解析几何专题含答案
椭圆专题练习
1.【2017,2】椭圆22
194
x y +=的离心率是
A .
13
B .
5 C .
23
D .
59
2.【2017课标3,理10】已知椭圆C :22
221x y a b
+=,(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,
且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为
A .
6
B .
3 C .
2 D .
13
3.【2016高考理数】已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n
–y 2
=1(n >0)的焦点重合,
e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则()
A .m >n 且e 1e 2>1
B .m >n 且e 1e 2<1
C .m
D .m 4.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的左 焦点,,A B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段 PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为() (A ) 1 3 (B )12 (C ) 23 (D ) 34 5.【2015高考新课标1,理14】一个圆经过椭圆 22 1164 x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为. 6.【2016高考卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22 221()x y a b a b +=>>0的右焦 点,直线2 b y = 与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是. 7.【2017课标1,理20】已知椭圆C :22 22=1x y a b +(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1, 32),P 4(1,32 )中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程; (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 8.【2017课标II ,理】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :22 12 x y +=上,过M 作x 轴的垂线, 垂足为N ,点P 满足2NP NM = 。 (1) 求点P 的轨迹方程; (2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ?=。证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。 9.【2017,理21】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2 , 焦距为. (Ⅰ)求椭圆E 的方程; (Ⅱ)如图,动直线:13 y k x =-交椭圆E 于,A B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为2k ,且122 4 k k = ,M 是线段OC 延长线上一点,且:2:3MC AB =,M 的半径为MC ,,OS OT 是M 的两条切线,切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值,并求取得最大值时直线的斜 率. 10.【2017,理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为1 2 . 已知A 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线的距离为12 . (I )求椭圆的方程和抛物线的方程; (II )设上两点P ,Q 关于轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与 轴相交于点D .若APD △ 的面积为2 AP 的方程. 11.【2017,17】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分 别为1F , 2F ,离心率为1 2 ,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过 点1F 作直线1PF 的垂线,过点2F 作直线2PF 的垂线. (1)求椭圆E 的标准方程; (2)若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标. 12.【2016高考新课标1卷】(本小题满分12分)设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程; (II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值围. 13.【2016高考理数】(本小题满分14分) 平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>> 的离心率是2,抛物线E : 22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程; (II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上; (第17题) (ii)直线与y轴交于点G,记PFG △的面积为 1 S,PDM △的面积为 2 S,求1 2 S S 的最大值及取得最大值时点P的坐标. 【答案】(Ⅰ)1 42 2= +y x;(Ⅱ)(i)见解析;(ii)1 2 S S的最大值为4 9 ,此时点P的坐标为 ) 4 1 , 2 2 ( 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率和焦点求方程;(Ⅱ)(i)由点P的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立,进而判断点M在定直线上;(ii)分别列出 1 S ,2 S 面积的表达式,根据二次函数求最值和此时点P的坐标. 试题解析: (Ⅱ)(i)设)0 )( 2 , ( 2 > m m m P,由y x2 2=可得x y= /, 所以直线的斜率为m, 因此直线的方程为) ( 2 2 m x m m y- = -,即 2 2 m mx y- =. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ,联立方程222241m y mx x y ?=- ???+=? 得014)14(4 3 2 2 =-+-+m x m x m , 由0>?,得520+< 3 21+=+m m x x , 因此1 42223 210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得) 14(222 0+-=m m y , 因为 m x y 41 00-=,所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程?? ??? =- =m x x m y 41,得点M 的纵坐标为M 14y =-, 即点M 在定直线4 1 - =y 上. (ii )由(i )知直线方程为22 m mx y -=, 令0=x 得22 m y -=,所以)2,0(2m G -, 又21(,),(0,),22m P m F D )) 14(2,142(22 23+-+m m m m , 所以)1(4 1 ||2121+== m m m GF S , )14(8)12(||||2122 202++= -?=m m m x m PM S , 所以2 22221) 12()1)(14(2+++=m m m S S , 令122 +=m t ,则 21 1)1)(12(2221++-=+-=t t t t t S S , 当 2 1 1 = t ,即2 = t时, 2 1 S S 取得最大值 4 9 ,此时 2 2 = m,满足0 > ?, 所以点P的坐标为) 4 1 , 2 2 (,因此1 2 S S 的最大值为 4 9 ,此时点P的坐标为) 4 1 , 2 2 (. 考点:1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3. 二次函数的图象和性质. 14.【2015高考,18】(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的离心率为 2 2 ,且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程. 【答案】(1) 2 21 2 x y +=(2)1 y x =-或1 y x =-+. 