高一年级数学上册(人教版)《教材全解全析》

第一章高一数学（上）

第一章集合与简易逻辑 本章内容概述

【考纲要求】

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相关关系；掌握充要条件的意义. （3）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式的解法. 【考点剖析】

“集合与简易逻辑”是高中数学的起始单元，也是整个中学数学的基础.它的基础性体现在两个方面：首先，集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用；其次，数学离不开变换（等价的或不等价的）和推理，而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念，因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表述判断的重要工具.

集合与逻辑不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的柱石之一.高等数学的许多分支如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都建立在集合与逻辑的理论基础之上.

本单元的知识点在集合与逻辑的理论中都是最基本的，但其中蕴含的数学思想都很丰富，如集合的思想、函数的思想、转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等.

总之，集合与简易逻辑是高考中考查基础、考查能力与考查进一步学习的潜力的很好的命题材料. 【知识结构图】

§1.1集合 预备知识 初中数学基础知识

实数分类

课本知识导学运用

课本知识诠解 重要提示

１.集合的相关概念

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

２.元素与集合的关系

集合的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合常用大写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合Ａ，记作a ∈Ａ；如果a 不是集合Ａ的元素，就说a 不属于集合Ａ，记作a

Ａ（或a

Ａ）.可见，集合中的元素与集合间是从属关系.给出一个集合A 和一个元

素a ，a 要么是Ａ的元素，要么不是A 的元素，二者必居其一.

有理数 无理数

分数 无理数

３.集合的分类

按集合元素的个数，集合可分为有限集、无限集和空集.

含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，空集用符号表示.

４.集合的表示方法

集合的表示方法，常用的有列举法和描述法.

重要提示

1.集合是现代数学中不加定义的基本概念，它的基本思想已渗透到现代数学的所有领域．集合中的元素可以是人、物、数点、式子、图形等．

2.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.列举法常用来表示有限集或有特殊规律的无限集.其中表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用删节号.

3.｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝有时也可写成｛x∈Ａ：Ｐ（x）｝或｛x∈Ａ；Ｐ（x）｝.

4.图示法的使用对象具

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这样的表示方法叫列举法.其特点是：①元素一般是有限个；②元素不重复，不遗漏，不计顺序地列举出来；③元素间用“，”隔开.

(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.一般格式为｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝，其中，x是集合的代表元素，Ａ是x的取值范围，Ｐ（x）是确定x应满足的条件.｛x∈A|Ｐ（x）｝即表示使命题Ｐ（x）为真的A中诸元素之集.例如，｛x∈R|x≤5｝，若从前后关系来看，集合Ａ已很明确，则可使用｛x|Ｐ（x）｝来表示，例如｛x|x≤5｝.

为了形象地表示集合，常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合，这种方法叫图示法(也称韦恩图法).

5.常用的数集及其记法

全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+.

全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；

全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q；

全体实数的集合通常简称实数集,记作R.

基础例题点拨

【例题1】下列各题中,分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后指出它是有限集还是无限集：

(1)组成中国国旗图案的颜色；

(2)世界上最高的山峰；

(3)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)组成的一切自然数；

(4)平面内到一个定点O的距离等于定长l(l＞0)的所有的点P.

【解析】(1)｛红，黄｝，有限集；

(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；

有一定的局限性,但在处理有关抽象集合问题时,却有着独特作用.

（1）自然数集与非负整数集是相同的,即自然数集包括数0；

（2）Q、Z、R中排除0的集分别可表示为Q*、Z*、R*.

随笔：

一拖二

拖1用适当方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.

(1)不超过10的非负偶数的集合.

答案:｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;

(2)大于10的所有自然数组成的集合.

答案:｛x∈N|x＞10｝，无限集；

(3)方程x２-4=0的解集.

答案:｛-2,2｝,有限集;

(4)方程(x-1)２(x-2)=0的解集.

答案:｛1,2｝,有限集.

(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213,231，312，321｝，有限集；

(4)｛p|PO=l｝（Ｏ是定点,l是定长），无限集.

(2)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集.

【思路点拨】对于有限集并且集合中的元素比较少时，一般采用列举法表示，并且不必考虑元素之间的顺序；对于有限集中元素比较多，以及无限集，通常采用描述法表示.

【例题2】把下列集合用另一种方法表示出来： (1)｛1，5｝；(2)｛x|x 2

+x-1=0｝；

(3)｛2，4，6，8｝；(4)｛x ∈N|3＜x ＜7｝. 【解析】(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；

(2)??

????????+---251,251；

(3)｛x|x 是大于1，且小于9的偶数｝； (4)｛4，5，6｝

【思路点拨】描述法表示集合的格式是｛x ∈A|Ｐ（x ）｝.因而(2)、(4)是描述法，(1)、(3)是列举法.列举法和描述法是表示集合的两种不同方式，它们可以互相“转化”.

重难点突破

重点·难点·易混点·易错点·方法技巧 重难点

1.重点：集合的基本概念与表示方法，以及集合元素的三个性质的重要应用.正确表示集合是为了更好地学习后面的知识，解题过程中一定要注意满足集合的互异性.

2.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法和描述法，正确表示一些简单的集合.集合的元素类型多是以数、点、图形或集合等形式出现.对于已知的集合，必须知道集合元素的形式.如集合｛y|y=x2+1｝表示函数的所有函数值即｛y|y ≥1｝；集合｛x|y=x2+1｝表示函数 拖2把下列集合用另一种方法表示出来. (1)｛-1,0,1,2｝；

答案:｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;

(2) ｛x ∈Z|

16

-x ∈N ｝； 答案: 由于16

-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;

(3)｛x|(x+1)x-32

(x2-2)(x2+1)=0,x ∈Q ｝

答案: {-1, 3

2

}.

拖3指出下列集合的异同点． Ａ=｛x|y=x2-1｝ B=｛y|y=x2-1｝ C=｛(x,y)|y=x2-1｝

答案: A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合.

的所有自变量的取值即｛x|x ∈R ｝，它们都是数集；集合｛(x ，y)|y=x 2

+1｝表示抛物线y=x 2

+1上的所有点，是点集.

