§ 9 重积分习题与答案
第九章 重积分
A
1、 填空题
1）交换下列二次积分的积分次序
（1）()=??
-dx y x f dy y y 10
2,______________________________________________
（2）()=??dx y x f dy y
y
2
022,______________________________________________
（3）()=?
?dx y x f dy y
1
00,_______________________________________________
（4）()=??
---dx y x f dy y y 1
1122
,___________________________________________
（5）
()=??
dy y x f dx e x
1ln 0
,______________________________________________
（6）
()()=??
---dx y x f dy y y
40
42
1
4,________________________________________
2）积分
dy e dx x
y ?
?-2
2
2
的值等于__________________________________
3)设(){}
10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D
??+=的
值则 。
4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分
()σd y x I D
2??+=与()σd y x I D
3
??+=的大小________________________________
5）设()???
?
??≤
≤≤
≤=20,2
0,ππ
y x y x D ，则积分()dxdy y x I D
??+-=2
sin 1 ___________________________________________
6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将
???Ω
=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________
=I
7）设Ω是由球面222y x z --=
与锥面22y x z +=的围面，则三重积分
dxdydz z y x f I ???Ω
++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为
2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值
1）?
?
-+a
x ax dy y x dx 20
20
222
)(
2）
??
+a x
dy y x dx 0
22
3、利用极坐标计算下列各题 1）??+D
y x
d e σ2
2
，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.
2）
??++D
d y x σ)1ln(2
2，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域. 3）
??D
d x y σarctan ，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.
4、选用适当的坐标计算下列各题
1)??D d y
x σ22
,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.
2）??+D
yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.
3）??
--D
d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.
4）??
+D
d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}
2222),(b y x a y x ≤+≤.
5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧??
?
?
?
≤
≤20πθ与直线2π
θ=所围成，
它的面密度为()2
2
,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.
6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.
7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度
()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.
8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及
632=++z y x 截得的立体的体积.
9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+62
2
截得的立体的体积.
10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+2
2
围成的闭区域为底，而以曲面2
2
y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.
11、化三重积分()???Ω
=
dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是
1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.
2）由曲面222y x z +=及2
2x z -=所围成的闭区域.
12、设有一物体，占有空间闭区域(){}
10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量. 13、计算
???Ω
dxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域.
14、计算
???Ω
xyzdxdydz ，其中Ω为球面1222
=++z y x
及三个坐标面所围成的在第一卦
限内的闭区域. 15、算
???Ω
zdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x R
h
z +=
与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.
16、利用柱面坐标计算三重积分???
Ω
zdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及2
2y x z +=所围成的闭区域.
17、利用球面坐标计算三重积分()
???Ω
++dv z y x
222
，
其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.
18、选用适当的坐标计算下列三重积分 1）
???
Ω
xydv ，其中Ω为柱面12
2=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域.
2）
???
Ω
dxdydz z 2
，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分.
3）()
???Ω
+dv y x
22
，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.
4）
()
???Ω
+dv y x
22
，
其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2
220，0≥z 所确定.
19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积 1）226y x z --=及22y x z +=.
2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).
20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.
21、求球面2
2
2
2
a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2
2
内部的那部分面积.
22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.
23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.
24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心
D 是半椭圆形闭区域()?
?????≥≤+0,1,22
22y b y a x y x .
25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2
x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的
面密度()y x y x 2
,=μ，求该薄片的质心.
25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）
1）2
22y x z +=，1=z
2）222y x A z --=
，222y x a z --=()0>>a A ,0=z
26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度
1=ρ）.
B
1、 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小 1）
()σd y x D
??+2与()σd y x D
??+3，其中积分区域D 是由圆周()()2122
2=-+-y x 所围成.
2）
()σd y x D
??+ln 与()[]σd y x D
??+2
ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1，
()1,1，()0,2 .
