2019年甘肃省武威市中考数学真题--含解析

2019年甘肃省武威市中考试题解析

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（2019甘肃武威，1，3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为()

【答案】C

【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；

B、该几何体为四棱锥，不符合题意；

C、该几何体为三棱柱，符合题意；

D、该几何体为圆柱，不符合题意．

故选C．

【知识点】立体图形

2.（2019甘肃武威，2，3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是1-，那么点B表示的数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】利用数轴结合A，B点位置,得若点A表示的数是1-，则B表示的数是3．

故选D．

【知识点】数轴

3.（2019甘肃武威，3，3分）下列整数中，与10最接近的整数是()

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】∵239

<<，∵10与9的距离小于16与10的距离，

=，2416

=，∴3104

∴与10最接近的是3．故选A．

【知识点】无理数大小的估算

4.（2019甘肃武威，4，3分）华为20

Mate手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是

0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( ) A ．7710-?

B ．80.710-?

C ．8710-?

D ．9710-?

【答案】D

【解析】由科学记数法知的定义，得90.000000007710-=?，故选D ． 【知识点】科学记数法-表示较小的数

5. （2019甘肃武威，5，3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )

A ．平移变换

B ．相似变换

C ．旋转变换

D ．对称变换

【答案】B.

【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选B ． 【知识点】几何变换

6.（2019甘肃武威，6，3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )

A ．180?

B ．360?

C ．540?

D ．720?

【答案】C

【解析】根据多边形内角和公式(2)180n -??，得黑色正五边形的内角和为：(52)180540-??=?，故选C ．

【知识点】多边形内角和与外角和

7. （2019甘肃武威，7，3分）不等式293(2)x x ++…的解集是( ) A ．3x ? B ．3x -? C ．3x … D ．3x -…

【答案】A

【解析】解：去括号，得2936x x ++…

， 移项，合并得3x --… 系数化为1，得3x ?， 故选A ．

【知识点】解一元一次不等式

8. （2019甘肃武威，8，3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

【答案】B 【解析】解：

x y

x y x y

-

-+ ()()

()()()()

x x y y x y x y x y x y x y +-=

-

-+-+ 22

()()x xy xy y x y x y +-+=

-+ 22

2

2

x y x y +=-． 故从第②步开始出现错误， 故选B ．

【知识点】分式的加减

9.（2019甘肃武威，9，3分）如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则

ASB ∠的度数是( )

A ．22.5?

B ．30?

C ．45?

D ．60?

【答案】C

【解析】解：设圆心为O ，连接OA 、OB ，如图， ∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍， 即2AB OA =， ∴222OA OB AB +=，

∴OAB ?为等腰直角三角形，90AOB ∠=?， ∴1452

ASB AOB ∠=∠=?， 故选C ．

【知识点】圆周角定理

10. （2019甘肃武威，10，3分）如图①，在矩形ABCD 中，AB AD <，对角线AC ，BD 相交于点

O ，动点P 由点A 出发，沿AB BC CD →→向点D 运动．设点P 的运动路程为x ，AOP ?的面积为y ，

y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AD 边的长为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】B

【解析】解：当P 点在AB 上运动时，AOP ?面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，AOP ?面积最大为3．

∴

11

322

AB =g ，即12AB BC =g

． 当P 点在BC 上运动时，AOP ?面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，AOP ?面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，

7AB BC ∴+=．

则7BC AB =-，代入12AB BC =g ，得27120AB AB -+=，解得4AB =或3， 因为AB AD <，即AB BC <， 所以3AB =，4BC =．

故选B ．

【知识点】动点问题的函数图象

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. （2019甘肃武威，11，4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0,2)-，“马”位于点(4,2)-，则“兵”位于点 ．

【答案】(1,1)

-．

【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于(1,1)

-．

故答案为：(1,1)

-．

【知识点】点的坐标

12.（2019甘肃武威，12，4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：

实验者德g摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基

掷币次数6140 4040 10000 36000 80640

出现“正面朝上”的次数3109 2048 4979 18031

39699

频率0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为．（精确到0.1)【答案】【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，

