苏科版八年级下册数学期中试卷(带答案)-百度文库
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一、选择题
1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，5AB =，6AC =，过D 作
AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则BDE ?的面积为（ ）
A ．22
B ．24
C ．48
D ．44 2．平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线可以是（ ） A ．6和12
B ．6和10
C ．6和8
D ．6和6
3．下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，四边形ABCD 是菱形，AC =8，DB =6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于（ ）
A ．
245
B ．
125
C ．5
D ．4
5．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在菱形ABCD 中，12AC =，16BD =，则该菱形的面积是（ ） A ．10 B ．40
C ．96
D ．192
7．若分式5
x x
-的值为0，则（ ） A ．x ＝0
B ．x ＝5
C ．x ≠0
D ．x ≠5
8．下列分式中，属于最简分式的是( ) A ．
62a
B ．
2x x
C ．
11
x
x -- D ．
2
1
x x + 9．下面调查方式中，合适的是（ ）
A ．试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式
B ．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式
C ．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式
D ．调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式
10．从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（ ） A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
二、填空题
11．如图，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C ，A’B’交AC 于点D ，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
12．如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若BC=6，则DE= ．
13．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．
14．如图，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝3，M 、N 分别是AC 和BD 的中点，则MN 的长度_____．
15．在函数y ＝
1
x
x 中，自变量x 的取值范围是_____．
16．根据某商场2019年四个季度的营业额绘制成如图所示的扇形统计图，其中二季度的营业额为800万元，则该商场全年的营业额为________万元．
17．若点A （﹣4，y 1），B （﹣2，y 2）都在反比例函数1
y x
=-的图象上，则y 1，y 2的大小关系是y 1_____y 2． 18．若分式方程
211x m x x
-=--有增根，则m ＝________. 19．如图，E 、F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝1，则四边形BEDF 的周长是_____．
20．已知1x ，2x ，…，10x 的平均数是a ；11x ，12x ，…，30x 的平均数是b ，则
1x ，2x ，…，30x 的平均数是_________．
三、解答题
21．某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数分布直方图和频数、频率分布表．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
分组49.5～
59.5
59.5～
69.5
69.5～
79.5
79.5～
89.5
89.5～
100.5
合
计
频
数
2a2016450
频
率
0.040.160.400.32b1
（1）频数、频率分布表中a=，b=；
（2）补全频数分布直方图；
（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少．
22．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB
边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
23．（方法回顾）
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP 于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝．
（问题解决）
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
（思维拓展）
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为．（用含m的式子表示）
24．为更有效地开展“线上教学”工作，某市就学生参与线上学习的工具进行了电子问卷调查，并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为度；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连结OE，求OE的长．
26．商店把进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60%，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？
27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD=2:3:4，
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
S=160cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A (2)已知ABC
运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t(秒)，
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
28．发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且(),,BC a AB c a c ==>．
（1）填空：当点A 位于 上时，线段AC 的长取得最小值，且最小值为 （用含,a c 的式子表示）
（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，且3,1BC AB ==，分别以,AB AC 为边，作等腰直角ABD ?和等腰直角ACE ?，连接,CD BE ． ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出BE 长的最小值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()10,0，点P 为线段AB 外一动点，且2,,PA PM PB ==60BPM ?∠=，请直接写出AM 长的最小值及此时点P 的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
先判断出四边形ACED 是平行四边形，从而得出DE 的长度，根据菱形的性质求出BD 的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE 是直角三角形，计算出面积即可. 【详解】
解：∵AD ∥BE ，AC ∥DE ， ∴四边形ACED 是平行四边形， ∴AC=DE=6，
在RT△BCO中，BO=224
AB AO
-=，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=1
24 2
DE BD
?=．
故答案为B.