【解析】 试题分析(1)求椭圆标准方程,只需列两个独立条件即可:一是离心率为 2 2 ,二是右焦点F 到左准线l的距离为3,解方程组即得(2)因为直线AB过F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率,本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系,这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组,解出AB两点坐标,利用两点间距离公式求出AB长,再根据中点坐标公式求出C点坐标,利用两直线交点求出P点坐标,再根据两点间距离公式求出PC长,利 用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程. (2)当x AB⊥轴时,2 AB=,又C3 P=,不合题意. 当AB与轴不垂直时,设直线AB的方程为()1 y k x =-,() 11 ,x y A,() 22 ,x y B, 将AB的方程代入椭圆方程,得()() 2222 124210 k x k x k +-+-=, 则 () 22 1,2 221 k k x ±+ =,C的坐标为 2 22 2 , 1212 k k k k ?? - ? ++ ?? ,且 ()()()() ()2 222 2 2121212 221 1 12 k x x y y k x x k + AB=-+-=+-= + . 若0 k=,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意. 从而0 k≠,故直线C P的方程为 2 22 12 1212 k k y x k k k ?? +=-- ? ++ ?? , 则点的坐标为() 2 2 52 2, 12 k k k ?? + ? - ? + ?? ,从而 () () 22 2 2311 C 12 k k k k ++ P= + . 因为C2 P=AB,所以 () () () 222 2 2 2311421 12 12 k k k k k k +++ = + + ,解得1 k=±. 此时直线AB方程为1 y x =-或1 y x =-+. 【考点定位】椭圆方程,直线与椭圆位置关系 15.【2016高考理数】(本小题满分14分) 设椭圆1 3 2 2 2 = + y a x (3 > a)的右焦点为F,右顶点为A,已知 | | 3 | | 1 | | 1 FA e OA OF = +, 其中O 为原点,为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点A 的直线与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于的直线与交于点M , 与y 轴交于点H ,若HF BF ⊥,且MOA MAO ∠≤∠,求直线的斜率的取值围. 【答案】(Ⅰ) 22 143 x y +=(Ⅱ)),46[]46,(+∞--∞ 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由 113||||||c OF OA FA +=,得113()c c a a a c +=-, 再利用2223a c b -==,可解得21c =,2 4a =(Ⅱ)先化简条件: MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =,即M 再OA 中垂线上,1M x =,再利用直线与椭圆位置关 系,联立方程组求B ;利用两直线方程组求H ,最后根据HF BF ⊥,列等量关系解出直线斜率.取值围 试题解析:(1)解:设(,0)F c ,由 113||||||c OF OA FA +=,即113() c c a a a c +=-,可得2 2 2 3a c c -=,又2 2 2 3a c b -==,所以2 1c =,因此2 4a =,所以椭圆的方程为 22 143 x y +=. (2)(Ⅱ)解:设直线的斜率为k (0≠k ),则直线的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,由 方程组?? ???-==+)2(13 42 2x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2 222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346 822+-=k k x ,由题意得346822+-=k k x B ,从而3 4122+-=k k y B . 由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=, )3412,3449(222++-=k k k k BF .由HF BF ⊥,得0=?HF BF ,所以034123449222=+++-k ky k k H ,解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为 k k x k y 124912 -+-=. 所以,直线的斜率的取值围为),4 6[]46,(+∞- -∞ . 考点:椭圆的标准方程和几何性质,直线方程 16.【2015高考,理20】平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆() 22 22:10x y C a b a b +=>>3 左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设椭圆22 22:144x y E a b +=,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q . ( i )求 OQ OP 的值; (ii )求ABQ ?面积的最大值. 【答案】(I )2 214 x y +=;(II )( i )2;(ii )3【解析】 试题分析:(I )根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值,从而得到椭圆的方程;(II ) (i )设()00,P x y , OQ OP λ=,由题意知()00,Q x y λλ--,然后利用这两点分别在两上椭圆上确定λ的值; (ii )设()()1122,,,A x y B x y ,利用方程组221164 y kx m x y =+?? ?+ =??结合韦达定理求出弦 长 AB ,选将 OAB ?的面积表示成关于,k m 的表达式 22222 21641 214k m m S m x x k +-=?-=+2222241414m m k k ??=-? ?++??,然后,令2214m t k =+,利用一元二次方程根的判别式确定的围,从而求出OAB ?的面积的最大值,并结合(i )的结果求出△ 面积的最大值. 试题解析:(I )由题意知24a =,则2a = ,又 22 23,2 c a c b a =-=可得1b = , 所以椭圆C 的标准方程为2 214x y +=. (II )由(I )知椭圆E 的方程为 22 1164 x y +=, (i )设()00,P x y ,OQ OP λ=,由题意知()00,Q x y λλ--因为2 2 00 14x y +=, 又 ()()2 2 00116 4 x y λλ--+ =,即2 22 144x y λ?? += ??? ,所以2λ=,即 2OQ OP = . 所以22 122 16414k m x x k +--=+ 因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m 所以OAB ?的面积22222 21641 214k m m S m x x k +-=?-=+ 22222 222 2(164)24141414k m m m m k k k ??+-?==-? ?+++?? 令2 2 14m t k =+ ,将y kx m =+代入椭圆C 的方程可得()222148440k x kmx m +++-= 由0?≥,可得2214m k ≤+ …………………………………………② 由①②可知01t <≤ 因此()22 42 4S t t t t =-=-+ ,故23S ≤ 当且仅当1t =,即2214m k =+时取得最大值23 由(i )知,ABQ ?面积为3S ,所以ABQ ?面积的最大值为63 . 17.【2015高考,理20】(本小题满分12分)已知椭圆:E 22 221x y a b +=(0a b >>)的半焦距 为,原点O 到经过两点(),0c , () 0,b 的直线的距离为1 2 c . (I )求椭圆E 的离心率; (II )如图,AB 是圆:M ()()2 2 5 212 x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的 方程. 【答案】(I 3 ;(II ) 221123 x y +=. 【解析】 试题分析:(I )先写过点(),0c ,()0,b 的直线方程,再计算原点O 到该直线的距离,进而可 得椭圆E 的离心率;(II )先由(I )知椭圆E 的方程,设AB 的方程,联立()2222144y k x x y b ?=++??+=??, 消去y ,可得12x x +和12x x 的值,进而可得, 再利用AB =2b 的值,进而可得椭圆E 的方程. 