所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．

故答案为0.5．

【知识点】利用频率估计概率

13.（2019甘肃武威，13，4分）因式分解：24

xy x

-=．

【答案】(2)(2)

x y y

+-

【解析】解：24

xy x

-2

(4)

x y

=-(2)(2)

x y y

=+-．

【知识点】因式分解

14. （2019甘肃武威，14，4分）关于x 的一元二次方程210x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的取值为 ． 【答案】4

【解析】解：由△224()40b ac m =-=-=得4m =,故答案为4． 【知识点】根的判别式

15. （2019甘肃武威，15，4分）将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 ． 【答案】2(2)1y x =-+

【解析】解：22245441(2)1y x x x x x =-+=-++=-+， 所以2(2)1y x =-+． 故答案为2(2)1y x =-+．

【知识点】二次函数的三种形式

16.（2019甘肃武威，16，4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．

【答案】42π-． 【解析】解：如图：

新的正方形的边长为112+=，∴恒星的面积22242ππ=?-=-． 故答案为42π-．

【知识点】扇形面积

17. （2019甘肃武威，17，4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰ABC ?中，80A ∠=?，则它的特征值k = ． 【答案】85

或14

【解析】解：①当A ∠为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：

18080502

?-?

=?，

∴特征值808

505

k ?=

=? ②当A ∠为底角时，顶角的度数为：180808020?-?-?=? ∴特征值201

804k ?=

=? 故答案为85

或14

【知识点】等腰三角形的性质

18. （2019甘肃武威，18，4分）已知一列数a ，b ，a b +，2a b +，23a b +，35a b +，??，按照这个规律写下去，第9个数是 ． 【答案】1321a b +

【解析】解：由题意知第7个数是58a b +，第8个数是813a b +，第9个数是1321a b +， 故答案为1321a b +． 【知识点】规律探索

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，各小题都必须写出解答过程）

19.（2019甘肃武威，19，6分）计算：20(2)|22|2cos 45(3)π----?+-

【思路分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【解题过程】解： 20(2)|22|2cos 45(3)π----?+-，

2

4(22)212

=---?

+， 42221=-+-+，

3=．

【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；绝对值

20. （2019甘肃武威，20，6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

【思路分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．

【解题过程】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意， 得1220112

1220144

y x x y +=??

+=?，

解得2

6x y =??

=?

， 答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．

【知识点】二元一次方程组的应用

21. （2019甘肃武威，21，8分）已知：在ABC ?中，AB AC =．

（1）求作：ABC ?的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若ABC ?的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，6BC =，则O S =e ．

【思路分析】（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作O e ，

O e 即为所求．

（2）在Rt OBE ?中，利用勾股定理求出OB 即可解决问题． 【解题过程】解：（1）如图，O e 即为所求．

（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ． 由题意4OE =，3BE EC ==， 在Rt OBE ?中，22345OB =+=， ∴2525O S ππ=?=圆． 故答案为25π．

【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心

22. （2019甘肃武威，22，8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂40AC cm =，灯罩30CD cm =，灯臂与底座构成的60CAB ∠=?．CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30?时，台灯光线最佳．现测得点D 到桌面的距离为