2、计算下列二重积分 1）??+σd e y x ，其中(){}
1,≤+=y x y x D
2）()
??-+D
d x y x
σ22
，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域
3）， ()
σd y x y
D
??+-+9632
，其中(){}
222,R y x y x D ≤+=
3、化二重积分()σd y x f I D
??=
,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二
次积分），其中积分区域D 是
1）由x 轴及半圆周222r y x =+()0≥y 所围成的闭区域
2）环形闭区域(){}
41,2
2≤+≤y x y x
4、求由曲面2
2
2y x z +=及2
2
26y x z --=所围成的立体的体积. 5、计算
()
???Ω
+++3
1z y x dxdydz
，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成
的四面体.
6、计算下列三重积分 1)
dxdydz z ???
Ω
2
，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.
2)()
dv z y x z y x z ???Ω
++++++11ln 2
22222，其中Ω是由球面12
22=++z y x 所围成的闭区域.
3)
()
d v z y
???Ω
+22
，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面
5=x 所围成的闭区域.
7、设球体占有闭区域(){}
Rz z y x z y x 2,,2
22≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等
于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.
8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x =
a y =所围成
1）求物体的体积; 2）求物体的质心;
3）求物体关于z 轴的转动.
C
1、利用二重积分的性质，估计积分()??
++=D
d y x I σ10，其中D 是由圆周42
2=+y x 所围成.
2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和
y x z 23+=所围成()0>a .
3、计算二重积分
??
D
ydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线2
2y y x --=所围成的平面区域.
4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()?
?---=y
y dx y x f dy I 31110
2
,的积分次序.
5、计算二重积分dxdy x y I D
??
-=
2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.
6、求二重积分()dxdy xe y D y x ????
????
++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围
成的平面区域. 7、计算
???Ω
dv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2
2
22R r z y x =-++围成.
8、计算dxdydz z xy I ???Ω
=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域.
9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置. 10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
()()
()
t h y x z t h z 2
2+-
= （设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？
第九章 重积分答案 习 题 答 案
（A ）
1、 填空题 1）①()()?
?
??-+2
120
1
2
2
,,x x dy y x f dx dy y x f dx
②
()dy y x f dx x
x ?
?2
4
, ③()dy y x f dy x
??1
1
, ④()dy y x f dx x ?
?--2
10
1
1,
⑤
()??e e y
dx y x f dy ,10
⑥()??-+-2
44
20
2,x x dy y x f dx
2）()4
12
1
--e
3)20≤≤I 4)()()????+≥+D D
d y x d y x σσ3
2 5)2-π 6)
?
??
---y
x x xdz dy dx 210
210
1
7)()
?
??2
2240
20
sin dr r r f d d ??θππ
2、1）4
4
3a π 2）()[
]
21ln 2613++a
3、1）
()14
-e π
2）()12ln 24
-π 3）
264
3π
4、1）
49 2）2sin 22cos 1sin 1cos 2
3
--++ 3）
??
?
??-34313πR 4）()3332a b -π
5、
5401π 6、k R arctan 313 7、34 8、27 9、6
17 10、4323
a π 11、1）()dz z y x f dy dx xy x
??
?-0
10
10
,, 2）()??
?-+----2
2
2
2
2
22111
1
,,x y x x x dz z y x f dy dx
12、
23 13、3641 14、481 15、224R h π 16、π127 17、π5
4 18、1）81 2）
548059R π 3）π8 4）()
55
154a A -π 19、1）π3
32
2）3a π 20、3R k π 21、()222-πa 22、π2 23、μ105368=I 24、π
34,0b
y x == 25、4835=
x ，5435=y 26、??? ?
?
43,0,0 27、
M a 2
2
1（ρπh a M 2=为圆柱体的质量） （B ）
1、 1）
()()????+≤+D
D
d y x d y x σσ32 2）()()????+≤+D
D
d y x d y x σσln ln 2
2、1）1
--e e 2) 613 3) 2
494
R R ππ+ 3、1）()?
?--=2
20,x r r
r dy y x f dx I ，()??---
=222
2,0y r y r r
dx y x f dy I
2）()()()?