试题解析:(I )过点(),0c ,()0,b 的直线方程为0bx cy bc , 则原点O 到直线的距离bc d a = = , 由1 2 d c ,得2222a b a c ,解得离心率 3c a . (II)解法一:由(I )知,椭圆E 的方程为2 2244x y b . (1) 依题意,圆心()2,1M -是线段AB 的中点,且|AB |10. 易知,AB 不与轴垂直,设其直线方程为(2)1y k x ,代入(1)得 2222 (14)8(21)4(21)40k x k k x k b 设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22 12 122 2 8(21) 4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 由1 2 4x x ,得2 8(21)4,14k k k 解得12 k . 从而212 82x x b . 于是12|AB ||x x =-= =由|AB | 10,得2)10,解得2 3b . 故椭圆E 的方程为 2 21123 x y . 解法二:由(I )知,椭圆E 的方程为2 2244x y b . 因此AB 直线方程为1 (2)12y x ,代入(2)得224820.x x b 所以1 24x x ,212 82x x b . 于是() 2 2 212121215|AB |1||410(2)22x x x x x x b ?? =+-= +-=- ??? . 由|AB | 10,得210(2)10b ,解得2 3b . 故椭圆E 的方程为 2 21123 x y . 考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程;5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置. 18.【2016高考理数】(本题满分15分)如图,设椭圆22 21x y a +=(a >1). (I )求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a 、k 表示); (II )若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值 围. 【答案】(I )22 22211a k k a k ++(II )20e <≤. 【解析】 试题分析:(I )先联立1y kx =+和22 21x y a +=,可得1x ,2x ,再利用弦长公式可得直线 1y kx =+被椭圆截得的线段长;(II )先假设圆与椭圆的公共点有4个,再利用对称性及已知 条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时,a 的取值围,进而可得椭圆离心率的取值围. 试题解析:(I )设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ,由22 21 1y kx x y a =+?? ?+=??得 ()22 2 2120a k x a kx ++=, 故 10x =,2222 21a k x a k =-+. 因此 22 2 1222 2111a k k x k a k AP =+-=++. (II )假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足 Q AP =A . 记直线AP ,Q A 的斜率分别为1k ,2k ,且1k ,20k >,12k k ≠. 由(I )知, 22 111 21a k k +AP = ,22 22 2 21Q a k k +A = , 故 因此 () 22 22 12 11 1112 a a k k ???? ++=+- ??? ???? ,① 因为①式关于 1 k, 2 k的方程有解的充要条件是 () 22 121 a a +->,所以2 a>. 因此,任意以点() 0,1 A为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为 12 a <≤, 由 21 c a e a - ==得,所求离心率的取值围为 2 2 e <≤. 考点:1、弦长;2、圆与椭圆的位置关系;3、椭圆的离心率. 19.【2015高考新课标2,理20】(本题满分12分) 已知椭圆222 :9(0) C x y m m +=>,直线不过原点O且不平行于坐标轴,与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (Ⅰ)证明:直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若过点(,) 3 m m,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,4747 + 【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y . 将 y kx b =+代入 222 9x y m +=得 2222(9)20 k x kbx b m +++-=,故 122 29 M x x kb x k += =-+, 2 99M M b y kx b k =+= +.于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-,即9OM k k ?=-.所以直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线过点( ,)3 m m ,所以不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠. 由(Ⅰ)得OM 的方程为9 y x k =-.设点P 的横坐标为P x .由 2229,9,y x k x y m ?=-? ? ?+=? 得222 2981P k m x k =+ ,即P x =.将点(,)3m m 的坐标代入直线的方程得(3)3m k b -=,因 此2(3) 3(9) M mk k x k -= +.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即 2P M x x = = 2 (3) 23(9) mk k k -? + .解得14k = 24k =.因为0,3i i k k >≠,1i =,,所以当的斜率为 4- 4+OAPB 为平行四边形. 【考点定位】1、弦的中点问题;2、直线和椭圆的位置关系. 【名师点睛】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题,故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解:设端点,A B 的坐标,代入椭圆方程并作差,出现弦AB 的中点和直线的斜率;设直线的方程同时和椭圆方程联立,利用韦达定理求弦AB 的中点,并寻找两条直线斜率关系;(Ⅱ)根据(Ⅰ)中结论,设直线OM 方程并与椭圆方程联立,求得M 坐标,利用2P M x x =以及直线过点( ,)3 m m 列方程求的值. 20.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 22 13 x y t +=的焦点在轴上,A 是E 的左顶点,斜 率为(0) k k>的直线交E于,A M两点,点N在E上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当4,|||| t AM AN ==时,求AMN ?的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k的取值围. 【答案】(Ⅰ) 144 49 ;(Ⅱ)() 32,2. 【解析】 试题解析:(I)设() 11 , M x y,则由题意知 1 y>,当4 t=时,E的方程为 22 1 43 x y +=,() 2,0 A-. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 4 π .因此直线AM的方程为2 y x =+. 将2 x y =-代入 22 1 43 x y +=得2 7120 y y -=.解得0 y=或 12 7 y=,所以 1 12 7 y=. 因此AMN ?的面积 11212144 2 27749 =???=. (II)由题意3 t>,0 k>,(),0 A t -. 将直线AM的方程() y k x t =+代入 22 1 3 x y t +=得()22222 3230 tk x ttk x t k t +++-=. 由(22 12 3 t k x t tk ?= + 得 )2 12 3 3 t tk x tk - = + ,故 ()2 2 1 62 1 t k AM x t k + =+= 由题设,直线AN的方程为(1 y x t k =-+,故同理可得 ()2 61 k t k AN + ==, 由2AM AN =得 22 2 33 k tk k t = ++ ,即()() 32321 k t k k -=-. 当32 k= 因此 () 3 321 2 k k t k - = - .3 t>等价于 ()() 2 32 33 21 32 22 k k k k k k k -+ -+- =< -- , 即 3 2 2 k k - < - .由此得 3 20 20 k k -> ? ? -< ? ,或 3 20 20 k k -< ? ? -> ? ,解得322 k <<. 因此k的取值围是() 32,2. 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 21.【2015高考,理20】如图,椭圆E: 22 22 +1(0) x y a b a b =>>的离心率是 2 2 ,过点P(0,1)的动直线与椭圆相交于A,B两点,当直线平行与x轴时,直线被椭圆E截得的线段长为22. (1)求椭圆E的方程; (2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得 QA PA QB PB =恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) 22 1 42 x y +=;(2)存在,Q点的坐标为(0,2) Q. 【解析】(1)由已知,点2,1)在椭圆E上. 因此, 22 222 21 1, , 2 2 a b a b c c a ? += ? ?? -= ? ? ?= ?? 解得2,2 a b == 所以椭圆的方程为 22 1 42 x y +=. 所以,若存在不同于点P 的定点Q 满足条件,则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q . 下面证明:对任意的直线,均有 |||| |||| QA PA QB PB =. 当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线的斜率存在时,可设直线的方程为1y kx =+,A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 联立22 1,42 1x y y kx ?+ =???=+? 得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式2 2 168(21)0k k ?=++>, 所以,121222 42 ,2121 k x x x x k k +=-=-++. 因此 12 1212 112x x k x x x x ++==. 易知,点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-. x y P A B' F 2F 1 O B 1 B Q 又1221 22111 ,y y k k k k k x x --= =-==-+=-, 所以QA QB k k '=,即,,Q A B '三点共线. 所以1 2 || |||||| |||||||| x QA QA PA QB QB x PB === ' . 故存在与P不同的定点(0,2) Q,使得 |||| |||| QA PA QB PB =恒成立. 22.【2016年高考理数】(本小题14分) 已知椭圆C: 22 22 1 += x y a b (0 a b >>)的离心率为 3 ,(,0) A a,(0,) B b,(0,0) O,OAB ? 的面积为1. (1)求椭圆C的方程; (2)设P的椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N. 求证:BM AN?为定值. 【答案】(1) 2 21 4 x y +=;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据离心率为 3 ,即 3 c a =,OAB ?的面积为1,即 1 1 2 ab=,椭圆中222 a b c =+列方程求解;(2)根据已知条件分别求出AN,|| BM的值,求其乘积为定值. 所以椭圆C的方程为1 4 2 2 = +y x . (2)由(Ⅰ)知,)1,0( ), 0,2(B A, 21.(本小题满分12分)[2017皖南八校]如图,点()2,0A -,()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点,,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点,直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ,且121 4 k k =- ,AP OM ∥,BP ON ∥. (1)求椭圆C 的方程; (2)判断OMN △的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由. 【答案】(1)2 2:14 x C y +=;(2)定值1. 【解析】(1)22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ,椭圆22:14x C y +=. (2)设直线MN 的方程为y kx t =+,()11,M x y ,()22,N x y , ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??, 122841 kt x x k +=-+,2122 44 41t x x k -=+, ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=, ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=, ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? , ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-?? 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 解析几何题库 一、选择题 1.已知圆C 与直线x -y =0 及x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为 A.2 2(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.2 2(1) (1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 【解析】圆心在x +y =0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线 1y x =+与圆221x y +=的位置关系为( ) A .相切 B .相交但直线不过圆心 C .直线过圆心 D .相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+,即10x y -+= 的距离2d = = ,而012 < <,选B 。 【答案】B 3.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A .2 2(2)1x y +-= B .2 2(2)1x y ++= C .2 2(1) (3)1x y -+-= D .2 2(3)1x y +-= 解法1(直接法):设圆心坐标为(0,)b 1=,解得2b =,故圆的方程为22(2)1x y +-=。 解法2(数形结合法):由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为2 2(2)1x y +-= 解法3(验证法):将点(1,2)代入四个选择支,排除B ,D ,又由于圆心在y 轴上,排除C 。 【答案】A 4.点P (4,-2)与圆2 24x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 ( ) A.2 2(2)(1)1x y -++= B.2 2(2) (1)4x y -++= C.2 2(4) (2)4x y ++-= D.2 2(2) (1)1x y ++-= 【解析】设圆上任一点为Q (s ,t ),PQ 的中点为A (x ,y ),解得:? ??+=-=224 2y t x s ,代入圆方程,得(2x -4)2 +(2y +2)2 =4,整理,得:2 2(2) (1)1x y -++= 【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行,则k 得值是( ) A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1.