代数式单元测试与练习(word解析版)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．任何一个整数N，可以用一个的多项式来表示:
N= .
例如：325=3×102+2×10+5.
一个正两位数的个位数字是x，十位数字y．
（1）列式表示这个两位数；
（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的和能被11整除．
（3）已知是一个正三位数.小明猜想：“ 与的差一定是9的倍数。”请你帮助小明说明理由.
（4）在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数.
【答案】（1）解：10y+x
（2）解：根据题意得：10y+x+10x+y=11（x+y），则所得的数与原数的和能被11整除（3）解：∵ - =100a+10b+c-（100b+10c+a）=99a-90b-9c =9(11a-10b-c)，∴
与的差一定是9的倍数
（4）解：∵ + + + + + =3470+ ∴222（a+b+c）=222×15+140+ ∵100＜＜1000，∴3570＜222（a+b+c ）＜4470，∴16＜a+b+c≤20．尝试发现只有a+b+c=19，此时 =748成立，这个三位数为748．
【解析】【分析】（1）由已知一个正两位数的个位数字是x，十位数字y ，因此这个两位数是：十位上的数字×10+个位数的数字。
（2）根据题意将新的两位数和原两位数相加，再化简，即可得出结果。
（3）分别表示出两个三位数，再求出它们的差，就可得出它们的差是否为9的倍数。（4）根据题意求出a+b+c的取值范围，再代入数据进行验证即可。
2．民谚有云：“不到庐山辜负目，不食螃蟹辜负腹．”，又到了食蟹的好季节啦！
某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的92%优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的90%优惠；超过200千克的按零售价的88%优惠．B家的规定如下表：
数量范围（千克）0～50部
分
（含50）
50以上～150部分（含
150，不含50）
150以上～250部分（含
250，不含150）
250以上
部分
（不含
250）
________元；
（2）如果他批发x千克太湖蟹（150＜x＜200），则他在A家批发需要________元，在B 家批发需要________元（用含x的代数式表示）；
（3）现在他要批发170千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．【答案】（1）4968；4890
（2）54x；45x+1200
（3）解：当x=170时，
54x=54×170=9180，
45x+1200=45×170+1200=8850，
因为9180＞8850，所以他选择在B家批发更优惠
【解析】【解答】解：（1）A：90×60×92%=4968（元），B：50×60×95%+40×60×85%=4890（元）。
（ 2 ）A：60×90%x=54x，
B：50×60×95%+100×60×85%+（x-150）×60×75%=45x+1200.
【分析】（1）根据A、B两家的优惠办法分别列式求出在两家批发需要的费用。
（2）根据题意列式分别表示出在A、B两家批发x千克太湖蟹（150＜x＜200）所需的费用。
（3）将x=170分别代入（2）种表示的在A、B两家批发所需费用的两个式子计算，然后再比较大小即可。
3．从2012年4月1日起厦门市实行新的自来水收费阶梯水价，收费标准如下表所示：
②．以上表中的价格均不包括1元/吨的污水处理费
（1）某用户12月份用水量为20吨，则该用户12月份应缴水费是多少？
（2）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的式子表示该用户月所缴水费．
【答案】（1）解：该用户12月份应缴水费是15×2.2+5×3.3+20=69.5（元）
（2）解：①m≤15吨时，所缴水费为2.2m元，
②15＜m≤25吨时，所缴水费为2.2×15+（m﹣15）×3.3=（3.3m﹣16.5）元，
③m＞25吨时，所缴水费为2.2×15+3.3×（25﹣15）+（m﹣25）×4.4=（4.4m﹣110）元．【解析】【分析】（1）该用户12月份应缴水费三两部分构成：不超过15吨的水费+超过15吨不超过25吨的9吨的水费+20吨的污水处理费，列代数式求解即可。
（2）分①m≤15吨,②15
4．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收贵的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
价目表
每月用水量价格
不超过6m3的部分2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分4元/m3
超出10m3的部分6元/m3
5m3和8m3，则应收水费分别是________元和________元.