??
??
?-------------++=
2
2
22
2
2
141
1
411
14412
,,,x x x x x x dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx I
()?
?
---+
2
2
442
1
,x x dy y x f dx
()()()??
???
?-----------++=2
2
22
2
2
14411
1
1
1
442
1
,,,y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy I
()?
?
-----+
2
2
441
2
,y y dx y x f dy
4、π6
5、
??? ??-852ln 21 ； 6、1）548059R π 2）0 3）π3250 ； 7、??? ??
R 45,0,0 8、1）4
3
8
a 2）??
?
??2157,
0,0a 3）645112a ρ
（C ）
1、 解：令()10,++=y x y x f ，关键是求()y x f ,在D 上的最大值和最小值，在D 内部，
1=x f ，1=y f ，因此()y x f ,在D 内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作 ()()
410,22-++++=y x y x y x F λ
由方程组???
??=-+='=+='=+='040210
212
2y x F y F x F y x λ
λλ
解得驻点为
(
)2,2，()
2,2-，比较可得最小值2210-=m ，最大值为
2210+=M ，而D 的面积为π4，由估值定理得()()
258258+≤≤-ππI 。
2、解：()σd y x V ??Ω+=
23()?
?-+=y
a
y a
a
dx y x dy 232
3226235a dy a ay a a
=??? ?
?-=
?
3、解：区域D 和1D 如图所示，有
????
??+-=
D
D D D ydxdy
ydxdy ydxdy
1
1
42
2
1
==?
???-+ydy dx ydxdy D D
在极坐标系下，有()?
??
?
??≤≤≤≤=πθπ
θθ2,
sin 20,1r r D ，因此 ??
???=
=ππθ
ππθθθ2
4
sin 20
2
sin 38sin 1
rdr r d ydxdy D θθθππd ???????++-=
224cos 12cos 211282π=，于是24π-=??D
ydxdy 4、解：由已知的积分上、下限，可知积分域的不等式组为
?????-≤≤--≤≤y
x y y 3111
02
画出草图，如图，则
?=1
dx
I ()?-2
20
,x x dy y x f ()++??1
2
1
,dy y x f dx ()??-x
dy
y x f dx 30
3
2
,
5、解：由于绝对值符号内的函数在D 内变号，即当2x y ≥时，02≥-x y ；2x y <时，
02<-x y ，因此用曲线2x y =将D 分为
1D 和2D 两部分，如图所示：
??-=1
2D dxdy y x I ??-+2
2
D dxdy x y ??--=1
1
2
2
dy y x dx x ??--+112
22
x dy x y dx
()
dx y x x 2
01
12
3
232?-?????
?--=()dx x y x 2
1
123
2232?-??????-+()??-+=-1
023*********dx x dx x 64
3
916
+
=
π
6、解：平面区域D 可表示为：D ：?
?
?≤≤≤≤-11
1x y y
则 ()d x d y xe y I D y x ????????+=+22211()d x d y xye ydxdy D
y x D ????++=2
221 其中
()?????-=-=
=--D
y
dy y y dx dy ydxdy 32
11
1
1
1
1
()
()
????-++=
D
y
y x y x dxdy xe
ydy dxdy xye
11
1
2
12
1222
2()dy e e y y y ?-+??
????-=1
112
122
0= （被积函数是y 的奇函数）
所以 3
2-
=I 7、解法1：利用柱面坐标系，把Ω的边界曲面化为22r R z -=
，22r R R z --=，
它们的交线在xoy 平面上的投影方程为??
???==
023
z R r ，于是
???Ω
=
θrdzdrd z I 2??
?---=π
θ
20
2
30
2
2
22
2R r R r R R dz z
rdr
d
(
)
(
)dr r
R R r R r R ??????
?
----=2
30
3
2
22
3223
2
π
(
)
(
)
R r
R R Rr r R r R 2
30
2
3224232
522
4
3
25
232??????-+-+--
=π5480
59
R π=
解法2： 利用球面坐标，把Ω的边界化为球面坐标，得：R r =，?cos 2R r =，它们
的交线为圆 ??
?
??==3π?R r ，则
???
Ω
=
?2
2cos r I θ??d d r d r s i n 2? ???=
π
π
???θ20
3
4
2
sin cos
R
dr r d d ???+π
π
?
π
?
??θ20
3
cos 20
4
2
2
sin cos R dr r
d d
()233
53035cos 81252cos 3152π
π
π?π?π??? ??-+??? ??-=R R 5480
59R π= 解法3： “先二后一”的方法，用平行于xoy 的平面横截区域Ω，得
()(){}
(){}
?????-≤+--≤+=202222222,,z R y x y x R z R y x y x D z
R z R R z ≤≤≤≤2
20
故 ??????+=
2
2
2
2
R D R
R
D z
z
dr dz z dr dz z I ()
[]d z R z R z R ?--=
2
2
2
2
π()
d z z R
z R
R ?-+2
22
2π
???????
?????
??-+??? ??-=R
R R z z R z z R 2
53220545135142π5480
59R π= 8、解： 积分区域用不等式组表示为 Ω：??
?
??≤≤≤≤≤≤xy z y x x 011
0 则：
???=1
01
03
2
x xy
dz z xy dy dx I ??=101
6
541x
dy y dx x ()?-=1
0125281dx x x 3121= 9、解： 记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为原点o ，射线0op 为正x 轴，建立直角坐标
系，则点0p 的坐标为()0,0,R ，球面方程为2
2
2
2
R z y x =++
体密度为()()[]
222
,,z y R x k z y x ++-=μ
设Ω的重心坐标为()z y x ,,，由对称性0=y ，0=z
()[]()
[]d v
z y k x k dv
z y k x xk x ??????Ω
Ω
++-++-=
2
22
2
22
而
()
[]
[
]
dv k dv z y x dv z y k x ?????????Ω
Ω
Ω
+++=++-2222222
52002220
3
4
s i n 8
R dr r r d d R π??θπ
π
???
+?=553454R R ππ+==51532R π
()[]
??????Ω
Ω-=++-dv x R dv z y k x x 2
2222[]
d v z y x R ???Ω
++-=22232 6515
8
5432R R R ππ-=?-
= 故4R x -
=，因此，球体Ω的重心坐标为??
?
??-0,0,4R 10、解：记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则（1D ：()()[]z t h t h y x ?-≤+2222
1）
()
???
=1
D t h dxdy dz V ()()[]
()
()t h dz z t h t h t h 30
24
21π
π=?-=?
()
()
dxdy t h y x S D ??
++=2
22
2161 （2D ：()2
222t h y x ≤+） ()()()[]
()t h rdr r t h t h d t h 22
1
2220
20
12
13161πθπ
=+=?
? 由题意知 s dt dv 9.0-= 所以 ()1013-=dt t dh ，因此 ()C t t h +-=10
13 由()1300=h 得()13010
13
+-=t t h ，令()0→t h ，得()h t 100=
因此，高度为m 130的雪堆全部融化所需时间为h 100。
第十章 重积分练习题(答案)
1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.
§ 9 重积分习题与答案
第九章 重积分 A 1、 填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1）()=?? -dx y x f dy y y 10 2,______________________________________________ （2）()=??dx y x f dy y y 2 022,______________________________________________ （3）()=? ?dx y x f dy y 1 00,_______________________________________________ （4）()=?? ---dx y x f dy y y 1 1122 ,___________________________________________ （5） ()=?? dy y x f dx e x 1ln 0 ,______________________________________________ （6） ()()=?? ---dx y x f dy y y 40 42 1 4,________________________________________ 2）积分 dy e dx x y ? ?-2 2 2 的值等于__________________________________ 3)设(){} 10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D ??+=的 值则 。 4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2??+=与()σd y x I D 3 ??+=的大小________________________________ 5）设()??? ? ??≤ ≤≤ ≤=20,2 0,ππ y x y x D ，则积分()dxdy y x I D ??+-=2 sin 1 ___________________________________________ 6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ???Ω =xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________ =I 7）设Ω是由球面222y x z --= 与锥面22y x z +=的围面，则三重积分 dxdydz z y x f I ???Ω ++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为 2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值
不定积分例题及参考答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
重积分部分练习题
(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
9山东专升本高等数学第九章二重积分.