若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则 OP FP →→ g 的最大值为( ) A .4 B .5 C .6 D .7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ,由数量积的运算及点P 在椭圆上,可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数,根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ,()()1,0,0,0F O -,则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ,则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r , 因为点P 为椭圆上,所以有:22143 x y +=即2 2334y x =-, 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤, 所以当2x =时,OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选:C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算,求二次函数的最大值,属于一般题. 2.已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A .1 2 k > B .16k <- 或1 2 k > C .62k -<< D .1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ,可解得交点坐标(,)x y ,由于直线21y kx k =++与直线 西南大学 数学与统计学院 2012级 一、填空题(共7题,2分/空,共20分) 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___1 6___. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____,曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_____40π____________. 二、计算题(共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分) 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ,在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ,在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ,则12(,0,)M M a c =-, 13(0,,)M M b c =- 1.(本小题满分12分)已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切; (2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=22时,求直线l的方程. 2.设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜 率为 2 2 ,求椭圆的方程. 3.(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线l:y=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q, 证明:AQ⊥BQ . 4.已知圆(x-2)2+(y-1)2=20 3 ,椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ,若圆与椭圆相交于A、B, 且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程. 5.已知m 是非零实数,抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. (I )若m=2,求抛物线C 的方程 (II )设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,F AA 1?,F BB 1?的重心分别为G,H. 求证:对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6. (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点,点A 、B 分别在x 轴,y 轴上运动,且|AB | =8,动点P 满足AP u u u r =35 PB u u u r ,设点P 的轨迹为曲线C ,定点为M (4,0),直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值. 7.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系. 圆锥曲线大题训练1 (求范围)例1、已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 (1)求k 的取值范围; (2)若12=?ON OM ,其中O 为坐标原点,求|MN | (定值问题)例2、已知椭圆C :12222=+b y a x (0>>b a )的离心率为2 2,点(2,2)在C 上。 (1)求C 的方程; (2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M 。证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。 例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )(k >0),曲线C 的方程为 y 2 = 2x ,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,O 为坐标系原点。求证:OB OA ?错误!未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C :)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724,点A (5,49)是C 上一点,直线l :)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 (1)求双曲线C 的标准方程; (2)当m 的值变化时,求证:0=+AN AM k k 例5、已知椭圆C :)0(122 22>>=+b a b y a x 过A (2,0),B (0,1)两点 (1)求椭圆C 的方程及离心率 (2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值。 (轨迹方程)例6、已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2—8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点。 (1)求M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,一个顶点为B (0,-1),离心率为 36 (1)求椭圆的方程; (2)设过点A (0, 2 3)的直线l 与椭圆交于M 、N 两点,且|BM |=|BN |,求直线l 的方程。 《解析几何》期末试卷及答案 一、 填空(每题3分,共30分) 1 1=, 2=?,则摄影= 2 。 2.已知不共线三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 则三角形ABC 的 BC 边上的高 为 8 。 3., = 时+平分,夹角。 4.自坐标原点指向平面:035632=-++z y x 的单位法矢量为 ? ?? ???32,31,92 。 5.将双曲线?????==-0 1 22 22x c z b y 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 1222 22=-+c z b y x 。 6.直线???=+++=+++00 22221111D z C y B x A D z C y B x A 与X 轴重合,则系数满足的条件为 ?????? ?====00,02 2 1 122 1 1 21A C A C C B C B D D 。 7.空间曲线???=+=-0042 2z x z y 的参数方程为 ?????==-=242t z t y t x 或?? ? ??=-=-=2 4 2t z t y t x 。 8.直纹曲面0222=-+z y x 的直母线族方程为 ???-=-=+) ()()(y w y x u uy z x w ,或 ? ? ?=--=+sy y x t y t z x s )() ()( 。 9.线心型二次曲线0),(=y x F 的渐近线方程为 0131211=++a y a x a 。 10.二次曲线027522=+-++y x y xy x 在原点的切线为 02 1 =+-y x 。 二、选择题(每题3分,共15分) 1. 二次曲线0126622=-++++y x y xy x 的图象为( B ) 专题五平面解析几何 专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度:该部分主要围绕两个点展开命题.