鲁棒控制

鲁棒控制理论中的H∞控制理论

（浙江大学宁波理工学院信息科学与工程分院自动化）

【摘要】首先简要的介绍了鲁棒控制中的H∞控制理论，并把其发展分为两个阶段，而后就上当已存在的H∞控制的主要成果进行了讨论和归纳，还指出了H∞控制理论尚未解决的问题。

【关键词】H∞控制理论；非线性系统；时滞；范数

1.概述

鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成立，如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。主要的鲁棒控制理论有：Kharitonov区间理论；H∞控制理论；结构奇异值理论u理论；

鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。

2．H∞控制理论出现的背景及意义

1981年，加拿大著名学者Zames在其论文中引入了H∞范数作为目标函数进行优化设计，标志着H∞控制理论的诞生。Zames考虑了这样一个单入单出( SISO)系统的设计问题: 假设干扰信号属于某一有限能量的已知信号集，要求设计一个反馈控制器，使闭环系统稳定，且干扰对系统的影响最小。要解决这样的问题就必须在能够使闭环系统稳定的所有控制器中选出一个控制器使之相应的灵敏度函数的H∞范数最小。

虽然Zames 首先提出了H∞最优化问题，但是他没能给出行之有效的解法。

直到1984年Francis和Zames用Nevanlinna- Pick插值理论，给出了H∞最优化问题的最初解法。同时，基于算子理论等现代数学工具，这一解法很快被他们推广到一般的多变量系统。这方面的代表工作有Francis, Helton和Zames使用的Ball-Helton 算子理论解法、Chang和Pearson使用Saraso算子理论和矩阵Nevanlinna- Pick理论相结合的方法、Safonov和Verma的Hankel 范数逼近方法。但遗憾的是, 最初的H∞控制理论的标准频域方法在处理MIMO系统时，在数学上和计算上显得十分无能为力。直到J.C.Doyle 利用状态空间方法，对函数阵的状态空间内/外互质分解，将其降低成一个状态空间方法可解的Nehari/Hankel 范数问题, 才初步解决了上述数学计算问题。至此, H∞控制标准问题的状态空间一般算法已初步形成，后被称为“1984”方法。它的主要思路是使闭环系统内稳定的控制器参数化，即使Youla参数化方法,把K表示为稳定的传递函数Q的函数，使问题变为易于解决的无约束问题。参数化后的标准问题转变为模型匹配问题(Model-Matching Problem)，然后将模型匹配问题转变为广义距离问题(General Distance Problem) , 这种广义距离问题是函数逼近理论中Nehari问题的推广，也称为扩展Nehari 问题( Extended NehariProblem)。用Hankel 范数逼近理论解决Nehari 问题，最后求得控制器K。虽然这些计算都可采用状态空间模型, 通过实数矩阵计算方法进行, 但计算量很大, 求得的控制器也非常复杂。

为了减少计算的复杂性和降低控制器的维数，学者们进行了大量的工作, 取得了不少成果。这个时期的主要成果被K.Glover整理成第一部H∞控制理论专著，于1987 年问世。但总体说来这一阶段提出的H∞设计问题的解法，所用的数学工具非常繁琐难懂，计算工作量大，并不像控制问题本身那样具有明确的工程意义。

3. H∞控制理论的发展情况

在实际控制工程中，受控对象的精确模型往往是难以得到的。这是因为：①不可能精确地了解对象的工作机理、结构和参数；②常用降阶模型来代替实际的高阶模型；③常用线性化模型代替实际的非线性模型；④常把时变模型视为非时变模型；⑤控制系统中元器件的老化或破损也会导致受控对象的特性随之变化，从而偏离设计时的标称特性等等因素。这些都会导致模型误差。此外，在许多实际问题中，仅知道噪音(或干扰)是属于某个集合并不确知其统计特性(或能量

谱) ，这便使得LQG(或H2)方法难以使用。鉴于这些实际情况，人们对LQG(或H2)等控制系统设计方法进行了反思，开始寻求这样的鲁棒控制问题的解：

(1) 受控对象不是由一个确定的模型来描述的，而仅知道其模型属于某个给定的模型集合。

(2) 外部信号(包括干扰信号、传感器噪音和指令信号)不是具有已知特性(例如能量谱或统计特性)的信号，也仅知道其属于某个给定的信号集合。

针对上述问题，加拿大学者G.Zames于1981年提出了以控制系统内某些信号间的传递函数(矩阵)的H∞范数为优化指标的设计思想。

H∞控制理论就是在H∞空间(Hardy空间)通过某些性能指标的无穷范数优化而获得控制器的一种控制理论。H∞空间是在开右半平面解析且有界的矩阵函数空间，矩阵函数F(s)在开右半平面的最大奇异值的上界。其物理意义是对系统的输入若是有限的能量谱信号，系统的输出则是最大能量谱信号(即代表系统获得的最大能量增益)。