易混易错点 1. 易混点

(1)数集与点集的区别

用描述法表示数的集合时，其一般格式为｛x|Ｐ（x ）｝，即竖线“|”的前面是一个字母；而用描述法表示点集的一般格式为｛(x ，y)|Ｐ(x ，y)｝，即“竖线|”的前面是一对有序实数.

(2)元素与集合的区别

对于任一个字母a ，没有将其写在大括号内或写在封闭的曲线内，则a 表示元素,而｛a ｝表示含有一个元素a 的集合.

(3)｛a ，b ｝与｛(a ，b)｝的区别

｛a ，b ｝表示双元素集，即含有两个元素a 和b ，而｛（a ，b ）｝表示单元素集，即点集.

(4)0与｛0｝、0与、与｛｝的区别

0表示一个元素0，｛｝表示含有一个元素0的单元素集,表示空集(不含任何元素的集合)，{

}表示含有一个元素

的单元素集.

2.易错点

(1)忽视集合元素的确定性

集合元素有三大特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，元素或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者只能选其一.同时，一个给定的集合，它的元素所表示的意义是明确的，不能模棱两可.如“漂亮的花”就不能构成一个集合，因为“漂亮的花”没有明确的客观标准，也就难以判断某些对象是否属于这个范畴；（2）互异性：一个集合里的任何两个元素是不相同的，相同的元素在集合中只能算一个元素，如｛x|x 2

-2x+1=0｝用列举法只能表示为｛1｝，而不能写成｛1，1｝；（3）无序性：用列举法表示集合时，其元素的排列是不讲次序的，如集合｛1，2，3｝与｛2，1，3｝及｛3，1，2｝均表示同一个集合.

随笔： 拖4下列集合表示空集的有( )个 (1)｛y|y 2+1=0｝ (2)｛(x,y)|x 2+y 2=1｝ (3)｛x|ax 2+x+1=0｝ (4)｛x ∈Q|(x 2-3)(x4-16)=0｝ A.1B.2

C.3

D.4

答案: A,只有(1)是空集.

【例题3】下列所给对象不能构成集合的是( ) A .平面内的所有点

B .平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的所有点

C .平方小于1的实数

D .高一年级个子高的同学

【错解】本题容易错选A.因为不知道是指哪个平面.

【易错分析】判断所给对象是否构成集合，其理论依据是集合元素所具有的三大特性：确定性、互异性、无序性.本题选项D.中的对象含糊不清，所谓“个子高”没有明确的客观标准. 【正解】根据集合元素的确定性知选D.

(2)忽视集合元素的互异性

【例题4】若-3∈｛x-3，2x-1，x2-4｝，求实数x 的值.

【错解】依题意有-3=x-3，-3=2x-1或-3=x 2

-4,解得x=0，x=-1或x=±1，∴x 的取值为0，-1，1. 【易错分析】利用确定性解出所有的可能值，再要进行检验看是否满足互异性.

【正解】依题意有-3=x-3或-3=2x-1或-3=x ２-4,解得x=0，-1，1，经检验当x=-1时，2x-1=-3=x 2

-4,不符合集合元素的互异性，故舍去，∴x=0或1.

(3)不能正确表示集合,两种表示方法混淆使用

【例题5】可以表示方程组 的解集的是( )

A.｛x=1，y=2｝

B.｛1，2｝

C.｛(1，2)｝

D.｛(x ，y)|x=1，y=2｝

E.｛(x ，y)|x=1且y=2｝ 拖5给出下列５种说法：

x+y=3

x-y=-1

(1)著名科学家组成一个集合; (2)1,

3

2,

4

6,|2

1

-

|,0.5这些数组成的集合有5个元素; 答案: 中集合只有3个元素,(

(3)｛0｝是空集;

答案: 是含有一个元素0的集合.

(4)数轴上离原点很近的点可组成一个集合;

(5)集合｛x|x=2k-1,k ∈Z ｝与集合｛y|y=2s+1,s ∈Z ｝表示的是同一集合,其中正确的说法的序号是. 拖6求实数集｛１，a,a 2-a ｝中a 的数值．

答案: 依集合元素的互异性,有?????≠≠≠a -a?a 1a -a?1a 解得??

?

?

?

??≠≠±≠≠2

0251a a

a a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.

拖7如图1-1-1(1)和(2)分别给出了集合A 、B,试用除图示法以外的方法给出集合A 、B.

答案:图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝.

图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. F.(x ，y)|?

??

??

?==21y x

G.｛(x ，y)|(x-1)2

+(y-2)2

=0｝ 【错解】答案出现A 、B 或D.

【易错分析】方程组的解?

??==21

y x 是一个点，因而解集是一个点集，应注意选项的等价性.

【正解】应选C 、E 、F 、G.

【思路点拨】C 表示的是列举法，F 表示的是描述法，而E 、G 与F 等价.对于D 中的元素有无数个点，表示常函数x=1及常函数y=2两条直线上的所有点.

方法技巧

1.正确选用集合的表示法

集合有三种不同的表示方法，在使用中各有利弊.列举法使人对集合中的元素及其属性一目了然，但有时较繁，对无限集无法使用，有局限性；描述法虽然简捷明了应用范围广，但对其中元素属性的认识还得借助自己的理解，往往容易出错；图示法形象直观，也具有一定的局限性.

【例题6】试用适当方法表示下列集合： (1)数轴上与原点的距离小于1的所有点；

(2)平面直角坐标系中第二象限角平分线上的所有点； (3)所有非零偶数；

(4)所有被3除余数是２的数.

【解析】(1)｛x||x|＜1＝；(2)｛(x ，y)|y=-x ，x ＜0＝； (3)｛x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0｝或{x|

2

x ∈Z ，且x ≠0}；

(4)｛x|x=3k+2,k ∈Z ｝或｛x|x=3k-1,k ∈Z ｝.