第一个点是围绕直线与圆的方程展开,设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题,目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法,考查运算求解能力,试题一般是选择题或者填空题;第二个点是围绕把直线与圆综合展开,设计考查直线与圆的相互关系的试题,目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用,这个点的试题一般是解答题. 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化,以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程,而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用.复习建议:该部分是解析几何的基础,涉及大量的基础知识,在复习时要把知识进一步系统化,在此基础上,在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上. 主干知识整合 1.直线的概念与方程 (1)概念:直线的倾斜角θ的范围为[0°,180°),倾斜角为90°的直线的斜率不存在,过 两点的直线的斜率公式k =tan α=y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2 ); (2)直线方程:点斜式y -y 0=k (x -x 0),两点式y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1(x 1 ≠x 2,y 1≠y 2),一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0); (3)位置关系:当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时,两直线平行l 1∥l 2?k 1=k 2,两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2=-1,两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点; (4)距离公式:两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式. 2.圆的概念与方程 (1)标准方程:圆心坐标(a ,b ),半径r ,方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(其中D 2+E 2-4F >0); (2)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离 ,代数判断法与几何判断法; (3)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离、内含,代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2),且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A .2x +y -12=0 B .2x +y -12=0或2x -5y =0 C .x -2y -1=0 D .x -2y -1=0或2x -5y =0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a + 1)y +4=0平行”的( A ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围,在解题时不要忽视这些特殊情况,如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况;一般地,直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0平行的充要条件是A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1,垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0. 变式题 (1)将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得的直线方程为( A ) A .y =-13x +13 B .y =-13x +1 C .y =3x -3 D .y =13 x +1 (2)“a =-2”是“直线ax +2y =0垂直于直线x +y =1”的( C ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的圆心为抛物线y 2=4x 的焦点,且与直线3x +4y +2=0相切,则该圆的方程为( C ) A .(x -1)2+y 2=6425 B .x 2+(y -1)2=6425 C .(x -1)2+y 2=1 D .x 2+(y -1)2=1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 是过点P (3,0)的直线,则( A ) A .l 与C 相交 B .l 与 C 相切 C .l 与C 相离 D .以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素:圆心位置和圆的半径,求解圆的方程就是求出圆心坐标和 浙江高考历年真题之解析几何大题 1、(2005年)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点12,F F 在x 轴上,长轴12A A 的长为4,左准线l 与x 轴的交点为M ,|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线1l :x =m (|m |>1),P 为1l 上的动点,使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ,求点Q 的坐标(用m 表示). 解析:(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>,半焦距为c , 则2111,a MA a A F a c c =-=- ,()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ,22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >,当00y >时,120F PF ∠=; 当00y ≠时,22102 F PF PF M π <∠<∠<,∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +,直线2PF 的斜率0 21 y k m =-, 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时,12F PF ∠最大,(2,1,||1Q m m m ∴±-> 2、(2006年)如图,椭圆b y a x 2 22+=1(a >b >0)与过点A (2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ,且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段AF 2的中点,求证:∠ATM=∠AF 1T 。 解析:(Ⅰ)过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解, 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= , 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += (Ⅱ)由(Ⅰ)得6c = , 所以 1266((F F ,从而M (1+4 6 ,0) 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ,解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ,又21 tan =∠TAM ,6 2tan =∠2TMF ,得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ,因此,T AF ATM 1∠=∠ 3、(2007年)如图,直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S . 专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1.【2018年广西预赛】已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围. 2.【2018年安徽预赛】设O是坐标原点,双曲线C:上动点M处的切线,交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证:△AOB的面积S是定值; ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3.