辽宁省大连市2018届高考第一次模拟数学试题(文)有答案

辽宁省大连市2018届高三第一次模拟

数学文试题 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合{}

|1A x x =<，(){}

|30B x x x =-<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,3- D ．()1,3 2.若复数11i

z ai

+=

+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1

2

-

D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是

，则8771用算筹可表示为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4.如图所示程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小正偶数n ，那么空白框中及最后输出的n

值分别是（ ）

A ．1n n =+和6

B ．2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D ．2n n =+和8 5.函数()2tan 1x

f x x x

=++

的部分图象大致为（ ）

A ．

B ．

C. D ．

6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项和是（ ） A ．9 B ．81 C.10 D ．90

7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）

A ．431033238

33

8.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若,m n N *

∈满足22

4m n a a a =，则

21

m n

+的最小值为（ ） A ．1 B ．

32 C.2 D ．92

9.过曲线x

y e =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若该切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞ B ．1

,e ??+∞ ???

C.()1,+∞ D ．()2,+∞

10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过

A B C D ，，，四点的球的表面积为（ ）

A ．3π

B ．4π C.5π D ．6π 11.将函数()sin 23f x x π??

=+

??

?

的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π??

=+

??

?

的图象，

则a的值可以为（）

A．5

12

π

B．

7

12

π

C.

19

24

π

D．

41

24

π

12.已知双曲线

22

22

:1

1

x y

C

m m

-=

-

的左、右焦点分别为

1

F、

2

F，若C上存在一点P满足

12

PF PF

⊥，且12

PF F

?的面积为3，则该双曲线的离心率为（）

A．

5

2

B．

7

2

C.2 D．3

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设实数x，y满足约束条件

40

5

y

x y

x y

≥

?

?

-≥

?

?+≤

?

，则25

z x y

=++的最大值为．

14.已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长小于3R的概率为．

15.已知抛物线2

:2

C y x

=，过点()

1,0任作一条直线和抛物线C交于A、B两点，设点()

2,0

G，连接AG，BG并延长，分别和抛物线C交于点A′和B′，则直线A B

′′过定点．

16.已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E为AD上一点且满足

1

2

AE ED

=

u u u r u u u r

，点F为CD的中点，若2

AD BE

?=-

u u u r u u u r

，则CD AF

?=

u u u r u u u r

．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知ABC

?的内角,,

A B C的对边分别为,,

a b c，若2

b=，且2cos cos cos

b B a C

c A

=+.

()Ⅰ求B的大小；

()Ⅱ求ABC

?面积的最大值.

18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单

位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费

i

x和年销售量()

1,2,,8

i

y i=…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x

y

w

()

8

2

1

i

i x x =-∑

()

8

2

1

i

i w w =-∑

8

1

i i

i x y =∑

8

1

i i

i w y =∑

46.6

573

6.8

289.8 1.6 215083.4 31280

表中i w x =，1

8i i w w ==∑.

()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c d

x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类

型？（给出判断即可，不必说明理由）

()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题： ()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

()()

()

1

2

1

n

i

i i n

i

i u

u v v

u u β∧

==--=

-∑∑，v u αβ∧∧

=-.

19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.

()Ⅰ求证：//EF 平面DCP ；

()Ⅱ求F 到平面PDC 的距离.

20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点3

(1,)2

M 在椭圆C 上.

()Ⅰ求椭圆C 的方程；

()Ⅱ已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形

APBQ 面积的最大值.

21. 已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.

()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；

()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12x x <，求证：121x x <.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

1:4cos 02C πρθθ?

?=≤< ???，2:cos 3C ρθ=.

()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标；

()Ⅱ设点Q 在1C 上，23

OQ QP =u u u r u u u r

，求动点P 的极坐标方程.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()223f x x x m =+++，m R ∈.

()Ⅰ当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；

()Ⅱ(),0x ?∈-∞，都有()2

f x x x

≥+

恒成立，求m 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:CDADD 6-10:BBACC 11、12：CB 二、填空题 13.14 14.2

3

15.()4,0 16.-7 三、解答题

17.解：()Ⅰ由2cos cos cos b B a C c A =+可得

2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=，

故1cos 2

B =， 所以3

B π

=

.

()Ⅱ方法一：由2,3

b B π

==

，根据余弦定理可得22

4ac a c =+-，

由基本不等式可得2

2

424,ac a c ac =+-≥-所以4ac ≤， 当且仅当a c =时，等号成立.

从而11sin 4222

ABC S ac B ?=

≤??= 故ABC △

方法二：因为

sin sin sin 2

a b c A B C ====

所以,a A c C =

=，

112sin sin sin()2233S ac B A C B A A π

==?=-

)6A π=

-+ 当26

2

A π

π

-

=

，即3

A π

=

时，max S =

故ABC △

18.解：()Ⅰ

由散点图可以判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.

()Ⅱ

令w =

y 关于w 的线性回归方程

$

()()

()()

()()(

) 88888

11111

8888

2222 1111

8

i i i i i i i i i i i

i i i i i

i i i i

i i i i

y y w w w y wy yw wy w y wy w y wy d

w w w w w w w w ===== ====

----+--

====

----∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

31280 6.85738

68

1.6

-??

