常用放缩方法技巧

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:

⑴添加或舍去一些项,如:;

⑵将分子或分母放大(或缩小)

⑶利用基本不等式,如:;

⑷二项式放缩:,,

(5)利用常用结论:

Ⅰ、得放缩 :

Ⅱ、得放缩(1) : (程度大)

Ⅲ、得放缩(2):(程度小)

Ⅳ、得放缩(3):(程度更小)

Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与

记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、

Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。

一．先求与再放缩

例1、,前n项与为S n ,求证:

例2、 , 前n项与为S n ,求证:

二．先放缩再求与

(一)放缩后裂项相消

例3.数列,,其前项与为 ,求证:

(二)放缩后转化为等比数列。

例4、满足:

（1）用数学归纳法证明:

（2）,求证:

三、裂项放缩

例5、(1)求得值; (2)求证:、

例6、(1)求证:

(2)求证:

(3)求证:

例7、求证:

例8、已知,,求证:、

四、分式放缩

姐妹不等式:与

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、

例9、姐妹不等式:与

也可以表示成为

与

例10、证明:

五、均值不等式放缩

例11、设求证

例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为,

求证:

六、二项式放缩

例13、设,求证、

例14、 , 试证明:、

七、部分放缩(尾式放缩)

例15、求证:

例16、设求证: 八、函数放缩

例17、求证:、

例18、求证:

例19、求证: 九、借助数列递推关系

例20、若,求证:

例21、求证:

十、分类放缩

例22、求证: