高中数学选修2-1期末考试试题及答案

一．选择题（每小题5分，满分６0分）

１.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

２.对于两个命题：

①,1sin 1x R x ?∈-≤≤， ②2

2

,sin cos 1x R x x ?∈+>，

下列判断正确的是（ ）。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真

３.与椭圆14

22

=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1222

=-y x B. 1422=-y x C. 122

2=-y x D. 13322=-y x

４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点，则2ABF ?是正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A

22 B 1

2

C 33

D 13 ５.过抛物线2

8y x =的焦点作倾斜角为0

45直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是

（ ）

A 8

B 16

C 32

D 64 ６.在同一坐标系中，方程)0(012

2

2

2

2

>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

７.已知椭圆122

22=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ?的面积 最大值一定是

（ ）

A 2

a B a

b C 22a b - D 22

b a b -

８.已知向量k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(且互相垂直,则实数k 的值是( )

A ．1

B ．51

C ． 53

D ．57

９.在正方体1111

ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则

1A B

与

1D E

所成角的余弦值为（ ）

A ．510

B ．

1010

C ．55

D ．

105

10.若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(12

2

与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为

2

2，

则m n

的值是( )

2.2

3.22.

29

2. D C B A

11.过抛物线y x 42

=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

12..以12

42

2y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ） A.

1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 14

162

2=+y x D. 二．填空题（每小题４分）

13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，则x+y=___

14．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则

AB

等于___

15．若命题P ：“?x ＞0，0222<--x ax ”是真命题 ，则实数a 的取值范围是___．

16．已知90AOB ∠=?，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=?，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___．

三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。） 17．（本小题满分14）

设命题P ：2

",2"x R x x a ?∈->，命题Q ：2

",220"x R x ax a ?∈++-=； 如果“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，求a 的取值范围。 18．（15分）如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD

OC OB y OA x OM 3

1

++=

⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD （如图②）

（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；

（Ⅱ）求二面角G-EF-D的大小；

（Ⅲ）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．

19．(15分) 如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪

分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里请予以证明.

C

B

20.（15分）设21,F F 分别为椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右两个焦点.

（Ⅰ）若椭圆C 上的点21,)2

3

,1(F F A 到两点的距离之和等于4，求椭圆C 的方程和焦点坐标； （Ⅱ）设点P 是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，的最大值求||),2

1,0(PQ Q 。

21.（15分）如图，设抛物线C ：y x 42

=的焦点为F ，),(00y x P 为抛物线上的任一点（其中0x ≠0）， 过P 点的切线交y 轴于Q 点． （Ⅰ）证明：FQ FP =；

（Ⅱ）Q 点关于原点O 的对称点为M ，过M 点作平行于PQ 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若

)1(>=λλMB AM ，求λ的值．

B A

O F

x

y

Q

P

M

高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准 一．选择题：ABCCB D CBDB DD

二、填空题：１３. １ １5.

)4,(-∞ １6.详解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =1,2OE OD ?==，又60,2COE CE OE OE ∠=⊥?=,

所以22

2CD OC OD =-=，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值

2

sin 2COD ∠=

，本题亦可用向量法。１６.

y ex =

三．解答题：

１７解：命题P ：2

",2"x R x x a ?∈->

即2

2

2(1)1x x x a -=-->恒成立1a ?<- …………3分 命题Q ：2

",220"x R x ax a ?∈++-= 即方程2

220x ax a ++-=有实数根

∴2

(2)4(2)0a a ?=--≥ 2a ?≤-或1a ≥ .…………6分 ∵“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，∴P 与Q 一真一假 …………8分 当P 真Q 假时，21a -<<-；当P 假Q 真时，1a ≥ …………10 ∴a 的取值范围是(2,1)

[1,)--+∞ ………1４

１８(14分)解法一：（Ⅰ）在图②中 ∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AP ⊥CD ∴ PD ⊥CD ，PD ⊥DA ∴PD ⊥平面ABCD

如图. 以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DP 分别为y x 、与z 轴建立空间直角坐标系： …………………1分

则()0,0,0D ()0,0,2A ()0,2,2B ()0,2,0C ()2,0,0P ()1,1,0E ()1,0,0F ()0,2,1G

()2,0,2-=∴AP ()0,1,0-=EF ()1,2,1-=FG ………………3分

设平面GEF 的法向量),,(z y x n =，由法向量的定义得： ??