第九章二重积分 【考试要求】 1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义． 2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法． 【考试内容】 一、二重积分的相关概念 1．二重积分的定义 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域 ?σ1，?σ2，，?σn，其中?σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个?σi上任取一点 n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi?)σi i（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)?σii i=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存 在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作??f(x,y)dσ，即 D n iii??f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)?σ Dλ→0． i=1 其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)?σii i=1ni叫做积分和． 说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作 ??f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素． D 2．二重积分的几何意义 一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0， 的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果 而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的， D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差． 3．二重积分的性质 （1）设α、β为常数，则
高等数学(同济五版)第九章-重积分-练习题册
第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则
?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ?? ?? ? ????? +----=1 10 2210 10 2 2 101 02210 10221 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 2 2222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求
习题册重积分答案
第十章 总积分习题解答 第12次课 二重积分的概念及性质 1、 略 2、根据这三点可知区域： 2 120ln()10[ln()]ln() x y x y x y x y ≤+≤?<+
第13次课 二重积分的计算法 1、 （1）根据积分区域： 11,11x y -≤≤-≤≤ 1 1 22221 1 8 ()()3 D x y d dy x y dy σ--+=+=???? 或者：根据对称性质： 2222882()233D D D y d x y d x d σσσ==+==?????? （2）根据积分区域： 0000 cos()(sin 2sin )11(cos 2cos 2cos cos ) 22() 232 x xdx x y dy x x x dx x x xdx x x xdx π π π π π π π π ππ+=-=---+=-+=? ???? （3）根据积分区域 3 2 22 2 22 0235222 22 2 00 2(4)311264 (4)(4)(4)335 15 D xy d xdx y dy x x dy x d x x σ==-=- --=--= ??? ?? （4）根据对称性： 1:0,0,1D x y x y ≥≥+≤ 1 110 1 12200()4()4()14 4((1)(1))2(1)23 y D D x y dxdy x y dxdy dy x y dx y y y dy y dy -+=+=+=-+-=-= ?????? ?? P45
重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)
第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?
[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202
三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
二重积分练习题
二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分 (A) 1．填空题 (1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10< 第二十一章 重积分 5三重积分 一、三重积分的概念 引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ， 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i n i i i i T V f ?∑=→10 ),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i n i i i i V f ?∑=1 ),,(ζηξ. 定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有 J V f i n i i i i -?∑=1 ),,(ζ ηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z) 在V 上的三重积分，记作J=???V dV z y x f ),,(或J=???V dxdydz z y x f ),,(，其中 f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域. 注：当f(x,y,z)=1时，???V dV 在几何上表示V 的体积. 重积分习题参考答案 习题11－1 1.(,)D Q x y d μσ=??. 3.(1)0; (2)0; (3)124I =I 4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I . 5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤. 习题11－2(A) 1.(1)4 0(,)x dx f x y dy ??或240 4 (,)y y dy f x y dx ??； (2)122 2012 2 (,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy +????或2 122 012 2 (,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +????； (3)1 01(,)x dx f x y dy -?或1 1(,)y dy f x y dx -?； (4)2 2 4 (,)x x f x y dy -?或240 2 (,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +??. 2.(1)4 02 (,)x dx f x y dy ??; (2) 10 1(,)y dy f x y dx ?? ; (3)1 102(,)y dy f x y dx -??; (4) 1 (,)y e e dy f x y dx ? ?. 3.(1) 203; (2)32π-; (3)655; (4)64 15; (5)1e e -- 4.(1)92； (2)21122e e -+. 5.335 . 6.(1)20(cos ,sin )b a d f r r rdr πθθθ??； (2)2cos 20 2(cos ,sin )d f r r rdr π θ πθθθ- -??; (3)1 (cos sin )20 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθθθ-+??; 二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×） 二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序 三重积分练习题 1． 计算cos()I y x z dxdydz Ω = +???，Ω由抛物柱面y =，平面0,0,2 y z x z π ==+= 所围区域。（ 28 16 π-） 2． 计算I z dxdydz Ω =??? ，Ω由z =与22 3x y z +=围成。（134 π ） 3． 计算I Ω = ???，Ω为由2221x y z ++≤和z ≥区域。（ 20 π） 4． 已知()f x 连续，222()[()]F t z f x y dxdydz Ω =++???，222:0,z h x y t Ω≤≤+≤，求： ()F t '和2 0() lim t F t t + →。 5． 设Ω为平面1(0,0,0)x y z a b c a b c ++=>>>与三个坐标平面围成的四面体区域，求 (,,)I a b c z dxdydz Ω =???； 若又设a b c h ++=为定值，问,,a b c 怎样取值时，(,,)I a b c 最大，并求此最大值。（24 ,241536 a b c h ） 6． 将22()I f x y dxdydz Ω = +??? 化为球坐标下的三次积分，其中222:1,x y z Ω++≤ 0,0x y ≥≥。 7． 设()f u 具有连续导数，求2222 4 01lim t x y z t f dxdydz t π→++≤??? 。 （(0)f '，若(0)0f =；∞，若(0)0f ≠） 8． 计算22 ()I x y dxdydz Ω =+???，其中Ω为平面曲线 { 2 20 y z x ==绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域。（10243 π ） 9． 计算I Ω = ???，其中Ω为22,1,1y x z y =+==之间。 10．设222 {(,,)|1,0}x y z x y z x y z Ω=++≤++≥，计算三重积分： 重积分练习题 A 一、填空题 1. 2 22 x y R σ+≤=?? 3 23 R π； 2. 1 (1)x y x y d σ+≤++=?? 2； （对称性及积分性质3） 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 1 (,)(,)(,)x y f x y dx f x y dy f x y dy =+?，其中D 为 ,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域； 4. 改变积分次序 (1)2 120 (,)y y dy f x y dx -=?? 1 220 1 (,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+? ?? ； (2) 1 20 (,)x x dx f x y dx -=? ? 1 220 1 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+? ??? ； 5. 将二重积分 (,)D f x y d σ?? 转化为极坐标系下的两次单积分2cos 20 (cos ,sin )d f d π θ θρθρθρρ?? ，其中 D 为0,y y == 6. 将三重积分 (,,)f x y z dv Ω ??? 化为三次积分 1 10 (,,)x xy dx dy f x y z dz -? ? ?，其中Ω为z xy =， 1,0x y z +==所围成的封闭区域； 7. 将 三重积分 (,,)f x y z dv Ω ???化为柱面坐标系下的三次积 分 21 (cos ,cos ,)d d f z dz π ρ θρρρθρθ? ?，其中Ω 为z = ，z =所围成的封闭 区域. 二、计算题 1. 计算二重积分D xydxdy ??，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域； 解： 3321 21 1111()10ln 322 x x D xydxdy dx xydy x x dx x ==-=-??? ?? 2. 计算二重积分 ()D x y dxdy +??，其中D 是由,2,1y x y x y ===所围成的区域； 解：1 1 12200022 177 ()()()2824y y y y D x y dxdy dy x y dx x xy dy y dy +=+=+==?????? 3. 计算二重积分 D ，其中D : 22(1)1x y -+≤； 解：极坐标系下，由对称性 2cos 2 3220 01632 2cos 39 D d d d π πθ θρρθθ===?? ? 4. 计算二重积分 2211D xy dxdy x y +++??，其中D :221,0x y x +≤≥； 第九章 重积分 第六讲 三重积分、重积分应用习题课 教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活 的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算 教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及 各是如何化为三次积分． 教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程 一、知识回顾 1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标. (2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算 曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域 物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性. 