吉林省名校调研2020年中考数学一模试卷解析版

中考数学一模试卷

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）

1.抛物线y=-x2+2的对称轴为（ ）

A. x=2

B. x=0

C. y=2

D. y=0

2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.

3.已知，关于x的一元二次方程x2+3x+m=0中，m＜0，则该方程解得情况是（ ）

A. 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 没有实数根

D. 不能确定

4.若反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）

A. k＜

B. k＞

C. k＞2

D. k＜2

5.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），

则cosα的值是（ ）

A.

B.

C.

D. 2

6.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过

位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面

积比是4：9，则OB′：OB为（ ）

A. 2：3

B. 3：2

C. 4：5

D. 4：9

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.sin30°+tan45°=______．

8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同

一直线上，则∠B的度数为______．

9.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的

值为______．

10.如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP=∠B，若

AP=2，BP=3，则AC的长为______．

11.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连结AD、BC、

BD、DC，若BD=CD，∠DBC=20°，则∠ABC的度数为______．

12.如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点

下降0.5m时，长臂端点升高为______．（杆的宽度忽略不计）

13.在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴的

正半轴上，以OA，OC为边分别作矩形OABC，双曲线y=

（x＞0）交AB于点E，AE：EB=1：3，则矩形的面积为

______．

14.二次函数y=2x2-4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图

象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y

轴，MN⊥x轴，则=______．

三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）

15.如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD=37°，再沿BD方

向前进150m到达点C，测得∠ACD=45°，求小岛A到公路BD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是弦BC的中点，P

是⊙O外一点且∠PBC=∠A，连接OE并延长交⊙O于

点F，交BP于点D．

（1）求证：BP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BD=8，求弦BC的长．

四、解答题（本大题共10小题，共82.0分）

17.解方程：x2+8x=9．

18.已知y是x的反比例函数，且x=3时，y=8．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果自变量x的取值范围为3≤x≤4．求y的取值范围．

19.如图，已知△ABC中，AB=AC=5，cos A=．求底边BC的长

．

20.2019年中国北京世园会开园期间，为了满足不同人群的游览需求，组委会倾情打

造了四条趣玩路线，分别是“解密世园会”、“爱我家，爱园艺”、“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”小明一家想通过抽签的方法选择其中的两条路线进行游玩，于是他们制作了如下四张卡片，然后从四张卡片中随机抽取其中的两张若小明最钟爱的游玩路线是“园艺小清新之旅“，小明的爸爸和妈妈最钟爱的游玩路线是“解密世园会”，请用列表法或画树状图法求出：他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是多少？

21.已知半圆的直径CD=12cm，如图所示，弧DE所对的圆心

角∠ECD=30°，求阴影部分的周长．

22.图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小

正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．

（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；

（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为的轴对称图形．

23.如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=的图

象于点A（2，-4）和点B（h，-2），交x轴于点C．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）连接OA、OB．求△AOB的面积；

（3）请直接写出不等式kx+b＞的解集．

24.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB

，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现：当α=0°时，的值为______；

（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；

（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE=5，AC=4，直接写出线段BE的长______．

25.如图，一条顶点坐标为（-1，）的抛物线与y轴交于点C（0，5），与x轴交于

点A和点B，有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E 和F

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点M和N都有在线段AC上时，连接MF，如果MF=AF，求点Q的坐

标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

26.如图，在?ABCD中，∠ABD=90°，AD=5，BD=3，点P从点A出发，沿折线AB一

BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=2，MN与BD在PQ的同侧，设点P的运动时间为t（秒）．

（1）当t=5时，求线段CP的长；

（2）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；

（3）当点M落在BD上时，求t的值；

（4）当矩形PQMN与?ABCD重叠部分图形为五边形时，直接写出t的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵抛物线y=-x2+2，

∴该抛物线的对称轴为直线x=0，

故选：B．

根据题目中的抛物线y=-x2+2，可以直接写出该抛物线的对称轴．

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】C

【解析】解：从上边看是左右各一个矩形，左边的矩形大，

故选：C．

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．

3.【答案】B

【解析】解：△=9-4m，

∵m＜0，

∴-4m＞0，

∴△=9-4m＞0，

故选：B．

根据根的判别式即可求出答案．

本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．

4.【答案】B

【解析】解：∵反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，

∴1-2k＜0，

解得k＞，

故选：B．

根据反比例函数的图象和性质，由1-2k＜0即可解得答案．

本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

5.【答案】C

【解析】解：如图，作AH⊥x轴于H．

∵A（2，1），

∴OH=2，AH=1，

∴OA===，

∴cosα===，

故选：C．

如图，作AH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA，根据三角函数的定义解决问题即可．本题考查解直角三角形，坐标由图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