==，

$57368 6.8110.6

c y dw

=-=-?=

$，

所以y关于w的线性回归方程为$110.668

y w

=+，

所以y关于x的线性回归方程为$110.668

y x

=+.

()Ⅲ()i由()Ⅱ知，当64

x=时，年销售量y的预报值为$110.66864654.6

y=+=，年利润z的预报值为654.60.26466.92

z=?-=

$.

()ii根据()Ⅱ的结果知，年利润z的预报值

()2

0.2(110.668)13.622.12 6.868.36

z x x x x x

=?+-=-++=--+

$，

当 6.8

x=，即46.24

x=时，年利润的预报值最大，

故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.

19.()Ⅰ方法一：

取PC中点M，连接MF

DM,，

F

M,

Θ分别是PB

PC,中点,CB

MF

CB

MF

2

1

,

//=

∴，

E

Θ为DA中点，ABCD为正方形，CB

DE

CB

DE

2

1

,

//=

∴，

DE

MF

DE

MF=

∴,

//,∴四边形DEFM为平行四边形，

?

∴EF

DM

EFΘ,

//平面PDC，?

DM平面PDC，

//

EF

∴平面PDC.

方法二：

取PA中点N，连接NE，NF.

E

Q是AD中点，N是PA中点，//

NE DP

∴，

又F Q 是PB 中点，N 是PA 中点，//NE AB ∴，

//AB CD Q ，//NF CD ∴，

又NE NF N =Q I ，NE ?平面NEF ，NF ?平面NEF ，DP ?平面PCD ，CD ?平面PCD ，∴平面//NEF 平面PCD .

又EF ?Q 平面NEF ，//EF ∴平面PCD .

方法三：

取BC 中点G ，连接EG ，FG ，

在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点

//GE CD ∴

又F Q 是PB 中点，G 是BC 中点，//GF PC ∴， 又PC CD C =I ，

,GE GEF GF GEF ??平面平面， ,PC PCD CD PCD ??平面平面，

∴平面GEF //平面PCD . EF ?Q 平面GEF

//EF ∴平面PCD .

()Ⅱ方法一：

//EF Θ平面PDC ，F ∴到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ⊥PA Θ平面ABCD ，PA DA ⊥∴，1==AD PA Θ，在PAD Rt ?中2=DP ，

⊥PA Θ平面ABCD ，PA CB ⊥∴，又⊥CB ΘAB ，A AB PA =I ,AB PAB PA PAB ??平面，平面，

CB ⊥∴平面PAB ，又PB ?Q 平面PAB ， CB PB ⊥∴,故3PC =.

222PD DC PC +=∴，

PDC ?∴为直角三角形，Q PDE C PDC E V V --=，

设E 到平面PDC 的距离为h ， 则11111

121132322

h ??

??=????， 2

4

h =

∴F ∴到平面PDC 的距离

42.

方法二：

//EF Q 平面PCD ，

∴点F 到平面PCD 的距离等于点E 到平面PCD 的距离，

又Q AD I 平面PCD D =,E 是AD 中点，

∴点A 到平面PCD 的距离等于点E 到平面PCD 距离的2倍.

取DP 中点H ,连接AH ,由=AD AP 得AH PD ⊥,

由AB AP ⊥,AB AD ⊥,AD AP A =I ,AP ?平面PAD ，

AD ?平面PAD ，AB ⊥∴平面PAD ，

又//AB CD Q CD ⊥∴平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD . 又Q 平面PCD I 平面PAD PD =，AH PD ⊥，AH ?平面PAD ，

AH ⊥∴平面PCD ，

AH ∴长即为点A 到平面PCD 的距离，

由1AP AD ==，AP AD ⊥，2

2

AH ∴=

. E ∴点到平面PCD 的距离为

24， 即F 点到平面PCD 的距离为

24

.

20. 解：()Ⅰ由

1

2

c a =可得，2a c =，又因为222b a c =-，所以223b c =. 所以椭圆C 方程为2

2

22143x y c c +=，又因为3

(1,)2M 在椭圆C 上，所以22

223()12143c c

+=.

所以2

1c =，所以22

4,3a b ==，故椭圆方程为22

143

x y +=. ()Ⅱ方法一：设l 的方程为1x my =+，联立221

4

31x y x my ?+=???=+?

， 消去x 得2

2

(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有1212

2269

0,,,3434

m y y y y m m --?>+=

=++ ()

()

2

121212

2

222246943434121

34y y y y y y m m m m m -=

+---??

=-? ?

++??+=

+ 所以()

21121

4234m S m +=?+令21,1t m t =+≥， 有2

2424

1313t S t t t

=

=++，由 函数13y t t

=+，[1,)t ∈+∞

[)2

1

30,1,y t t '=-

>∈+∞ 故函数13y t t

=+，在[1,)+∞上单调递增，

故134t t

+≥，故22424

61

313t S t t t =

=≤++

当且仅当1t =即0m =时等号成立， 四边形APBQ 面积的最大值为6.