?==????=-+=????=-?=-???????=?=?z x y z y x y FG n EF n 0020

0)1,2,1()z y,x,(0)0,1,0()z y,x,(00

不妨设 z=1， 则 ………………………………4分

32

)1,0,1(=n

0210212=?+?+?-=? ………………………………5分

⊥∴，点P ? 平面EFG

∴AP ∥平面EFG

………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF 的法向量

，因平面EFD 与坐标平面PDC 重合 则它的一个法向量为i =（1，0，08分

设二面角D EF G --为θ.则 …………9分

由图形观察二面角D EF G --为锐角，故二面角G-EF-D 的大小为45°。………10分 （Ⅲ）假设在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，

∵P 、Q 、D 三点共线，则设t t +-=)1(，又()0,2,2=，()2,0,0= ∴)22,2,2(t t t -=，又()2,0,0= …………11分 若PC ⊥平面ADQ ，又)2,2,0(-=

则210)22(2220)22,2,2()0,2,-2(0)0,0,2()0,2,-2(00

=?=--????

?=-?=???????=?=?t t t t t t DQ PC …………1５分

∴

）DB DP DQ +=

(21

， ………………………………13分

故在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，且点Q 为线段PB 的中点。……1５分 解法二：（1）∵EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，根据面面平行的判定定理

∴平面EFG ∥平面PAB ，又PA ?面PAB ，∴AP ∥平面EFG ……………………4分 （2）∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC

∴AD ⊥平面PCD ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥面EFD

过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ，根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR ，∴∠GRC=45°，

故二面角G-EF-D 的大小为45°。 …………………8分 （3）Q 点为PB 的中点，取PC 中点M ，则QM ∥BC ，∴QM ⊥PC

在等腰Rt △PDC 中，DM ⊥PC ，∴PC ⊥面ADMQ ……………………1５分 １９(14分)解: （1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE2－2x ·AE ·cos60°

?y 2＝x 2＋AE2－x ·AE,① 又S △ADE ＝ S △ABC ＝ · 2＝ x ·AE ·sin60°?x ·AE ＝2.② ……4分

②代入①得y 2＝x 2＋ －2（y ＞0）, ∴y ＝ ………6分

121222(x )1,0,1(=22

21cos =?=θ

又x ≤2，若1x <， ，矛盾，所以

x ≥1

∴y ＝

x ≤2

）. ………………………7分

（2）如果DE 是水管y = ………………10分

当且仅当x 2＝2

4

x ，即x ＝2时“＝”成立， …………………………1５分

故DE ∥ BC ，且DE ＝2. ………………………………1５分 ２０解：（Ⅰ）椭圆C 的焦点在x 轴上，

由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2. …….2分

又点.1,31)23

(21

,)23,1(2222

2===+c b b

A 于是得因此在椭圆上 …….4分

所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,134212

2F F y x -=+焦点 …….6分 （Ⅱ）设134),,(22=+y x y x P 则223

44y x -=∴ …….8分 222222141117

||()423434

PQ x y y y y y y =+-=-+-+=--+ …….10分

5)2

3

(312++-=y …….12分

又33≤≤-y 5||,2

3

max =-=∴PQ y 时当 …….1５分

２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知1||0+=y PF ，

2

|0

0x y k x x PQ =

'==， 可得PQ 所在直线方程为0

00()2

x y y x x -=

-， ∵2

004

x y =

∴得Q 点坐标为(0, 0y -)

∴1||0+=y QF ∴ |PF |=|QF |

（Ⅱ）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，又M 点坐标为(0, y 0)

∴AB 方程为00

2

y x x y +=

…….8分。 22AE x =>

由??

???+==00

224y x x y y x 得042002

=--y x x x ∴,2021x x x =+2

00214x y x x -=-=……① …….10分。

由λ=得：),(),(022101y y x y y x -?=--λ，

∴21x x λ-= ……② …….12分。 由①②知??

?==-2

22022)1(x x x x λλ，得2

22224)1(x x λλ=-，由x 0≠0可得x 2≠0， ∴λλ4)1(2

=-，又1>λ，解得：223+=λ． …….1５分。

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