6.【答案】A

【解析】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，

∴△A′B′C′∽△ABC．

∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，

∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，

∴=

故选：A．

先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．

本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

7.【答案】

【解析】解：原式=+1=．

故答案为：．

分别把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．8.【答案】15°

【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，

∴∠BAD=150°，AD=AB，

∵点B，C，D恰好在同一直线上，

∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，

∴∠B=∠BDA，

∴∠B=（180°-∠BAD）=15°，

故答案为：15°．

先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．

9.【答案】

【解析】解：作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵AE=BE=4，∠AEB=90°，

∴∠ABE=∠BAE=45°，

∴sin B=sin45°=，

故答案为．

作AE⊥BC于E．利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．

本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题．

10.【答案】

【解析】解：AB=AP+BP=2+3=5，

∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴=，

∴AC2=AP?AB=2×5=10，

∴AC=，

故答案为：．

AB=AP+BP=5，由∠ACP=∠B，∠A=∠A，得出△ACP∽△ABC，得出=，代入数值即可

得出结果．

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】50°

【解析】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵BD=CD，∠DBC=20°，

∴∠C=∠DBC=20°，

∴∠A=∠C=20°，

∴∠ABD=90°-∠A=70°，

∴∠ABC=∠ABD-∠DBC=70°-20°=50°

故答案为50°

先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB=90°，由BD=CD，∠DBC=20°，根据等腰三角形性质可得：∠C=20°，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠A=20°，根据三角形内角和定理求得∠ABD=70°，进而即可求得∠ABC的度数．

此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角为90°．

12.【答案】8m

【解析】解：如图，

由题意知∠BAO=∠C=90°，

∵∠AOB=∠COD，

∴△ABO∽△CDO，

∴，即=，

解得：CD=8，

故答案为：8m．

由题意证△ABO∽△CDO，可得，即=，解之可得．

本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.【答案】24

【解析】解：设E点坐标为（t，），

∵AE：EB=1：3，

∴B点坐标为（4t，），

∴矩形OABC的面积=4t?=24．

故答案为：24．

根据反比例函数图象上点的坐标特征设E点坐标为（t，），则利用AE：EB=1：3，B 点坐标可表示为（4t，），然后根据矩形面积公式计算．

本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象

上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

14.【答案】2

【解析】解：∵二次函数y=2x2-4x+4=2（x-1）2+2，

∴点P的坐标为（1，2），

设点M的坐标为（a，2），则点N的坐标为（a，2a2-4a+4），

∴===2，

故答案为：2．

根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算

即可解答本题．

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.【答案】解：过A作AE⊥CD垂足为E，设AE=x米，

在Rt△ABE中，tan B=，

∴BE==x，

在Rt△ABE中，tan∠ACD=，

∴CE==x，

∵BC=BE-CE，

∴x-x=150，

解得：x=450．

答：小岛A到公路BD的距离为450米．

【解析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE=x米，再利用锐角三角函数关系得出BE=x，

CE=x，根据BC=BE-CE，得到关于x的方程，即可得出答案．

此题主要考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

16.【答案】（1）证明：如图，连接OB，

∵E是弦BC的中点，

∴BE=CE，OE⊥BC，==，

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，

∵∠PBC=∠A，

∴∠BOE=∠PBC，

∴∠OBE+∠PBC=90°．即BP⊥OB．

∴BP是⊙O的切线

（2）解：∵OB=6，BD=8，BD⊥OB．

∴OD==10．

∵△OBD的面积=OD?BE=OB?BD，

∴BE==4.8．

∴BC=2BE=9.6

【解析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=CE，OE⊥BC，=，由圆周角定

理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠PBC=90°，得出∠OBD=90°即可；

（2）由勾股定理求出OD，由△OBD的面积求出BE，即可得出弦BC的长．

本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算

；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．

17.【答案】解：x2+8x=9，

x2+8x-9=0，

（x+9）（x-1）=0，

x+9=0或x-1=0，

解得x1=-9，x2=1．

【解析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

18.【答案】解：（1）设反比例函数是y=（k≠0），

当x=3时，y=8，代入可解得k=24．

所以y=．

（2）当x=3时，y=8，当x=4时，y=6，

∴自变量x的取值范围为3≤x≤4．y的取值范围为6≤y≤8．

【解析】（1）根据反比例函数的定义设出表达式，再利用待定系数法解出系数则可；（2）分别代入x的值求得y值后即可求得y的取值范围；

本题考查了反比例函数的性质及反比例函数的定义，能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大．

19.【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，

在Rt△ABD中，cos A=，

∵cos A=，AB=5，

∴AD=AB?cos A=5×=3，

∴BD==4，

∵AC=AB=5，

∴DC=2，

∴BC==2．

【解析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．

本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

20.【答案】解：设上述四张卡片从左到右依次用字母A，B，C，D表示，则抽取结果可以用如下树状图表示：

从树状图可知，所有等可能结果有12种，其中能同时能抽中A和D的结果有2种，所以他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是．