【思路点拨】数轴上的点表示的也是数，因而是数集．描述法表示集合有三种语言形式：文字语言、符号语言和图形语言．因而（３）也可表示为｛所有非零偶数｝，这是描述法的文字语言．当用符号不易表示集合元素的公共属性时，可用文字语言描述集合．

图1-1-1

随笔：

拖8已知集合Ａ＝｛小于６的正整数｝，Ｂ＝｛小于１０的质数｝，Ｃ＝｛２４和３６的正公约数｝，用列举法表示集合： （１）Ｍ＝｛x|x ∈A 且x ∈C ｝

答案: A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝

∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且x

C ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.

（２）N=｛x|x ∈B 且x

C ｝

随笔：

２．根据“元素在集合中”解题

【例题7】已知集合Ａ＝｛－１，２，３，a 2

+2a-3,|a+1|｝,其中a ∈Ｒ，（１）若５是Ａ中的一个元素，求a 的值；（２）是否存在实数a ，使得Ａ中的最大元素是１２？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．

【解析】（１）若a 2

+2a-3＝５，则a 2

+2a-８＝０，∴a=2或a=-4；但此时都有|a+1|=3,与集合中元素的互异性相矛盾，∴a ≠2且a ≠-４； 若|a+1|=5,则a=-6或a=4，此时a 2

+2a-3=21,符合题意，故所求a 的值为－６或４．

（２）若存在这样的实数a,则a 2

+2a-3=１２，且|a+1|＜１２或|a+1|＝１２，且a 2

+2a-3＜１２，由于|a+1|＝１２时，a 2

+2a-3＝（a+1）2-4=140，∴后一种情况不存在，由第一种情况解得a=3或a=-5，即这样的a 值存在，且a=3或a=-5．

【思路点拨】利用“元素在集合中”这一概念来确定某些待定系数时，一要进行相应的分类讨论，二要对所求结果进行必要的检验．这是由集合中元素的“三性”所决定的，若一旦忽视，将出现错误．

名题活题创新探究 例题分析解答

【例题8】已知集合Ａ＝｛x|ax 2

+2x+1=0,x ∈R ｝，其中a ∈R. （１）若１是Ａ中的一个元素，用列举法表示Ａ； （２）若Ａ中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合Ｂ； （３）若Ａ中至多有一个元素，试求a 的取值范围．

【分析】集合Ａ表示的是方程ax 2+2x+1=0在实数范围内的解集，问题由此转化为方程的有解，求解讨论问题． 拖9已知集合Ａ＝{x|x2+px+q=x},集合Ｂ＝{x|（x －１）2+p （x-1）+q=x+3}，当Ａ＝｛２｝时，求集合Ｂ．

答案: ∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4.

∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝.

随笔：

拖10已知集合Ａ＝｛x|ax+b=1｝,B=｛x|ax-b ＞４｝，其中a ≠0,若Ａ中的元素必为Ｂ中的元素，求实数b 的取值范围．

答案: ∵A 中的元素是x=1-

a

b

-1,依题意知

a

b -1∈B ，∴a ·

a

b -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-

2

3.

随笔：

【解析】（１）∵１是Ａ的元素，∴1是方程ax 2

+2x+1=0的一个根，∴a ·12+2·1+1=0，即a=-3，故方程为－３x 2

+2x+1=0，∴x １=1，x ２=-3

1

，此时集合Ａ＝｛-3

1

，１｝； （２）若a=0，方程化为2x+1=0，此时有且仅有一个根x=-

2

1;

若a ≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝４－４a=0，即a=1时，方程有两个相等的实根x １=x ２=-1，此时集合Ａ有且仅有一个元素，由可知Ｂ＝｛０，１｝.

（３）集合Ａ中至多有一个元素包括两种情况：

Ａ中有且只有一个元素，由(2)知a=0或a=1； Ａ中一个元素也没有，即Ａ＝

，此时a ≠0且Δ＝４－４a ＜0,∴a ＞1,由此可知a 的取值范围是：｛a|a ≥1或a=0｝.

知识链接

集合论起源于康托尔，是从最简单的概念出发，利用纯粹的推理而建立起来的重要数学分支.具有某种属性的事物的全体称为“集合”，组成集合的每个事物称为该集合的元素，研究集合的运算及其性质的数学分支称为“集合论”.

康托尔：(1845～1918)德国数学家，集合论创始人，函数三角级数表示惟一性的研究引发他对无穷点集的探索，于1872年提出以柯西序列定义无理数的实数理论，1874年提出集合概念，证明有理数集可列而实数集不可列；1878年建立势(基数)概念，提出连续统假设，指明无穷集自身与真子集间有一一对应.

能力达标检测

1.下列条件所指的对象能构成集合的是( ) Ａ.与

2接近的数Ｂ.著名的足球运动员

C.大于２而小于３的有理数Ｄ.旦夕祸福与不测风云

答案: C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.

２.对于关系①３2

｛x|x ≤

17｝,②3∈Ｑ，③0∈Ｎ，④0∈

，⑤｛π｝与｛3.1415926｝表示同一集合,其中正确的个数是( )

个.

随笔： A.4B.3C.2D.1

答案: C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,

,0

,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.

3.集合A=｛x ∈R|x 2

+x+1=0｝,B=｛x ∈N|x(x 2

+6x+10)=0｝,C=｛绝对值小于2的质数｝,D=｛(x,y)|y 2

=-x ２

,x ∈R,y ∈R ｝其中是空集的有( )个.

A.1

B.2

C.3

D.4

答案: B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.

4.下列表示同一个集合的是( ).

A.M=｛(1，2)｝，N=｛(2，1)｝

B.M=｛1，2｝，N=｛2，1｝

C.M=｛y|y=x-1,x ∈R ｝,N=｛y|y=x-1,x ∈N ｝

D.M=(x ，y)

2

1

--x y =1，N=｛(x ，y)|y-1=x-2｝ 答案: B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)

M,但(2,1)∈N.

5.设三角形三边长分别为a ，b ，c ，若它们能构成集合A=｛a ，b ，c ｝，则此三角形一定不是( ). A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

答案: D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．

6.由实数x ，-x ，|x|，2

x ，3

3

x -

所组成的集合中，最多含有( )个元素.