【点睛】
此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OB与OC的长，然后根据三角形的三边关系，即可求得答案．
【详解】
解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=1
2
AC，OB=OD=
1
2
BD，
若BC=8，
根据三角形三边关系可得：|OB-OC|＜8＜OB+OC．
A、6和12，则OB+OC=3+6=9＞8，OB-OC=6-3=3＜8，能组成三角形，故本选项符合题意；
B、6和10，则OB+OC=3+5=8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、6和8，则OB+OC=3+4=7＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、6和6，则OB+OC=3+3=6＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与三角形三边关系，解题的关键是注意掌握平行四边形的对角线互相平分，注意三角形三边关系知识的应用．
3．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形绕着对称中心旋转180°与原来的图形重合求解即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，本选项不合题意要；
C、不是中心对称图形，本选项不合题意；
D、是中心对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形的判断选择的知识.记住中心对称图形绕着对称中心旋转180°与原来的图形重合的特点，是解答本题的关键.
4．A
解析：A
【分析】
根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，设AB,CD交于O点，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝22
34
＝5，
∵S菱形ABCD＝1
2
×AC×BD＝AB×DH，
∴1
2
×8×6＝5×DH，
∴DH＝24
5
，
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝1
2
×AC×BD＝
AB×DH是解此题的关键．5．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】
A 、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
B 、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
C 、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D 、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．C
解析：C 【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，12AC =，12BD =， ∴菱形ABCD 的面积11
12169622
AC BD =??=??=. 故选：C ． 【点睛】
本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
7．B
解析：B 【分析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0，进而得出答案． 【详解】 解：∵分式
5
x x
-的值为0， ∴x ﹣5＝0且x ≠0， 解得：x ＝5. 故选：B ． 【点睛】
本题考查了分式，掌握“分式值为0”时的做题方法及分式有意义的条件是解题关键．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据最简分式的概念判断即可． 【详解】 解：A. 6
2a
分子分母有公因式2，不是最简分式； B. 2
x
x 的分子分母有公因式x ，不是最简分式； C. 11
x
x --的分子分母有公因式1-x ，不是最简分式; D.
2
1x
x +的分子分母没有公因式，是最简分式． 故选：D
【点睛】
本题考查的是最简分式，需要注意的公因式包括因数．
9．C
解析：C 【分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】
A 、试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，零部件很重要，应全面检查；
B 、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查；
C 、为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，适合采用普查方式；
D 、调査某新型防火材料的防火性能，适合抽样调查． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数． 【详解】
由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数． 故选(C) 【点睛】
本题考查统计量的选择，解题的关键是区分平均数、中位数、众数和方差的概念与意义进行解答；
二、填空题
11．【详解】
试题分析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C ∴∠ACA’=35°，∠A =∠A’，.
∵∠A’DC=90°，
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
考点：1
解析：【详解】
试题分析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C
∴∠ACA’=35°，∠A =∠A’，.
∵∠A’DC=90°，
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.
12．3
【分析】
先判断DE是△ABC的中位线，从而得解．
【详解】
因为点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE=BC=3．
故答案为3.
考点：三角形的中
解析：3
【分析】
先判断DE是△ABC的中位线，从而得解．
【详解】
因为点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE=1
2
BC=3．
故答案为3.
考点：三角形的中位线定理．13．．
【解析】
试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得
∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠
20．
解析：0
【解析】
试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，
∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出
∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．
14．2
【分析】