方法二：设l 的方程为1x my =+，联立22

143

1x y x my ?+

=???=+?

， 消去x 得2

2

(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有1212

2269

0,,,3434

m y y y y m m --?>+=

=++

有22

12(1)

||34

m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l

点(2,0)Q 到直线l

从而四边形APBQ 的面积

22112(1)234m S m +=?=+

令1t t =≥， 有22424

1

313t S t t t

=

=

++， 函数13y t t

=+，[1,)t ∈+∞

[)2

1

30,1,y t t '=-

>∈+∞ 故函数13y t t

=+，在[1,)+∞上单调递增， 有134t t

+≥，故22424

61

313t S t t t

=

=≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值

为6.

方法三：①当l 的斜率不存在时，:1l x = 此时，四边形APBQ 的面积为6S =.

②当l 的斜率存在时，设l 为：(1)y k x =-，(0)k ≠

则22

143(1)x y y k x ?+

=???=-?

()22223484120k x k x k ∴+-+-=

22121222

8412

0,,3434k k x x x x k k -?>+==++，

1212()12y y k x x -=-==

∴四边形APBQ 的面积

1214242S y y =??-=令2

34(3)t k t =+> 则23

4

t k -=

6S =11(0)3t <<

116)3S t =<<∴

06S <<∴

综上，四边形APBQ 面积的最大值为6.

21.解：()Ⅰ令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有11()1x

F x x x

-'=

-=

，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --，

若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.

()Ⅱ方法一：120x x <

1

1x x >∴

， 11221122

ln 0,ln ln ln 0x x m x x x x x x m --=?-=-?--=?Q ∴，

即2121ln ln x x x x -=-

21

21

1ln ln x x x x -=-∴

，

欲证：121x

x <21211ln ln x x x x -<=

-

，只需证明21ln ln x x -<

只需证明2

1ln

x x <.

设1t =

>，则只需证明1

2ln ,(1)t t t t

<->， 即证：1

2ln 0,(1)t t t t

-+<>.

设1

()2ln (1)H t t t t t =-+>，222

21(1)()10t H t t t t -'=--=-<， ()H t ∴在(1,)+∞单调递减，()(1)2ln1110H t H ∴<=-+=，

1

2ln 0t t t

-+<∴，所以原不等式成立.

方法二：由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =-有两个零点，有(1)0F >，则1m <-，且1201x x <<<， 要证121x x <，只需证211x x <

，由于()F x 在(1,)+∞上单调递减，从而只需证21

1

()()F x F x >，由12()()0F x F x ==，

只需证111

111

(

)ln 0F m x x x =--<， 又111()ln 0F x x x m =--=，11ln m x x =-∴ 即证111111

1111

ln

ln ln 0m x x x x x x --=-+-< 即证111

1

2ln 0x x x -

+-<，1(01)x <<. 令1

()2ln (01)h x x x x x

=-+-<<，222

1221()10x x h x x x x -+'=+-=>， 有()h x 在(0,1)上单调递增，()(1)0h x h <=，1111

1

()2ln 0h x x x x =-+-<∴. 所以原不等式121x x <成立. 22.()Ⅰ解：联立??

?==θ

ρθρcos 43cos ，23

cos ±=θ，

2

0π

θ<

≤Θ，6

π

θ=

，

32=ρ，

交点坐标??

?

?

?

6,

32π.

()Ⅱ设()θρ,P ,()00,θρQ 且004cos ρθ=，??

?

???∈2,00πθ，

由已知23OQ QP =u u u r u u u r ，得?

??

??

==θ

θρρ0052，

2=4cos 5ρθ∴，点P 的极坐标方程为??

?

???∈=2,0,cos 10πθθρ. 23.解：()Ⅰ当m =-2时，()()

4103223-2=1

023452x x f x x x x x x ?

?+≥??

??=++-? ???

??

??--≤-? ?

?

??

＜＜, 当4130x x +≤??

≥?

解得12x ≤≤0；当3

0132x -≤＜＜，恒成立

当453

3

2

x x --≤??

?≤-??解得32x ≤≤--2 此不等式的解集为1-22

?????

?

，.

()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223=3432m

x f x x x m x m x ?

??

+- ?????

=+++?

???--+≤- ?

??

??

＜＜， 当3

02x -＜＜时，不等式化为23+≥+

m x x

.

由22[()()]+

=--+-≤-=-x x x x 当且仅当2

-=-

x x

即=x

. 3m +≥-∴

3m ≥--∴当32≤-

x 时，不等式化为243--+≥+x m x x

. 253m x x ≥++∴，令253y x x =++，3

(,]2x ∈-∞-. 223

50,(,]2

y x x '=-

>∈-∞-Q ，

253y x x

=+

+∴在3

(,]2-∞-上是增函数.

∴当32=-x 时，253=++y x x 取到最大值为35

6-.

∴35

6

m ≥-

∴.

综上3m ≥--