H∞控制理论的研究的两大阶段。分别以Zames和美国学者Doyle等人发表的两篇论文为标志。第一阶段主要特征是采用纯频域方法，以空间、H∞范数等概念为基础，研究的方法是把H∞标准转化为模型匹配问题，然后将模型匹配问题转化为广义距离问题。主要工具是所有稳定化控制器的Youla—Jabr—Kucera 参数化，传递函数的内外分解，Nevanlinna—Pick插值理论，Nehari的距离定理等。这种频率域/算子理论的处理方法目前仍然是一个很活跃的研究领域。H∞理论的第二发展段(80年代后期)主要特征是状态空间方法的采用，它以Lyapunov 稳定理论、能控能观等概念为基础，以状态空间实现为工具，不仅得到了所有H∞次优解的表达式，而且所得控制器阶数不超过广义对象的阶数，因而即具有理论意义，又有实现应用价值。

Doyle等人的文章(“DGKF”论文)是H∞理论的一个里程碑。他们不仅对状态反馈，而且对输出反馈的情形给出了H∞标准控制问题有解的充要条件以及次优控制器的参数形式，其证明了可以通过解两个Riecati 方程得到H∞控制器，且其阶数与被控对象的阶数相等，从而导出H∞控制理论标准问题的一个相当清晰的解，其结构和意义与古典LQG问题解的结构和意义十分相似。文章还提供了H∞最优控制中不可缺少的数学工具。

4．H∞控制理论的现状及应用领域

H∞控制理论是当前控制工程中最活跃的研究领域之一，多年来一直备受控制研究工作者的青睐。H∞控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善的理论体系，而且在进行系统优化时能够考虑不确定干扰的集合，所以成为近几年来自动控制理论及工程应用研门话题之一。目前，已被尝试应用于飞行控制、导弹制导、航天器姿态控制、电力系统稳定器、机械手、倒立摆等系统的控制中，仿真实验证明了其有效性。

H∞控制器用于泵控马达伺服系统。把经内环整定后的伺服电机扩展为增广对象P(s)对其求解标准H∞设计问题，得到了具有很强鲁棒性的速度控制器。

将H∞控制器用于船舶自动舵控制，并取得了满意的结果。根据电机调速系统的跟随与抗扰两个性能指标，采用H∞方法设计了状态反馈控制器减少闭环系统的模型摄动及负载扰动对输出的影响，提高了调速精度。

应用H∞控制研究了具有冲击影响的宏观经济系统的控制问题，并用实例给出了一个政府政策和公众预期宏观经济H∞控制的状态反馈解。H∞控制指标在时域的本质是“最大最小”问题，其系统意义是选择控制策略，使观测输出最大，扰动最小。相应于证券组合投资问题，使得收益最大，风险最小。运用H∞对证券投资中的不确定性和风险问题的连续时间系统进行了研究。离散时间系统状态空间模型的提出，推导了奇异H∞控制策略，为证券组合投资的分析和实际应用提供了新的理论方法。

5．H

控制理论及应用亟待解决的问题

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尽管H∞控制在控制理论、设计方法、控制效果及适用范围等方面取得了许多令人鼓舞的研究成果，但同时其也存在一些亟待解决的问题。目前，H∞控制理论及其应用在以下几个方面有待深入研究和完善：

（1）大范围模型参数摄动不确定性界限的H∞控制问题研究。H∞控制只能在允许的摄动范围内保证鲁棒稳定性，扩大参数摄动范围是H∞控制亟待研究的问题；

（2）研究基于模型匹配的设计理论与状态反馈和动态输出反馈设计理论之间的关系；

（3）加强H∞控制与其他控制方法结合研究，以获得既有好的鲁棒性又有良好稳定性和动态性的控制系统；

（4）多目标综合H∞优化设计方法研究。现有H∞控制方法是通过求解代数Riccati方程来判别其是否存在控制器并使H∞性能指标小于给定值的。具有能逼近最优解、目标单一等优点，但对其他指标的控制难以令人满意，亟待寻求多目标综合H∞优化的设计方法。

（5）对非线性H∞控制Hamilton—Jacobi方程的求解只能得到近似解，非常粗糙，需给出近似程度的严格分析。在几乎处处扰动解耦控制中，寻求避开目前非线性H∞控制存在的缺陷，研究全新的非线性H∞控制方法；

（6）H∞控制设计简化及实用化的进一步研究。如寻找更简单的设计方法、设法降低控制器的阶次以及开发更实用的相应H∞控制工具箱，使H∞控制设计方法易被工程技术人员掌握，控制器易于工程实现。

6．结束语

H∞控制是一种具有很好鲁棒性的设计方法，可直接在状态空间进行设计，具有计算精确和最优化等优点，为具有模型摄动的不确定性MIMO系统提供了一种既能保证控制系统的鲁棒稳定性，又能优化某些性能指标的控制器设计方法。相信随着H∞控制研究的深入和计算机技术的发展，H∞控制存在的一些问题(如理论复杂、计算量大，对某些对象控制效果不好等)将会逐步得到解决，适用范围更广泛，应用前景更好。

参考文献：

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