（2）若该户居民3月份用水量am3（其中6＜a≤10），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简）
（3）若该户层民4、5两个月共用水14m3（5月份用水量超过4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的式子表示，并化简）
【答案】（1）10；20
（2）解：由依题意得：6×2+（a﹣6）×4＝4a﹣12（元）
答：应收水费（4a﹣12）元。
（3）解：当0＜x≤4时，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4×4+6（14﹣x﹣10）＝52﹣4x；
当4＜x≤6，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4（14﹣x﹣6）＝﹣2x+44；
当6＜x＜7时，该户居民4、5两个月共缴水费＝12+4（x﹣6）+12+4（14﹣x﹣6）＝32.【解析】【解答】（1）解：该户居民1月份用水5m3，应缴水费＝5×2＝10（元）；
2月份用水8m3，应缴水费＝6×2+2×4＝20（元）；
故答案是：10；20
【分析】（1）①按照价目表可知，不超过6m3的用水量的水费=5×不超过6m3的用水量的价格计算即可求解；
②按照价目表可知，超过6m3的不超过10m3的用水量的水费=6×不超过5m3的用水量的价格+超过6m3的用水量×超过6m3的价格计算即可求解；
（2）由题意知，用水量属于第二档，按照（1）中②的方法可求解；
（3）结合（1）的方法，分类可求解.
5．已知x1， x2， x3，…x2016都是不等于0的有理数，若y1= ，求y1的值．
当x1＞0时，y1= = =1；当x1＜0时，y1= = =﹣1，所以y1=±1
（1）若y2= + ，求y2的值
（2）若y3= + + ，则y3的值为________；
（3）由以上探究猜想，y2016= + + +…+ 共有________个不同的值，在y2016这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于________．
【答案】（1）解：∵ =±1， =±1，
∴y2= + =±2或0
（2）±1或±3
（3）2017；4032
【解析】【解答】解：（2）∵ =±1， =±1， =±1，
∴y3= + + =±1或±3．
故答案为±1或±3，
（ 3 ）由（1）（2）可知，
y1有两个值，y2有三个值，y3有四个值，…，
由此规律可知，y2016有2017个值，
最大值为2016，最小值为﹣2016，
最大值与最小值的差为4032．
故答案分别为2017，4032．
【分析】（1）根据题意先求出=±1，=±1，就可求出y2的3个值。
（2）根据题意先求出=±1，=±1，=±1，分情况讨论求出y3的4个值。
（3）根据（1）（2）的规律，可知y2016就有2017个不同的值，最大值的和是2016个1相加，最小值的和是2016个-1相加，再求出它们的差即可。
6．已知：a、b、c满足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，请回答问题:
（1）请求出a、b、c的值；
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P 在线段BC上时，请化简式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（请写出化简过程）；
（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC=3PB?
【答案】（1）解：因为，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4. 因为
a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1. 综上所述，a=-1，b=1，c=4
（2）解：因为点P在线段BC上，b=1，c=4，所以 . 因为，所以x+1>0，， . 0时，；当时，
；当时， . 因此，当点P在线段BC上(即 )时，=
= = .
（3）解：设点P的运动时间为t秒. 因为点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，所以AP=2t. 因为点A对应的数为-1，点C对应的数为4，所以AC=4-(-1)=5. PB. 故点P不可能在点C的右侧. 因此，PC=AC-AP. 因为AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t. 分析本小题的题意，点P与点B的位置关系没有明确的限制，故本小题应该对以下两种情况分
别进行求解. ①点P在点B的左侧，如下图. 因为点A对应的数为-1，点B对应的数为1，所以AB=1-(-1)=2. 因为AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t. 因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t). 解这个关于t的一元一
次方程，得. ②点P在点B的右侧，如下图.
因为AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2. 因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2). 解这个关于t的一元一次方程，得 .
综上所述，当点P运动或秒时，PC=3PB.
【解析】【分析】（1）因|a+1|0;(c-4)20,所以由题意得a+1=0,c-4=0,即a=-1，c=4，所以
b=1.
（2）结合（1），由题意得，所以原式去绝对值化简得原式=x+1-(x-1)+2(4-x)=-
2x+10.
（3）结合（1），由题意得AP=2t，PC=5-2t；然后分情况讨论P在B点左右两侧两种情况。
7．某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，且在同一条公路上匀速行驶（速度保持不变）．为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标，并作如下约定：速度为正，表示汽车向数轴的正方向行驶；速度为
负，表示汽车向数轴的负方向行驶；速度为零，表示汽车静止．行程为正，表示汽车位于零千米的右侧；行程为负，表示汽车位于零千米的左侧；行程为零，表示汽车位于零千米处．两车行程记录如表：
（1）甲车开出7小时时的位置为________km，流动加油车出发位置为________km；
（2）当两车同时开出x小时时，甲车位置为________km，流动加油车位置为________km （用x的代数式表示）；
（3）甲车出发前由于未加油，汽车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶3小时，问：甲车连续行驶3小时后，能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由．
【答案】（1）-90；-80
（2）190﹣40x；﹣80+50x
（3）解：当x=3时，甲车开出的位置是：190﹣40x=70（km），
流动加油车的位置是：﹣80+50x=70（km），
则甲车能立刻获得流动加油车的帮助
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
甲车开出7小时时的位置为：190﹣7×（200÷5）=﹣90（km），
流动加油车出发位置为：270﹣（270﹣170）÷2×7=﹣80（km）；
故答案为：﹣90，﹣80；
⑵根据题意得：
当两车同时开出x小时时，甲车位置为：190﹣40x，
流动加油车位置为：﹣80+50x；
【分析】（1）根据题意可知甲车开出5小时时的位置为-10，得到甲车的速度是（190+10）÷5，求出甲车开出7小时时的位置；根据流动加油车出发5小时的位置是170和出发7小时的位置是270，得到流动加油车的速度是（270-170）÷2；求出流动加油车出发的位置；（2）根据题意当两车同时开出x小时时，甲车位置是190﹣40x，流动加油车位置是﹣80+50x；（3）根据题意当x=3时，甲车开出的位置是70km，流动加油车的位置是70km，得到甲车能立刻获得流动加油车的帮助.