【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点,焦点,另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点,并求该点的坐标. 4.【2018年湖南预赛】如图,在凸四边形ABCD中,M为边AB的中点,且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线,设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证:. 5.【2018年湖北预赛】已知为坐标原点,,点为直线上的动点,的平分线与直线 交于点,记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)过点作斜率为的直线,若直线与曲线恰好有一个公共点,求的取值范围. 6.【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点,且右焦点为. (1)求椭圆的方程; (2)过点的直线与椭圆交于两点,交轴于点.若,求证:为定值;(3)在(2)的条件下,若点不在椭圆的内部,点是点关于原点的对称点,试求三角形面积的最小值. 7.【2018年吉林预赛】如图,已知抛物线过点P(-1,1),过点Q(,0)作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点(点M在Q、N之间),过点M作x轴的平行线,交OP于A,交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为,比较与3的大小,说明理由. 8.【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点,使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值,求的值.9.【2018年天津预赛】如图,是双曲线的两个焦点,一条直线与双曲线的右支相切,且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点,求证:(1);⑵、A、B四点在同一个圆上. 10.【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆.试求它的对称中心及对称轴. 解析几何 1.(21)(本小题满分13分) 设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经 过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足 ,求点的轨迹方程。 (21)(本小题满分13分)本题考查直线和抛物线的方程,平面向量 的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵 活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学 素养. 解:由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直 线上,故可设 ① 再设 解得②,将①式代入②式,消去,得 ③,又点B在抛物线上,所以, 再将③式代入,得 故所求点P的轨迹方程为 2.(17)(本小题满分13分) 设直线 (I)证明与相交; (II)证明与的交点在椭圆 (17)(本小题满分13分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力. 证明:(I)反证法,假设是l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. (II)(方法一)由方程组,解得交点P的坐标为,而 此即表明交点 (方法二)交点P的坐标满足, ,整理后,得 所以交点P在椭圆 .已知椭圆G:,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。 (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将表示为m的函数,并求的最大值。 (19)解:(Ⅰ)由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为,离心率为 (Ⅱ)由题意知,.当时,切线l的方程, 点A、B的坐标分别为此时 当m=-1时,同理可得 当时,设切线l的方程为 由;设A、B两点的坐标分别为,则; 又由l与圆 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答.题.卡.相.应.位. 置.上. . 1. (2017 年 11 月月考)已知双曲线的方程为22 164x y -= ,则该双曲线的焦距为 . 2. (2018 年 01 月期末)抛物线 x 2 = 2 y 的焦点到其准线的距离为 . 3. (2017 年 11 月月考)已知抛物线 x 2 = 2 py (p > 0)的准线方程为 y = -1,则实数 p 的值为 . 4. (2017 年 11 月月考)已知点 F 为双曲线22 142 x y -=的左焦点,则点 F 到双曲线的右准线的距离为 . 5. (2017 年 11 月月考)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的一条渐近线方程是y ,它的一个焦点在抛物线 y 2 = 4 x 的准线上,则双曲线的方程是 . 6. (2018 年 01 月期末)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为 2,则该双曲 线的渐近线方程为 . 7. (2017 年 11 月月考)设 F 1 , F 2 分别为椭圆 C : 22 193 x y +=的左、右焦点,若点 P )在椭圆上,则 ?PF 1 F 2 的 面积为 . 8. (2017 年 11 月月考)已知抛物线经过点 P (-2,4),则该抛物线的标准方程是 . 9. (2018 年 01 月期末)已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 上一点 p 到焦点的距离为 5,到 y 轴的距离为 3,则 p = . 10. (2016 年 09 月月考)若关于 x = x + b 有两个不同解,则实数 b 的取值范围是 . 11. (2018 年 01 月期末)设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C : 22 12516 x y +=的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且点 P 到左焦点的 距离是其到右准线25 倍,则 P F 2 = . 12. (2017 年 11 月月考)已知椭圆的方程为22 1169 x y +=,则椭圆内接正方形的周长为 . 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0,π). 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan_α,倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式: 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y 1x 2-x 1=y 1-y 2 x 1-x 2. 3.直线方程 1.利用两点式计算斜率时易忽视x 1=x 2时斜率k 不存在的情况. 2.用直线的点斜式求方程时,在斜率k 不明确的情况下,注意分k 存在与不存在讨论,否则会造成失误. 3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式. 4.由一般式Ax +By +C =0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0,当B =0时,k 不存在;当B ≠0时,k =-A B . [试一试] 1.若直线(2m 2+m -3)x +(m 2-m )y =4m -1在x 轴上的截距为1,则实数m 是( ) A .1 B .2 C .-12 D .2或-1 2 解析:选D 当2m 2+m -3≠0时,即m ≠1或m ≠-3 2时,在x 轴上截距为4m -12m 2+m -3= 1,即2m 2-3m -2=0, 故m =2或m =-1 2 . 2.过点M (-2,m ),N (m,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为________. 解析:∵k MN =m -4 -2-m =1,∴m =1. 答案:1 3.过点M (3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________. 解析:①若直线过原点,则k =-4 3, 所以y =-4 3x ,即4x +3y =0. ②若直线不过原点. 设x a +y a =1,即x +y =a . 则a =3+(-4)=-1, 所以直线的方程为x +y +1=0. 答案:4x +3y =0或x +y +1=0 1.