A.2

B.3

C.4

D.5

答案: A 提示：2x =|x|=

()()

00<-≥x x x x ,3

3

x -

=-x 当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．

7.集合A=｛一条边为1,一个角为40°的等腰三角形｝中的元素个数为( ). A.2B.3C.4D.无数个

答案: C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C.

8.已知集合Ｍ＝｛(x,y)|x+y=2｝,N=｛(x,y)|x-y=4｝,那么，集合｛x|x ∈M 且x ∈N ｝为( ). A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.｛3,-1｝D.｛(3,-1)｝

答案: D 提示：方程组的解集是点集.

９.设a,b,c 为非零实数,则A=

|

|||||||abc abc

c c b b a a +

++的所有值组成的集合为( ). A.｛4｝B.｛-4｝C.｛0｝D.｛0,-4,4｝

答案: D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论.

10.集合｛3,

49

,37,25 ,…｝可表示为( ). A.｛x|x=n

n 2

12+,n ∈N*｝B.｛x|x=n n 3

2+,n ∈N*｝ C.｛x|x=n n 12-,n ∈N*｝D.｛x|x=n

n 1

2+,n ∈N*｝

答案: D 提示：取n=1,2,3进行排除.

11.集合A=｛(x,y)|y=-1+x-2x2,x ∈R,x ≠0｝，若点P 的坐标(x,y)∈A,则( ). A.P 在第一象限或第二象限B.P 在第三象限或第四象限 C.P 在第一象限或第四象限D.P 在第二象限或第三象限

答案: B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-

x 21+161)-8

7

=-2(x-

4

1)2

-

8

7≤-

8

7,其图像落在第三、四象限.

12.集合Ａ＝｛x|x=2k,k ∈Z ｝，Ｂ＝｛x|x=2k+1,k ∈Z ｝,C=｛x|x=4k+1,k ∈Z ｝,又a ∈A,b ∈B,则有( ). Ａ.a+b ∈AB.a+b ∈B C.a+b ∈CD.a+b

A 、

B 、

C 中任何一个

答案: B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数.

13.集合｛2x,-x+x 2

｝中x 的取值范围为.

答案: x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x2.

14.设M=｛x ∈Z|

x

-512

∈N ｝,用列举法表示集合M=. 答案: ｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x

-512

∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12.

15.定义A-B=｛x|x ∈A 且x

B ｝,若M=｛1,2,3,4,5｝,N=｛2,3,6｝,则N-M=.

答案: ｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.

16.n 是正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数与合数的个数相等,这样的n 称为“怪异数”,则“怪异数”的集合是.

答案: ｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个

数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13. １７.已知｛x|x2+ax+b=0｝=｛3｝,求a ２+b ２+ab 的值.

答案: ∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2

+ab=36+81-54=63.

１８.设A=｛(x,y)|

2

1x y - =1｝,B=｛(x,y)|y=1-x ２

｝,若集合C=｛(x,y)|(x,y)∈B 且（x,y ）

A ｝，用列举法表示C.

答案: 依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=

｛(-1,0),(1,0)｝.

19.已知集合A=｛x|mx ２

-3x+2=0,m ∈R ｝,(1)若A=,求m 的取值范围;(2)若A 中至多有一个元素,求m 的范围.

答案: (1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞

8

9. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=

3

2,当m ≠0时,方程mx 2

-3x+2=0有两相等实根,

∴Δ＝0

m=

89综合可知m ≥8

9

或m ＝0.

20.已知A=｛a-3,2a-1,a ２

+1｝,其中a ∈R,(1)若-3∈A,求实数a 的值;(2)当a 为何值时,集合A 的表示不正确?

答案: (1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.

(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2

+1或2a-1=a 2

+1或2a-1=a 2

+1=a-3,分别解得a=-2或a 2

-a+4=0或a 2

-2a+2=0,而a 2

-a+4=0和a 2

-2a+2=0均无解,故a=-2.

21.设集合A=｛x|x=m 2+n 2

,m,n ∈Z ｝,若a,b ∈A,证明:①ab ∈A ②

b

a ＝p 2+q 2

,其中b ≠0,p 、q ∈Q.

答案: ①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,

∴ab=(m 2

1+n 2

1)(m 22

+n 22

)=(m 1m 2)2

+(n 1n 2)2

+(m 1n 2)2

+(m 2n 1)2

=(m 1m 2+n 1n 2)2

+(m 1n 2-m 2n 1)2

∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2

+n 2

,m 、n ∈Z

∴2

22

222??

? ??+??? ??=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,

∴

b n b m ?∈Q 令p=b

m ,q=

b

n

,∴p,q ∈Q,∴

b

a =p 2

+q 2

,b ≠0,p,q ∈Q.

22.集合A=｛x|x=3n+1,n ∈Z ｝,B=｛x|x=3n+2,n ∈Z ｝,C=｛x|x=6n+3,n ∈Z ｝,(1)若c ∈C,求证：必有a ∈A,b ∈B 使c=a+b;(2)对任意的a ∈A,b ∈B,是否一定有a+b ∈C ？证明你的结论.

答案: (1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C.

(2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k

C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.

参考答案

【一拖二】1.(1)｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集. 2.(1)｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2)由于

1

6

-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3){-1, 3

2}.

3.A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2

-1上的点的集合. 4.A,只有(1)是空集.

5.(5).其中(1)中“著名”和(4)中“很近”均是模糊概念,没有明确标准,(2)中集合只有3个元素,(3)是含有一个元素0的集合.

6.依集合元素的互异性,有?????≠≠≠a -a a 1a -a 1a 2解得??

?

?

?

??≠≠±≠≠2

0251a a

a a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.

7.图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝. 图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. 8.A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝ ∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且x

C ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.

9.∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4. ∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝. 10.∵A 中的元素是x=1-a

b

-1,依题意知

a

b -1∈B ，∴a ·

a

b -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-

2

3.

【能力达标检测】

1.C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.

2.C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0

,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.

3.B 提示：Ａ＝

，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.

4.B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)

M,但(2,1)∈N.