8．如图，正方形ABCD与正方形BEFG，且A，B，E在一直线上，已知AB=a，BE=b（b＜a）．
（1）用a、b的代数式表示△ADE的面积．
（2）用a、b的代数式表示△DCG的面积．
（3）用a、b的代数式表示阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，A，B，E在一直线上，
∴AB=AD=a，∠A=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=AB+BE=a+b，
∴S△ADE= AD·AE=
（2）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，
∴AB=DC=BC=a，∠C=90°，BG=BE=b，
∴CG=BC-BG=a-b，
∴S △DCG= DC·CG=
（3）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，
∴S正方形ABCD+S正方形BEFG= .
又∵S△ADE= ，S△DCG= ，S△EFG= EF·FG= ，
∴S阴影= -S△ADE-S△GEF-S△CDG
=
= .
【解析】【分析】（1）根据题意可得△ADE的两直角边AD、AE，再由三角形的面积公式求出即可；
（2）先求出CG=BC-BG=a-b，再根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分别求出△ADE、△EFG、△DCG的面积和两个正方形的面积，即可得出阴影部分的面积.
9．如图所示，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a=﹣2，|b|=0，（c﹣12）2与|d﹣18|互为相反数．
（1）b=________；c=________；d=________．
（2）若A、B两点以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、C两点相遇？
（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使得B与D的距离是C与D的距离的3倍？若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）0；12；18
（2）解：当运动时间为t秒时，点A对应的数为2t﹣2，点C对应的数为12﹣t，
根据题意得：2t﹣2=12﹣t，
解得：t= ．
答：t为时，A、C两点相遇
（3）解：假设存在，当运动时间为t秒时，点B对应的数为2t，点C对应的数为12﹣t，点D对应的数为18﹣t，
∵点B在点D的右侧，且B与D的距离是C与D的距离的3倍，
∴2t﹣（18﹣t）=3[（18﹣t）﹣（12﹣t）]，
解得：t=12．
答：存在时间t，使得B与D的距离是C与D的距离的3倍，此时t的值为12
【解析】【分析】（1）∵|b|=0，（c﹣12）2与|d﹣18|互为相反数∴（c﹣12）2+|d﹣18|=0，∴b=0，c=12，d=18．
故答案为：0；12；18；
（2）左减右加，t秒后A表示的数是-2+2t,即2t-2,类似的，C点t秒后表示的数为12-t，相遇时即两个点重合，表示同一个数，即2t﹣2=12﹣t；
（3）两点之间的距离等于表示点的数的差（大减小）.
10．如图，将连续的奇数1，3，5，7……排成如下的数表，用十字形框框出5个数．
（1）探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为________，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数n（n＞1）的倍数，这个正整数n是________；
（2）探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是21，39，57，75，…，则这一组数可以用整式表示为18m+3（m为序数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为________；（用含m的式子表示）
（3）运用规律一：已知被十字框框中的五个奇数的和为2025，则十字框中间的奇数是________，这个奇数落在从左往右第________列；
（4）运用规律二：被十字框框中的五个奇数的和可能是2020吗？若能，请求出这五个数：；若不能，请说明理由.
【答案】（1）5x；5
（2）（18m+5）
（3）405；五
（4）这五个数为404、402、406、396、422．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，
设十字框中间的奇数为x，则框中其它五个奇数为：
x﹣2，x+2，x﹣18，x+18．
∴x+x﹣2+x+2+x﹣18+x+18＝5x，
五个奇数的和一定是正整数n（n＞1）的倍数，这个正整数n是5．
故答案为：5x、5．
2）因为第二列的一组奇数是21，39，57，75，…
21＝1×18+3
39＝2×18+3
57＝3×18+3
75＝4×18+3
∴这一组数可以用整式表示为18m+3（m为序数）．
∴落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为（18m+5）．
故答案为：（18m+5）.