49.6cm ．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取1.73)．

【思路分析】如图，作CE AB ⊥于E ，DH AB ⊥于H ，CF DH ⊥于F ．解直角三角形求出DCF ∠即可判断．

【解题过程】解：如图，作CE AB ⊥于E ，DH AB ⊥于H ，CF DH ⊥于F ．

∵90CEH CFH FHE ∠=∠=∠=?， ∴四边形CEHF 是矩形， ∴CE FH =，

在Rt ACE ?中，∵40AC cm =，60A ∠=?，

sin6034.6CE AC ∴=?=g .，

34.6()FH CE cm ∴==

49.6.DH =Q ，

49.634.615(cm)DF DH FH ∴=-=-=，

在Rt CDF ?中，151

sin 302

DF DCF CD ∠===， ∴30DCF ∠=?，

∴此时台灯光线为最佳．

【知识点】解直角三角形及其应用

23. （2019甘肃武威，23，10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会” )于4

月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．

（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？

（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．

【思路分析】（1）由概率公式即可得出结果；

（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．

【解题过程】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，

∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是1

4

；

（2）画树状图分析如下：

共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，

∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为41

164

=．

【知识点】概率

24.（2019甘肃武威，24，8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：

收集数据：

七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：

4049

x

剟5059

x

剟6069

x

剟7079

x

剟8089

x

剟90100

x

剟

七年级0 1 0 a7 1

八年级 1 0 0 7 b 2

分析数据：

平均数 众数 中位数

七年级 78 75

c

八年级 78

d

80.5

应用数据：

（1）由上表填空：a = ，b = ，c = ，d = ．

（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．

【思路分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）答案不唯一，合理均可．

【解题过程】解：（1）由题意知11a =，10b =，

将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数7779

782

c +=

=， 八年级成绩的众数81d =， 故答案为：11，10，78，81；

（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有12

12009040

+?=（人)； （3）八年级的总体水平较好，

∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，

∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）． 【知识点】算术平均数；中位数；众数; 频数（率)分布表

25. （2019甘肃武威，25，10分）如图，已知反比例函数(0)k y k x

=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3)A ，(3,1)B 两点 （1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）已知点(P a ，0)(0)a >，过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y x b =-+的图象于点M ，交反比例函数k

y x

=上的图象于点N ．若PM PN >，结合函数图象直接写出a 的取值范围．

【思路分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．

【解题过程】解：（1）Q 反比例函数(0)k y k x

=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于

(1,3)A ，(3,1)B 两点， 31

k

∴=

，31b =-+， 3k ∴=，4b =，

∴反比例函数和一次函数的表达式分别为3y x

=，4y x =-+； （2）由图象可得：当13a <<时，PM PN >． 【知识点】反比例函数与一次函数的交点

26.（2019甘肃武威，26，10分）如图，在ABC ?中，AB AC =，120BAC ∠=?，点D 在BC 边上，D e 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ． （1）求证：AC 是D e 的切线； （2）若23CE =，求D e 的半径．

【思路分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到30B C ∠=∠=?，30BAD B ∠=∠=?，求得

60ADC ∠=?，根据三角形的内角和得到180603090DAC ∠=?-?-?=?，于是得到AC 是D e 的切线；

（2）连接AE ，推出ADE ?是等边三角形，得到AE DE =，60AED ∠=?，求得30EAC AED C ∠=∠-∠=?，得到23AE CE ==，于是得到结论． 【解题过程】解：（1）证明：连接AD ，

AB AC =Q ，120BAC ∠=?，

30B C ∴∠=∠=?，

AD BD =Q ，

30BAD B ∴∠=∠=?， 60ADC ∴∠=?，

180603090DAC ∴∠=?-?-?=?， AC ∴是D e 的切线；

（2）解：连接AE ，

AD DE =Q ，60ADE ∠=?， ADE ∴?是等边三角形， AE DE ∴=，60AED ∠=?，

30EAC AED C ∴∠=∠-∠=?， EAC C ∴∠=∠， 23AE CE ∴==，

D ∴e 的半径23AD =．

【知识点】等腰三角形的性质; 等边三角形的判定和性质; 切线的判定与性质

27. （2019甘肃武威，27，10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边ABC ?中，M 是BC 边上一点（不含端点B ，)C ，N 是ABC ?的外角ACH ∠的平分线上一点，且AM MN =．求证：60AMN ∠=?．

点拨：如图②，作60CBE ∠=?，BE 与NC 的延长线相交于点E ，得等边BEC ?，连接EM ．易证：

()ABM EBM SAS ???，可得AM EM =，12∠=∠；又AM MN =，则EM MN =，可得34∠=∠；由314560∠+∠=∠+∠=?，进一步可得125∠=∠=∠，又因为26120∠+∠=?，所以56120∠+∠=?，即：60AMN ∠=?．