5.D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．

6.A 提示：

2

x =|x|=

()()

00<-≥x x x x ,3

3

x -

=-x ,当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．

7.C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C. 8.D 提示：方程组的解集是点集. 9.D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论. 10.D 提示：取n=1,2,3进行排除. 11.B 提示：y=-1+x-2x 2

=-2(x 2

-x 21+161)-8

7=-2(x-

4

1)2

-

8

7≤-

8

7,其图像落在第三、四象限.

12.B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数. 13.x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x 2

. 14.｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由

x

-512

∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12. 15.｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.

16.｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13. 17.∵｛x|x 2

+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2

+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2

+b 2

+ab=36+81-54=63. 18.依题意知B 是抛物线y=-x 2

+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2

+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝. 19.(1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞

8

9

. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=

3

2,当m ≠0时,方程mx 2

-3x+2=0有两相等实根,

∴Δ＝0

m=

89综合可知m ≥8

9

或m ＝0. 20.(1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2

+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.

(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2

+1或2a-1=a 2

+1或2a-1=a 2

+1=a-3,分别解得a=-2或a 2

-a+4=0或a 2

-2a+2=0,而a 2

-a+4=0和a 2

-2a+2=0均无解,故a=-2.

21.①∵a,b ∈A,∴可设a=m 2

1+n 2

1,b=m 2

2+n 22

,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,

∴ab=(m 2

1+n 2

1)(m 22

+n 22

)=(m 1m 2)2

+(n 1n 2)2

+(m 1n 2)2

+(m 2n 1)2

=(m 1m 2+n 1n 2)2

+(m 1n 2-m 2n 1)2

∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2

+n 2

,m 、n ∈Z

∴2

22222??

?

??+??? ??=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,

∴

b n b m ?∈Q 令p=b

m ,q=

b

n

,∴p,q ∈Q,∴a 〖〗b=p 2+q 2

,b ≠0,p,q ∈Q.

22.(1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.

【课本习题】 练习P5 (略)

1∈N ，0∈N ，-3

N ，0.5

N ，2N ； 1∈Z ，0∈Z ；-3∈Z ；0.5

Q ，2

Z ； 1∈Q ，0∈Q ，-3∈Q ，0.5∈Q ，2Q ；

1∈R ，0∈R ，-3∈R ；0.5∈R ，2∈R.

练习P6页

(1)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(2)｛1，2，3，6｝，有限集；

(3)｛-2，2｝，有限集；(4)｛2，3，5，7｝，有限集.

(1)｛x|x是4与6的公倍数｝，无限集；(2)｛x|x=2n，n∈N*｝，无限集；

(3)｛x|x2-2=0｝，有限集；(4)x|x＜11〖〗4，无限集.

习题1.1

1.(1)(2)(3)∈；(4).

2.(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；

(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321｝，有限集；

(4)｛P|PO=l｝(O是定点，l是定长)，无限集.

3.(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)-1-5〖〗2，-1+5〖〗2；

(3)｛x|x是大于1且小于9的偶数｝；(4)｛4，5，6｝.

§1.2子集、全集、补集

预备知识

1.集合的概念：某些指定的对象集在一起组成一个集合.

2.集合的表示法：列举法和描述法.

课本知识导学运用

课本知识诠解

重要提示

１.子集的概念

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A B（或B A）.

当集合Ａ不包含于集合Ｂ，或集合Ｂ不包含集合Ａ时，记作A B(或B A).

２.集合相等

一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B.

３.真子集

对于两个集合Ａ与Ｂ，如果A B，并且A≠B，我们说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.

用图形语言可表示为:

图1-2-1

1.子集的概念用数学符号表示为“ＡB若a∈A,则a∈B”.也可用,也可以用；也可用,也可用.

2.用数学符号表示集合相等的概念为“A=B若a∈A，则a∈B；且若a∈B，则a∈A”A B且B A.

Ａ是Ｂ的真子集用符号语言表示为“ＡＢk若a∈A，则a∈B，且至少存在一个元素b∈B，但b A”．

4.当Ａ＝时，Ａ的表示是错误的．

5.A在Ｓ中的补集ＣＳＡ可用图表示为：

４.子集与真子集的相关结论

(1)任何集合是它本身的子集.故有，A，A A成立;

(2)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.

(3)集合与集合间的包含关系与相等关系满足传递性,即:

若A B,B C,则A C;

若A B,B C,则A C;

若A＝B,B＝C,则A＝C.

5.全集与补集的概念

(1)全集:如果一个集合中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.全集通常用U来表示.

(2)补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作CSA,即

CSA=｛x|x∈S,且x A｝.

(3)补集的特殊性质：

CSS=，CS=S，CS（CSA）=A.

基础例题点拨

【例题1】写出集合｛a,b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

【解析】集合｛a,b a｝,｛b｝,｛a,b｝,a｝,｛b｝是｛a,b｝的真子集.

【思路点拨】若集合A有n个元素,则它的子集有2n个,真子集个数有2n-1个(即去掉与集合A本身相等的那一个).写出子集时,可通过含有0个元素(即空集),1个元素,2个元素,…n个元素的子集依次写出.

【例题2】填空:

(1)如果全集U=Z,那么N的补集C U N=;

图1-2-2

随笔：

一拖二

随笔：

拖1写出符合条件{1}A{1，2，3，4}的所有集合A。

答案:｛1,2｝,｛1,3｝,｛1,4｝,｛1,2,3｝,｛1,2,4｝,｛1,3,4｝,｛1,2,3,4｝.

提示：由于｛1｝A，可见1必为A的元素，且A中至少含有2个元素（包括1），故只考虑在2，3，4中含有一个、二个或三个的三种情形.

随笔：

拖2求集合A={x|-2≤x＜3＝在下列各集合中的补集:

(2)如果全集U=R,那么C U Q的补集C U(C U Q)=.

【解析】(1)由于整数是由自然数和负整数组成,所以当全集U=Z时,C U N=｛x∈Z|x＜0｝.

(2)实数是由有理数和无理数组成,由于U=R,所以C U Q表示无理数,从而C U(C U Q)=Q.