3）根据题意，得
5x＝2025
解得：x＝405
∴十字框中间的奇数是405．
∵18m+9＝405，解得：m＝22，
∴405这个奇数落在从左往右第五列．
故答案为：405、五；
4）十字框框中的五个奇数的和可以是2020．理由如下：
5x＝2020
解得：x＝404，
∴x﹣2＝402，x+2＝406，x﹣18＝396，x+18＝422．
答：这五个数为：404、402、406、396、422．
【分析】（1）根据表中数据规律即可列出代数式进而求解；（2）根据第二列的一组奇数的规律即可写出第三列的一组奇数的规律；（3）根据探究规律一和探究规律二所得代数式即可求解；（4）根据探究规律一所得代数式列方程即可求解．
11．某市居民使用自来水接如下标准收费(水费按月缴纳)
户月用水量单价
不超过10m3的部分2元／m3
超过10m3但不超过18m3的部分3元／m3
超过18m3的部分4元／m3
（1）某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费}
（2）设某户月用水量为"n”立方米，当n>18时，求该用户应缴纳的水费(用含n的代数式表示)}
（3）甲、乙两用户一个月共用水36m3。已知甲用户缴纳的水费超过了20元。设甲用户这个月用水xm3，直接写出甲、乙两用户一个月共缴纳的水费(用含x的代数式表示)．
【答案】（1）解：∵25＞18
∴10×2+3×（18-10）+4×（25-18）
=20+24+28
=72
答：某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费为72元；
（2）解：∵n＞18
∴10×2+3×8+4（n-18）
=20+24+4n-72
=4n-28
答：当n>18时，求该用户应缴纳的水费4n-28；
（3）解：∵甲、乙两用户一个月共用水36m3。已知甲用户缴纳的水费超过了20元
∴x＞10
当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：
20+3（x-10）+2×10+3×8+4（36-x-18）
=20+3x-30+20+24+72-4x
=106-x
当x＞18，0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：
44+4（x-18）+2（36-x）
=44+4x-72+72-2x
=2x+44
当x＞18，10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：
44+4（x-18）+20+3（36-x-10)
=44+4x-72+20+78-3x
=x+70
答：
当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：106-x；
当x＞18，则0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：2x+44；
当x＞18，则10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：x+70；
【解析】【分析】（1）利用表中数据，根据用户用水量，列式计算可求解。
（2）利用表中数据，根据用户用水量n＞18，列式化简可求解。
（3）由题意分情况讨论：当10＜x≤18时，则36-x＞18时；当x＞18，则0＜36-x＜10时；当x＞18，则10＜36-x＜18时，分别列式化简，可得出答案。
12．小明拿扑克牌若干张变魔术，将这些扑克牌平均分成三份，分别放在左边，中间，右边，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中，第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中，第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中，使左边的扑克牌张数是最初的2倍．
（1）如一开始每份放的牌都是8张，按这个规则魔术，你认为最后中间一堆剩________张牌？
（2）此时，小慧立即对小明说：“你不要再变这个魔术了，只要一开始每份放任意相同张数的牌（每堆牌不少于两张），我就知道最后中间一堆剩几张牌了，我想到了其中的奥秘！”请你帮小慧揭开这个奥秘．（要求：用所学的知识写出揭秘的过程）
【答案】（1）1
（2）解：不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，按这样的游戏规则：第一次：左边，中间，右边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+2）张，x张；第二次：左边，中间，右
边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+3）张，（x-1）张，第三次：若中间一堆中拿y张扑克牌到左边，此时左边有（x-2）+y=2x张；即：y=2x-（x-2）=（x+2）张，所以，这时中间一堆剩（x+3）-y=（x+3）-（x+2）=1张扑克牌，所以，最后中间一堆只剩1张扑克牌．【解析】【解答】解：（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，由题意列等式的x-2+y=2x，
解得y=x+2，
即y是x的一次函数，
当x=8时，y=10，
把x=8，y=10代入x+2-y+1=1．
最后中间一堆剩1张牌，
故答案为：1；
【分析】（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中左边一堆剩x-2张，第二次左边的牌的数量没有发生变化，第三次从中间一堆中拿出y张放在左边一堆中，左边一堆中共有（x-2+y）张，又第三次后左边的扑克牌张数是最初的2倍．从而列出方程，然后举哀那个x=8代入即可算出y 的值，进而即可得出答案；
（2）不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，分别写出第一次，第二次，第三次左边、中间、右边的牌的数量，然后根据题意列出方程，求解即可。