问题：如图③，在正方形1111A B C D 中，1M 是11B C 边上一点（不含端点1B ，1)C ，1N 是正方形1111A B C D 的外角111D C H ∠的平分线上一点，且1111A M M N =．求证：11190A M N ∠=?．

【思路分析】延长11A B 至E ，使111EB A B =，连接1EM C 、1EC ，则111EB B C =，11EB M ∠中11190A B M =?=∠，得出△11EB C 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出111145B EC B C E ∠=∠=?，证出11111180B C E M C N ∠+∠=?，得出E 、1C 、1N ，三点共线，由SAS 证明△111A B M ?△11EB M 得出111A M EM =，12∠=∠，得出111EM M N =，由等腰三角形的性质得出34∠=∠，证出125∠=∠=∠，得出5690∠+∠=?，即可得出结论．

【解题过程】解：延长11A B 至E ，使111EB A B =，连接1EM C 、1EC ，如图所示：

则111EB B C =，11EB M ∠中11190A B M =?=∠，

∴△11EB C 是等腰直角三角形，

111145B EC B C E ∴∠=∠=?，

1N Q 是正方形1111A B C D 的外角111D C H ∠的平分线上一点， 1119045135M C N ∴∠=?+?=?， 11111180B C E M C N ∴∠+∠=?，

E ∴、1C 、1N ，三点共线，

在△111A B M 和△11EB M 中，111

11111

11

11A B EB A B M EB M B M B M

=??∠=∠??=?，

∴△111A B M ?△11()EB M SAS ，

111A M EM ∴=，12∠=∠， 1111A M M N =Q ， 111EM M N ∴=，

34∴∠=∠，

2345∠+∠=?Q ，4545∠+∠=?， 125∴∠=∠=∠， 1690∠+∠=?Q ， 5690∴∠+∠=?，

1111809090A M N ∴∠=?-?=?．

【知识点】矩形 菱形 正方形；

28. （2019甘肃武威，28，12分）如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ． （1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时

PN 有最大值，最大值是多少？

【思路分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分AC AQ =、AC CQ =、CQ AQ =三种情况，分别求解即可； （3）由2211

sin (44)233

PN PQ PQN m m m =∠=

-+++-即可求解． 【解题过程】解：（1）由二次函数交点式表达式得：2(3)(4)(12)y a x x a x x =+-=--， 即：124a -=，解得：13

a =-， 则抛物线的表达式为21143

3y x x =-++； （2）存在，理由：

点A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)-、(4,0)、(0,4)， 则5AC =，7AB =，42BC =，45OAB OBA ∠=∠=?，

将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y kx b =+并解得：4y x =-+?①， 同理可得直线AC 的表达式为：443

y x =+，

设直线AC 的中点为3(2M -，4)，过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34

-， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：3

74

8

y x =-+?②， ①当AC AQ =时，如图1，

则5AC AQ ==，

设：QM MB n ==，则7AM n =-，

由勾股定理,得22(7)25n n -+=，解得3n =或4（舍去4)， 故点(1,3)Q ；

②当AC CQ =时，如图1，

5CQ =，则425BQ BC CQ =-=-，

则852

2

QM MB -==， 故点52(

2Q ，852

)2

-； ③当CQ AQ =时， 联立①②并解得：25

2

x =

（舍去）； 故点Q 的坐标为：(1,3)Q 或52(

2，852

)2

-； （3）设点211(,4)3

3

P m m m -++，则点(,4)Q m m -+，

OB OC =Q ，45ABC OCB PQN ∴∠=∠=?=∠，

22211272

sin (44)23366

PN PQ PQN m m m m m =∠=-+++-=-+， 2

06-

m =时，PN 的最大值为：

492

24

． 【知识点】二次函数的解析式；勾股定理；一元二次方程；分类讨论