二、练习 1．将I= zdv Ω ???分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下 的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面 z=2 2 2y x --及z=x 2+y 2 所围成的闭区域. 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标 平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及2 2y x z +=，而由这两个方程所组成的方 程组z z ?=?=? 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标 系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可． 解 将Ω投影到xoy 平面上， 由z z ?=?=?消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)， 或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2 =1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2 ≤1 ． 为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰 到的曲面为2 2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1) (1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积 分．因此再由D ：x 2+y 2 ≤1，有22y x z +=≤222y x z --= ，于是在直角坐标下，Ω 可表示为 Ω :22y x y z ??≤??+≤≤?， 于是有 I=??----2 2 111 1 x x dy dx ?--+2 22 22y x y x zdz . (2) 柱面坐标下 首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2 表示为z= 2ρ，z=2 22y x --表示为z=2 2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可 表示为 Ω：??? ? ???-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz 高等数学（2）第11章重积分典型例题解析 例1 填空 （1）根据二重积分的几何意义， ?? --D y x y x d d R 222= 。（其中 {}222),(R y x y x D ≤+=） （2）累次积分 ? ? x x y y x f x d ),(d 1 交换积分次序后，得到的积分为 。 （3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D (,)d d ??在直角 坐标系下化为累次积分的结果是 。 解（1）由二重积分的几何意义，?? --D y x y x d d R 222表示球心在圆点，半径为R 的 上半球体的体积，故为3 3 2 R π。 应该填写：3 3 2R π。 （2）由已知的累次积分，得积分区域为? ??≤≤≤≤x y x x 1 0，若变换积分次序，即先积x 后 积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是 y 的函数，因此积分区域应表为?? ?≤≤≤≤1 02y y x y ，于是交换后的积分为??y y x y x f y 2d ),(d 10。 应该填写： ? ?y y x y x f y 2 d ),(d 10 。 （3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式 组?? ?≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得???≤≤-≤≤-0 21 1y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以 可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填 ? ?--0 2 1 1 d ),(d x y x f y ，反之应填 d d x f x y y (,)--?? 2 1 1。 应该填写： d d x f x y y (,)--?? 2 01 1或??--02 1 1 d ),(d x y x f y 例2 单项选择 （1）二重积分 x x y x y 2 d d 14 22≤+≤??可表达为累次积分（ ）。 A. d d θθπr r 321 2 2cos ??； B. r r 321 2 2d d cos θθπ??； 《高等数学Ⅰ》练习题 系 专业 班 姓名 学号 6．1 二重积分（1） 一．选择题 1．设积分区域 D 是4122≤+≤y x ，则??D dxdy = [ B ] （A ） π （B ）3 π （C ）4 π （D ）15 π 2．设积分区域 D 是1≤+y x ，则??D dxdy = [ B ] （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 3．设平面区域 D 由1,21 =+=+y x y x 与两坐标轴所围成，若??+=D dxdy y x I 91)][ln(， ??+=D dxdy y x I 92)(，??+=D dxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ] （A ） 321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤ 4．设区域 D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则??D xydxdy ＝ [ D ] （A ） 41 （B ）81 （C ）121 （D ）24 1 二．填空题 1．设区域 D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 2 ??≤++≤D dxdy y x )1( 8 2．设 ??≤+++= 10||||22sin cos 100y x y x d I σ ，则I 的取值范围是≤≤I 2 3． 1 2 x dx xy dy ?? 三．计算题 1．设区域 D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求 ??-D dxdy x y xy )( 解：原式= 1 1 1 22 1 1 12 ()03 ----==? ?? dx xy x y dy xdx数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
重积分习题参考答案Word版
二重积分习题答案
三重积分练习题
重积分练习题及答案
[整理]三重积分重积分习题.
重积分典型例题解析
高等数学1第九章 重积分练习题答案