【思路点拨】补集是相对于全集而言的,全集改变了,则补集也应相应地改变.

【例题3】判断下列各式是否正确,并说明理由:

(1)２｛x|x≤10｝;

(2)２∈｛x|x≤10｝;

(3)｛2｝｛x|x≤10｝;

(4)∈｛x|x≤10｝;

(5)｛x|x≤10｝;

(6)｛x|x≤10｝;

(7)｛4,5,6,7｝｛2,3,5,7,11｝;

(8)｛4,5,6,7｝｛2,3,5,7,11｝.

【解析】(1)不正确.因为数2不是集合,所以不能作为某一集合的子集;

(2)正确.因为2是集合｛x|x≤10｝中的元素;

(3)正确,因为｛2｝是集合｛x|x≤10｝的真子集;

(4)不正确.因为是集合,不是集合｛x|x≤10｝的元素;

(5)不正确.因为是任何非空集合的真子集;

(6)正确.因为是任何非空集合的真子集;

(7)正确.因为集合｛4,5,6,7｝中的元素4与6不属于｛2,3,5,7,11｝;

(8)正确.因为集合｛4,5,6,7｝中不含有｛2,3,5,7,11｝的元素2,3与11.

【思路点拨】注意元素与集合之间只能用“∈或”,集合与集合之间不能用“∈或”,特别注意也是集合,是不含任何元素的集合. （1）B=R;

答案:C B A=｛x|x≥3或x＜-2＝;

（2）U={x|-4≤x≤4};

答案: C U A=｛x|-4≤x＜-2或3≤x≤4＝；

（3）Ｄ＝{x|x≤3}.

答案:C D A＝｛x|x＜-2或x=3＝.

提示：通过画数轴作出B、U、D（分别作）的范围，从中去掉A的范围，剩下的即为所求补集的范围.

随笔：

拖3下列六个关系式:

(1){a,b}{b,a};

(2){a,b}={b,a};

(3){0}；

(4)0∈{0}；

(5)∈{0}；

(6)={0}.

其中正确的个数是( )

A.6

B.5

C.4

D.小于4

答案: C提示:(1)-(4)正确,(5)、(6)错误.

随笔：

【例题4】设U=Z,A=｛x|x=2k,k∈Z｝,B=｛x|x=2k+1，k∈Z｝求C U A,C U B.

【解析】C U A=B,C U B=A.

【思路点拨】整数由奇数和偶数组成.

重难点突破

重点·难点·易混点·易错点·方法技巧

重难点

1.重点：子集、真子集、集合相等以及补集的概念，元素是这几个概念的本质所在.两个集合A、B之间具有A B，A B，A B，A=B 这四种基本关系，而这些关系都是由A、B集合中的元素来决定的.所以解决集合间关系的问题，应从元素着手，进行分析处理.

2.难点：能够正确写出元素与集合，集合与集合间的关系.特别是一个集合可以是另一个集合的元素.如｛1，2｝∈｛x|x｛1，2｝｝，即｛x|x｛1，2｝｝中的代表元素x是，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝.

易混易错点

1.易混点

(1)正确区分一些容易混淆的符号

①∈与的区别:∈是用于元素与集合的关系的,如1∈N,-1N等;而是用于集合与集合的关系的,如N R,R等.但有时一个集合可以是另一个集合的元素.

②｛｝与的区别:｛｝是含有一个元素的集合,是不含任何元素的集合,因此,有0∈｛0｝,0，｛0｝,｛0｝.

③｛｝与的关系:｛｝是含一个元素的集合,所以∈｛｝,因为是任何集合的子集、任何非空集合的真子集,所以有｛｝，

｛｝成立,但是不成立的.

④与的区别:包含两种情况和=.如A B用图形可表示为

随笔： 随笔： 拖4已知Ａ＝{1,2},B={x|x ∈A},C={x|x

A},指出A 、B 、C 间的关系.

答案: Ｂ＝｛x|x ∈A ｝=｛1,2｝=A,C=｛x|x

A ｝=｛

,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝｝∴Ａ＝Ｂ∈C.

提示：Ａ＝｛１，２｝的子集有４个，即

，｛１｝，｛２｝，｛１，２｝，∴Ａ是Ｃ的一个元素．

随笔：

图1-2-3

而A

B 仅表示第①种情形.

(2)补集与差集的区别

集合A 与集合B 之差或集合Ａ减集合B,记为A ＼B,即A ＼B=｛x|x ∈A 且x B ｝.

而C A B=｛x|x ∈A 且x

B ｝中要求B 是A 的子集,在A ＼B 中,B 不一定是A 的子集,当B 是A 的子集时,有

C A B=A ＼B.

(3)全集的“绝对性”与补集的“相对性”

全集具有某种“绝对性”，即所研究的集合必须是全集的子集，无一例外，因此，全集因研究问题而异，它可以临时具体给出，也可遵从预先的约定.如在研究数集时，常把实数集R 看做全集，而在平面图形的研究中，则以平面点集为全集等.

补集的概念具有“相对性”,即只有认准相对的集合U,才能确定补集.换言之,一个集合总是全集的子集,但可以是不同集合的补集.补集离开了全集是毫无意义的.

2.易错点

(1)忽视空集在解题中的作用

空集是任何集合的子集,对于含有参数(待定字母)的子集问题,在分析题目时一定要讨论空集的情形. 【例题5】若A=｛x|-3≤x ≤4｝,B=｛x|2m-1≤x ≤m+1｝,当B A 时,求实数m 的取值范围.

【错解】∵B A,∴ ,解得-1≤m ≤3,

∴m 的取值范围是-1≤m ≤3.

【易错分析】对于B 的集合中m 的范围没有确定,即２m-1不一定比m+1小，因而Ｂ有可能为

，故应分两种情形讨论．

随笔：

2m-1≥-3

m+1≤4

拖5设M 、N 为非空集合,定义集合M-N={x|x ∈M 且x N},则M-(M-N)=( )

A.N

B.M

C.{x|x ∈M 且x ∈N}

D.{x|x ∈M 或x ∈N}

答案: Ｃ提示：可举特例，如Ｍ＝｛１,２,3｝,N=｛2,3,4｝.

