）1+2+3+...+n =

)

1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n 3）2

)1(2121??

???+=+++n n n 4） )12)(1(613212222++=++++n n n n

5） 111)1(1+-=+n n n n

)21

1(21)2(1+-=+n n n n

重要不等式

1、和积不等式：,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．

【变形】：①222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22

2()22

a b a b ab ++==）【注意】：

(,)2a b ab a b R ++∈，2

(

)(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”

222

2“”1122ab a b a b ab a b a b a b

++===++（当且仅当时取） *.若0x >，则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;

若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

若0x ≠，则11122-2x x x x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）

*.若0>ab ，则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：

3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；

3a b c ++ ?3()3

a b c abc ++≤3333a b c ++≤

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，

ab b a 222≥+同时除以ab 得

2≥+b a a b 或b

a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b

a -≥22

八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2

(b a ab +≤； ③2)2(

222b a b a +≤+ ④)(22

b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b

a b a +≥+4

11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥

+； ⑧ 若0≠ab ，则222)1

1(2111b a b

a +≥+。上述八个不等式中等号成立的条件都是“

b a =”。

放缩不等式：

①00a b a m >>>>，，则b m b b m

a m a a m

-+<<

-+. 【说明】：

b b m

a a m

+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b

a n

b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b

c R +

∈，

b d a

c <，则b b

d d

a a c c

+<<+； ③n N +∈

< ④,1n N n +∈>，211111

11n n n n n

-<<-+-.

⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x

e x +≥()x R ∈

函数()(0)b

f x ax a b x

>、图象及性质

(1)函数()0)(>+

=b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+

=b a x

b ax x f 、性质：

①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；

②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0) 最值定理

（积定和最小）

①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值

（和定积最大）

②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值

214

s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2

+-=+.

（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. （2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +

∈，若1ax by +=，则有则

的最小值为：

11()()by ax

ax by a b a b x y x y x y

+=++=+++++=≥

④已知，若

则

和

的最小值为：②. ②

应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.

⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <

，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值. ⑶调整分子：例3.求函数2710

()(1)1

x x f x x x ++=

≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等

式2a b +≥有几个常用变形

a b +≥

，222

()22

a b a b ++≥不易想到，应重视；例4.

求函数15

()22

y x =<<的最大值；

⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求2

16()

y a b a b =+-的最小值；

⑹对数变换：例6.已知1,12

x y >>，且xy e =，求ln (2)y

t x =的最大值；

⑺三角变换：例7.已知2

0y x π

≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；

⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11

t a b

=+的最小值 1、数列95

,74,53,32,

1的一个通项公式n a 是（） A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、3

2+n n

2、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2

4282a a a =，11=a 则=2a （） A 、2 B 、2 C 、

22 D 、2

1 3、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02

564=-+a a a 则=9S （）

A 、17

B 、18

C 、19

D 、20

4、已知)1,0(,21∈a a ，记21a a M =，121-+=a a N 则M 与N 的大小关系（） A 、MN C 、M=N D 、不确定

5、若01

a ，则下列不等式：

c a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中正确的是（）

A 、（1）（2）

B 、（2）（3）

C 、（1）（3）

D 、（3）（4）

6、不等式

121

3≥--x x 的解集是（） A 、??????≤≤243x x B 、??????<≤243x x C 、???

??≤>432x x x 或 D 、{}2

7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5935

,9a S a S ==则（）

A 、 1

B 、 1-

C 、 2

D 、 1

8、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2

2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2

2，其中正确的个数是（）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

9、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足??

??≥<+≤+-125530

34x y x y x ，则有（）

A 、3,12min max ==z z

B 、,12max =z z 无最小值

C 、z z ,3min =无最大值

D 、z 既无最大值，也无最小值 10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成立，则（）

A 、11<<-a

B 、20<

C 、2

321<<-

a D 、2

23<<-

a 二、填空题：（每小题5分，共25分）

11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和

=4S ___________ 12、等比数列{}n a 的前n 项和n S ，又2132S S S +=，则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ，则xy 的最大值为___________

14、实数x 、y 满足不等式组??

??≥-≥≥0

y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________

15、关于x 的不等式211

(1)0(0)x a x a a a a

+++<>的解集为三、解答题：

16、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知16,241==a a ，

（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .

17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2

48n S n n =-

(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求n S 的最大或最小值.

18、（本小题满分12分）已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =，),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若

n n a C =·n n b 2+，

（1）求数列{}n C 的通项公式；（2）求数列{}n C 的前n 项和n S .

19、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，n

n n a a a 22,111+==+

（1）设1

n n

n a b ，证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 20、（本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1

万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？

21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1

112,2--

==n n a a a ， ,4,3,2=n ，

(1) 求证：数列?

???-11n a 为等差数列； (2) 求数列{}n a 的通项公式；

（3）令∑=+=

i i i n a a T 11

，求证：43+

B A B B

C BADCC 二、填空题：（每小题5分，共25分） 11、

215 12、21- 13、81 14、 [－1,1) 15、1

(1,)a a

+ 三、解答题：

16、解：（1）设公比为q ，则n n n q a a q q 2,2,2161

13==∴=∴=------------------------6分（2）由（1）得,32,853==a a 则12,32,853===d b b

2812-=∴n b n n n S n 2262

-=-----------------------（12分）

17、解：（1）当n=1时，4711-==S a

当n ≥2时，4921-=-=-n S S a n n n 故492-=n a n

（2）由 2

48n S n n =-576)24(2--=n ，于是n S 有最小值是-576，此时24=n ；

无最大值。------------12分

18、(1) n n a C =·n n b 2+122sin 22cos 2+=++=n n n n θθ ),(*

N n ∈------------6分

(2) 22)12(2)222(1

2-+=+-=++++=+n n n S n n n n )(*N n ∈------------12分 19、解：（1）由n

n n a a 221+=+得

211+=-+n n

n n a a }{11n n n b b b ∴=-∴+是等差数列-

n n n S 223222232?+???+?+?+=-----------------------8分

（1）-（2）n

n n n S 22

2211

?-+???+++=-- =n n n n

n n 2222

121?-=?---

1)1(2+-=∴n S n n ----------------------12分

20、解：（1）设第n 年获取利润为y 万元

n 年共收入租金30n 万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，

共222

)

1(n n n n =?-+

因此利润)81(302n n y +-=，令0>y 解得：273<

（2）方案一：年平均利润n n

n n n W --=+-=

30)81(302 1281230=-≤（当且仅当n n

=81

，即n=9时取等号）