求斜率可用k =tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两段,90°是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 2.求直线方程的一般方法 (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应 解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G:1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为 5 2. (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k(k≠0)的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q 为EF的中点,问E、F 两点能否关于 过点P(0, 3 3 )、Q 的直线对称?若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ,动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切,且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . (Ⅰ)求 k 的取值范围,并求x2 x1 的最小值; (Ⅱ)记直线P1A1 的斜率为k1 ,直线P2A2 的斜率为k2 ,那么,k1 k2 是定值吗?证明你的结论. 3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F,点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点,点 A 关于x 轴的对称点为 D .(1)求抛物线C 的方程。 (2)证明:点F 在直线BD 上; u u u r uu u r 8 (3)设 FA ?FB ,求BDK 的面积。.9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为中点 T 在直线OP 上,且A、O、B 三点不共线. (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率; ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值.1 2 ,点 P(2,3)、A、B在该椭圆上,线段AB 的 《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3.若直线32:1+=x y l ,直线2l 与1l 关于直线x y -=对称,则直线2l 的斜率为 ( ) A .2 1 B .2 1- C .2 D .2- 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 ( ) A .032=+-y x B .032=--y x C .210x y ++= D .210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称,则直线2l 恒过定点( ) A .()0,4 B .()0,2 C .()2,4- D .()4,2- 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距 为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动,当24x y +取得最小值时,过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线,则此切线段的长度为( ) A . 2 B .32 C .12 D . 2 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点, 则弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 12.直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点, 若MN ≥则k 的取值范围是( ) A. 304?? -??? ?, B. []304??-∞-+∞????U ,, C. ???? D. 203?? -????, 二填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分.) 13.已知点()1,1A -,点()3,5B ,点P 是直线y x =上动点,当||||PA PB +的 军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题(共7题,2分/空,共20分) 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____,曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题(共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分) 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ,在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ,在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ,则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ,13(0,,)M M b c =-u u u u u u r 专题55 平面解析几何专题训练 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若2222c b a =+(0≠c ),则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为( )。 A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 【答案】D 【解析】∵圆心)00(,到直线0=++c by ax 的距离2 2 2 2= += b a C d , 因此根据直角三角形的关系,弦长的一半就等于2 2)22( 12=-,∴弦长为2,故选D 。 2.若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点,则||PQ 的最小值为( )。 A 、 59 B 、1029 C 、518 D 、5 29 【答案】B 【解析】∵ 5 12 8463-≠ =,∴两直线平行,将直线01243=-+y x 化为02486=-+y x , 由题意可知||PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离,即 10 29 865242 2= +--,故选B 。 3.若圆4)()(22=-+-a y a x 上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数a 的取值范围为( )。 A 、)022(, - B 、)220()022(,, - C 、)221()122(,, -- D 、)220(, 【答案】B 【解析】由题意已知圆与圆422=+y x 相交,∴222222+<+<-a a , 解得2222<<-a 且0≠a ,故选B 。 4.双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍,则=m ( )。 A 、 41 B 、2 1 C 、2 D 、4 【答案】D 【解析】12 2 =-my x 可化为1122 =-m y x ,则12=a ,m b 12=,∵实轴长是虚轴长的2倍, ∴b a 222?=,即b a 2=,即224b a =,∴4=m ,故选D 。 解析几何解答题 1、椭圆G :)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25 (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于 过点P (0, 3 3)、Q 的直线对称若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值; (Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线 C 的方程。 ~ (2)证明:点F 在直线BD 上; (3)设8 9 FA FB ?=,求BDK ?的面积。. { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为1 2 ,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值. - 、解析几何(大题)
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