随笔： 拖6已知集合Ａ＝{x|x 2+(2-a)x+1=0}，若Ａ

R +，求实数a 的取值范围．

答案: ∵A

R+,则A 可能有下列两种情况:

(1)若A ＝,则方程x 2+(2-a)x+1=0无解,∴Δ=(2-a)2-4＜0,解得:0＜a ＜4;

(2)若A ≠

，则依题意知方程x 2+(2-a)x+1=0有两个正根，设两正根为x 1,x 2，则 ， 即 解得a ≥4.

综合（1）（2）可知,a 的取值范围为a ＞0.

随笔： 【正解】∵B A,∴B 可能为及B ≠

两种情况.

①当B=时,m ＋１＜2m-1,解得m ＞2; ②当B ≠

时,欲使B

A,则有

,解得-1≤m ≤2. 综合①②可知m ≥-1.

(2)忽视全集中元素所具有的某种特性

补集是相对于全集而言的,全集改变了,则补集也随之而变,因而注意全集是正确求出补集的前提. 【例题6】已知全集U=｛x ∈P|-1≤x ≤2｝,集合A=｛x|0≤x ＜2｝,集合Ｂ＝｛x|-0.1＜x ≤1｝. (1)若P=R,求C U A 中最大元素m 与C U B 中最小元素n 的差m-n; (2)若P=Z,求C A B 和C U A 中所有的元素之和及C U (C B A). 【错解】(1)C U A=｛x|-1≤x ≤0｝,∴m=0, 又C U B=｛x|-1≤x ≤0.1或1≤x ≤2｝, ∴n=-1,∴m-n=1 (2)C A B=

，C U A=｛x|-1≤x ≤0｝，C B A=

.

【易错分析】集合中的P 显示了全集中元素所具有的某种特性,不同的特性决定着不同意义的集合,解题时必须注意这一点. 【正解】（1）C U A=｛x|-1≤x ＜0或x ＝2｝, ∴m=2,

2m-1≥-3

2m-1≤m+1 m+1≤4

Δ≥0

x 1+x 2>0 x 1x 2>0 a 2

-4a ≥0

a-2>0

1>0

又C U B=｛x|-1≤x ≤－0.1或1＜x ≤2｝, ∴n=-1,∴m-n=3;

(2)∵P=Z,∴U=｛-1,0,1,2｝,从而A=｛0,1｝,B=｛0,1｝,∴C A B=,其中没有元素，∴元素和为0，而C U A=｛-1，2｝，其元素和1，∴所求

和为1.

又由于A=B,∴C B A=,从而

C U (C B A)=C U

=U=｛-1,0,1,2｝.

拖7已知全集U={|a-1|，(a-2)(a-1)，4，6}，（1）若

C U (C U B)={0，1}，求实数a 的值；（2）若C U A={3，4}，求实数a 的值.

答案: (1)∵CU(CUB)=B,∴B=｛0，1｝且B

U ，从而 或 ,解得a=1或a=2．

经检验当a=1时，|a-1|=(a-2)(a-1),违反集合元素的互异性，应舍去， ∴a=2.

(2)由C U A=｛3,4｝,知3∈U,从而|a-1|=3或(a-2)(a-1)=3,解得a=4或a=-2或a=

2

13

3-±,经检验当a=4时,(a-2)(a-1)=2·3=6，不合

题意，舍去，故a=-2或a=

2

13

3-±. 随笔：

(3)忽视集合中元素的互异性

对含有参数的集合问题,一定要进行检验,是否满足集合元素的互异性. 【例题7】已知A=｛1,3,a ｝,B=｛1,a2-a+1｝,且B A,求a 的值.

【错解】∵B

A ，

∴a 2

-a+1＝３或a 2

-a+1=a,解得a=-1,2,1.

【易错分析】应将所求得的a 值代回原集合进行检验,看是否满足集合元素的性质. 【正解】∵B

A,∴a 2

-a+1＝３或a 2

-a+1=a,解得a=-1,2,1.

∵当a=1时,A=｛1,3,1｝,这与集合的互异性相矛盾,∴a=-1或a=2.

方法技巧

1.正确理解子集概念,根据子集概念解题

【例题8】已知集合A=｛x|0＜ax+1≤5｝,集合B=x|-2

1＜x ≤2,(1)若A B,求实数a 的取值范围;(2)若B A,求实数a 的取值范围.

【解析】A 中不等式的解应分三种情况讨论: ①若a ＝０,则A=R;

②若a ＜０,则A=｛x|

a 4≤x ＜-a 1＝; ③若a ＞０,则Ａ＝｛x|-a 1＜x ≤a

4

＝.

（1）当a ＜０时,由A B,则

a 4>-2

1

-a

1≤2

a ＜-8 1

|a-1|=0 (a-2)(a-1)=1 |a-1|=1

(a-2)(a-1)=0

∴ ,解得a ＜-8;

当a ＞０时,由A B,则

拖8已知Ａ＝｛x 2,xy,x ｝,B={1,x,y}且A=B,求实数x,y 的值.

答案: ∵A=B,故有两种情况： (1) (2) 解得 或 或 又由集合元素的互异性可知x ≠1且y ≠1,∴

随笔： 拖9已知集合A={x|x 2+x-6=0}，集合B={y|ay+1=0},若B

A,求实数a 的值.

答案: A=｛2,-3｝,当a=0时，B=，显然满足B

A ；当

B ≠

时，B=｛y|y=a

1

-

｝,要使B

A,则a

1-

=2或a

1-

=-3，解得a=2

1-

或a=

31，经检验可知a=0或a=21-或a=3

1. 随笔：

∴ ，解得a ≥2.

综合可知，a 的取值范围为a ≥2或a<－８. （2）若a ＝0时，显然B A ；

若a ＜０时,由B A,有

∴ ∴-2

1

＜a ＜0.