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中A 和D的情况，再利用概率公式即可求得答案．

此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，

∵弧DE所对的圆心角∠ECD=30°，

∴的长为=2π，

∵∠DOF=2∠ECD=60°，

∴的长度为=2π，

∵CD为直径，

∴∠CFD=90°，

∴DF=CD=6，CF=DF=6，

∴EF=12-6，

∴阴影部分的周长=2π+2π+12-6=4π+12-6．

【解析】CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，先利用弧长公式计算出的长为2π，再根据圆周角定理得到∠DOF=60°，∠CFD=90°，然后利用弧长公式计算出的长和

EF=12-6，

从而得到阴影部分的周长．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了弧长公式．

22.【答案】解：（1）如图所示：

四边形ABCD是面积为12的平行四边形；

（2）如图所示：

△EFP是面积为的等腰三角形．

【解析】（1）根据平行四边形的底边为4，高为3，进行画图；

（2）根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．

本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形．

23.【答案】解：（1）把A（2，-4）的坐标代入y=得：m=-8，

∴反比例函数的解析式是y=-；

把B（h，-2）的坐标代入y=-得：-2=-，

解得：n=4，

∴B点坐标为（4，-2），

把A（2，-4）、B（4，-2）的坐标代入y=kx+b，

得：，解得：，

∴一次函数解析式为y=x-6；

（2）∵y=x-6，

∴当y=0时，x=0+6=6，

∴OC=6，

∴△AOB的面积=△AOC的面积-三角形BOC的面积

=×6×4-×6×2

=12-6

=6；

（3）由图象知，kx+b＞的解集为0＜x＜2或x＞4．

【解析】（1）先把点A的坐标代入y=，求出m的值得到反比例函数解析式，再求点

B的坐标，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；

（2）先求出C点坐标，再根据△AOB的面积=△AOC的面积-三角形BOC的面积即可求解；

（3）观察函数图象即可求出不等式kx+b＞的解集．

本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及观察图象的能力，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键．

24.【答案】 7或1

【解析】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°，

∵DE∥AB，

∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴cos∠C==，

∵DE∥AB，

∴==，

故答案为：；

（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角

形，

∴==，

又∠BCE=∠ACD=α，

∴△BCE∽△ACD，

∴==，

即=；

（3）①如图3-1，当点E在线段BA的延长线上时，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAE=90°，

∴AE===3，

∴BE=BA+AE=4+3=7；

②如图3-2，当点E在线段BA上时，

AE===3，

∴BE=BA-AE=4-3=1，

综上所述，BE的长为7或1，

故答案为：7或1．

（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出=，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出的值；

（2）证△BCE∽△ACD，由相似三角形的性质可求出的值；

（3）分两种情况讨论，一种是点E在线段BA的延长线上，一种是点E在线段BA上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长．

本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．

25.【答案】解：（1）根据题意，抛物线顶点为，

设抛物线为．

抛物线过点C（0，5），

∴，

抛物线解析式为．

（2）易得：A（-5，0），B（3，0）．如图，作FD⊥AC于D，

∵OA=5，OC=5，

∴∠CAO=45°．

设AF=m，则．

在△MEF中，FM2=ME2+EF2，

∴，

解得（不符合题意，舍去）．

∴AF=2，

∴点Q的横坐标为-3．

又点Q在抛物线上，

∴Q（-3，4），

（3）设直线AC的解析式y=kx+n，

由题意，得∴直线AC的解析式y=x+5．

由已知，点Q，N，F及点P，M，E横坐标分别相同．

设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），

．

在矩形平移过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：

①点Q，P在直线AC同侧时，QN=PM．

∴，

解得：t=-3．∴M（-2，3）．

②点Q，P在直线AC异侧时，QN=MP．

∴，

解得∴．

∴符合条件的点M是（-2，3），．

【解析】（1）设抛物线为，把点（0，5）代入即可解决问题．（2）作FD⊥AC于D，设AF=m，则，列出方程求出m

的值即可解决问题．

（3）设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），

．①当MN是对角线时，由QN=PM，列出

方程即可解决问题．②点Q，P在直线AC异侧时，QN=MP，解方程即可．

本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

26.【答案】解：（1）如图1中，

在Rt△ABD中，∵∠ABD=90°，AD=5，BD=3，

∴AB==4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=5，CD=AB=4，

当t=5时，点P在BC上，PB=1，

∴PC=4．

（2）①如图2中，当0＜t＜4时，

∵PQ∥BD，

∴=，

∴=，

∴PQ=t．

②如图3中，当5＜t＜10时，

∵PQ∥BD，

∴=，

∴=，

∴PQ=（9-t）．

（3）①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，

∵QM∥AB，