若a ＞０时,由B A,有

∴ ∴0＜a ≤2

综合可知,此时a 的取值范围为-

2

1≤a ≤2.

【思路点拨】有关不等式解集问题避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析.同时对含参数的问题分类讨论要全面.

-

a 1≥-21

a

4≤2 a ≥2

a ≥2 a 4≤-21

-a

1＞2

a ≥-8 a ＞-

2

1 a 1-

≤2

1- a

4≥2 a ≤2

a ≤2 x Ａ2=1 xy=y x 2

=y xy=1 x=1

y ∈R

x=-1 y=0 x=1 y=1

x=-1 y=0.

2.利用集合相等关系解题

两集合相等,则要求两集合不仅个数相等,而且元素要一模一样.

【例题9】已知集合A=｛a,a+d,a+2d ｝,B=｛a,aq,aq2｝(a 为常数），若A=B ，求d ，q 的值. 【解析】由A=B,得

（1） 或 （2）

由（1）消去d,得aq2-2aq+a=0

根据已知条件,显然a ≠0,d ≠0,解得q=1,但当q=1时,a=aq=aq 2

,这与集合中元素的互异性矛盾,故q=1舍去. 由（2）消去d,得2aq 2

-aq-a=0

随笔： 拖10三个实数既可用集合{1,

b

a ,b}表示,又可用集合{0，a+

b ，b 2}表示，求a 2005+b 2004的值.

答案: 依题意知0∈｛1,

b

a ,

b ｝

∴

a

b ＝０或b=0，但当b=0时

b

a 无意义，故

b

a ＝０，从而a=0，又由1∈｛0,a+b,b2｝知a+b=1或

b 2=1，由于a=0即b=1或b 2

=1，但当

b=1时，｛1, b

a

,b ｝=｛1,0,1｝与集合元素的互异性不符，∴b ≠１，从而b 2

=1，∴b=-1．

∴a

2005

+b 2004

=1．

随笔： ∵a ≠0,q ≠1,∴q=-

2

1代回（2）得d=-

a 4

3. 【思路点拨】利用集合相等关系中元素相等的特点，列出方程组求解，但常需检验，看结果是否符合集合元素所具有的三个特性.

3.由补集的“相对性”灵活处理问题

【例题10】已知全集Ｕ＝｛1,2,3,4,5｝,A=｛x ∈U|x 2

-5qx+4=0｝；（1）若C U A=U ，求实数q 的取值范围；（2）若C U A 中有四个元素，求C U A 及实数q 的值；（3）若A 中有且仅有两个元素，求C U A 及实数q 的值. 【解析】（1）由C U A=U 知A=，即方程x 2

-5qx+4=0的解不在U 中. 由12

-5q+4≠0得q ≠1; 由22-5q ·2+4≠0,得q ≠

5

4

;

同理由3,4,5不是方程的根,依次可得q ≠

1513，q ≠１，q ≠25

29;综上可得所求范围是｛q|q ∈R,且q ≠

1513，q ≠１，q ≠5

4

，q ≠

25

29

｝;

(2)由C U A 中有四个元素,∴A 中的方程有一个解在U 中,由(1)的结论可得: 若q=１,则A=｛1,4｝矛盾,∴q ≠１;

若q=

54

,则A=｛2｝,此时C U A=｛1,3,4,5｝; 若q=15

13,则A=｛3｝,此时C U

A=｛1,2,4,5｝;

a+d=aq

a+2d=aq 2

a+d=aq 2

a+2d=aq

若q=

25

29,则A=｛5｝,此时C U A=｛1,2,3,4｝.

(3)这两个元素设为x 1,x 2,则x 1,x 2为x 2-5qx+4=0的两根，∴x 1x 2=4又x 1,x 2∈U,故当且仅当q=1时,C U A=｛2,3,5｝. 随笔： 拖11已知全集U={2,3,a 2+2a-3},A={|a+1|,2},C U A={a+3},求a 的值.

答案: 当a+3=3时，得a=0，此时有Ｕ＝｛2,3,-3｝,A=｛1,2｝则C U A ≠｛3｝，故a=0不符合，舍去．

当a+3=a 2

+2a-3时，得a=2或a=-3.当a=2时，U=｛2,3,5｝，A=｛2,3｝,此时C U A=｛5｝，∴a=2满足条件；当a=-3时，Ｕ＝｛2,3,0｝，Ａ＝｛２，２｝不符合，舍去． 综上所述，知a=2.

随笔：

【思路点拨】从本题的求解中可以很鲜明地看出补集的“相对性”,对于方程x 2

-5qx+4=0而言,本题只考虑它是否有1,2,3,4,5这几种解,而对其余情况不予考虑,如对于(1),若由Δ＜0去求q 的取值范围,则是一种错误的解法.事实上,即使在Δ≥0的条件下,只要x 不属于U,集合A 也是空集.

名题活题创新探究

例题分析解答

【例题11】设a,b 是整数，集合E ＝｛（x,y ）|（x-a ）2

+3b ≤6y ｝,点（2,1)∈E,但点（1,0）E,（3,2）E,求a,b 的值.

【分析】点（x,y)∈E,则点（x,y)满足Ｅ中不等式；点（x,y)E ，则点（x,y)不满足Ｅ中不等式，满足其反面.

【解析】∵(2,1)∈E,∴(2-a)2

+3b ≤6① 又∵(1,0)E,∴(1-a)2

+3b ＞0②

(3,2)

E,∴(3-a)2

+3b ＞12③

由①、②得-(1-a)2

＜3b ≤6-(2-a)2

即6-(2-a)2

＞-(1-a)2

,整理得2a+3＞0 ∴a ＞-2

3

同理联立①、③解得a ＜-

2

1∴-

2

3＜a ＜-

2

1

又a ∈Z,∴a=-1,代入①、②得-4＜3b ≤-3,∴b=-1. 【例题12】设集合A=｛1,2,3｝,B=｛x|x

A ｝,试判断A 与

B 的关系，并求出所有的x 中的数字之和.

【分析】B 是集合A 的所有子集x 为元素构成的集合.

随笔：