连接并延长DM交AB于E，证明△AME≌△CMD，根据全等三角形的性质得到AE＝CD＝3，DM＝ME，求出BE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
连接并延长DM交AB于E，
解析：2
【分析】
连接并延长DM交AB于E，证明△AME≌△CMD，根据全等三角形的性质得到AE＝CD＝3，DM＝ME，求出BE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
连接并延长DM交AB于E，
∵AB ∥CD ， ∴∠C ＝∠A ， 在△AME 和△CMD 中，
A C AM CM
AME CMD ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△AME ≌△CMD （ASA ） ∴AE ＝CD ＝3，DM ＝ME ， ∴BE ＝AB ﹣AE ＝4， ∵DM ＝ME ，DN ＝NB ， ∴MN 是△DEB 的中位线， ∴MN ＝
1
2
BE ＝2， 故答案为：2． 【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．x≠﹣1 【分析】
根据分母不能为零，可得答案． 【详解】 解：由题意，得 x+1≠0， 解得x≠﹣1， 故答案为：x≠﹣1． 【点睛】
本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题式子有意义，必
解析：x≠﹣1 【分析】
根据分母不能为零，可得答案． 【详解】 解：由题意，得
x+1≠0，
解得x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
【点睛】
本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于0．
16．000
【分析】
用1减去其他季度所占的百分比即可得到二季度所占的百分比，再用800除以它所占的百分比，即可求得商场全年的营业额．
【详解】
解：扇形统计图中二季度所占的百分比=1-35%-25%-
解析：000
【分析】
用1减去其他季度所占的百分比即可得到二季度所占的百分比，再用800除以它所占的百分比，即可求得商场全年的营业额．
【详解】
解：扇形统计图中二季度所占的百分比=1-35%-25%-20%=20%，
∴该商场全年的营业额为：800÷20%=4000（万元），
故答案为：4000．
【点睛】
本题考查了扇形统计图，由统计图得到二季度所占的百分比是解题关键．
17．＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数中，k＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，
解析：＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数
1
y
x
=-中，k＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，且﹣2＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
18．－1
【分析】
首先根据分式方程的解法求出x的值，然后根据增根求出m的值．
【详解】
解：解方程可得：x=m+2，
根据方程有增根，
则x=1，
即m+2=1，
解得：m=－1．
故答案为：-1
【
解析：－1
【分析】
首先根据分式方程的解法求出x的值，然后根据增根求出m的值．
【详解】
解：解方程可得：x=m+2，
根据方程有增根，
则x=1，
即m+2=1，
解得：m=－1．
故答案为：-1
【点睛】
本题考查分式方程的增根，掌握增根的概念是本题的解题关键．
19．20
【分析】
连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
【详解】
解：如
解析：20 【分析】
连接BD 交AC 于点O ，则可证得OE ＝OF ，OD ＝OB ，可证四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ，可证得四边形BEDF 为菱形；根据勾股定理计算DE 的长，可得结论． 【详解】
解：如图，连接BD 交AC 于点O ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ， ∵AE ＝CF ＝2，
∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF ，即OE ＝OF ， ∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ， ∴四边形BEDF 为菱形， ∴DE ＝DF ＝BE ＝BF ， ∵AC ＝BD ＝8，OE ＝OF ＝
82
32
-=， 由勾股定理得：DE ＝2222435OD OE +=+=， ∴四边形BEDF 的周长＝4DE ＝4×5＝20， 故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
20．【分析】
利用平均数的定义，利用数据x1，x2，…，x10的平均数为a ，x11，x12，…，x30的平均数为b ，可求出x1+x2+…+x10=10a，x11+x12+…+x30=20b，进而即可求 解析：
1
(1020)30
a b + 【分析】
利用平均数的定义，利用数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，x 11，x 12，…，x 30的平均数为b ，可求出x 1+x 2+…+x 10=10a ，x 11+x 12+…+x 30=20b ，进而即可求出答案． 【详解】
解：因为数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，则有x 1+x 2+…+x 10=10a ， 因为x 11，x 12，…，x 30的平均数为b ，则有x 11+x 12+…+x 30=20b ，
∴x 1，x 2，…，x 30的平均数=()1
102030
a b + 故答案为：1
(1020)30
a b +． 【点睛】
本题考查的是样本加权平均数的求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．
三、解答题
21．（1）a ＝8，b ＝0.08；（2）作图见解析；（3）14
． 【分析】
（1）根据频数之和等于总个数，频率之和等于1求解即可； （2）直接根据（1）中的结果补全频数分布直方图即可； （3）根据89.5~100.5这一组的人数及概率公式求解即可. 【详解】
解：（1）由题意得a ＝50-2-20-16-4=8，b ＝1-0.04-0.16-0.40-0.32=0.08； （2）如图所示：
（3）由题意得张明被选上的概率是14
． 【点睛】
本题考查频数分布直方图，频数分布直方图的应用是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，要熟练掌握． 22．（1）483
y x =-+；见解析；（2）()6,5D ；见解析；（3）12或69
4，见解析．
【分析】
（1）利用矩形的性质，求出点A 、C 的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，即可求解； （3）①当EC ＝EO 时，ON ＝
12OC ＝4＝EM ，则△OEA 的面积＝1
2
×OA ×EM ；②当OE ＝OC
时，利用勾股定理得：22222NE EC CN EO ON ＝﹣＝﹣，求出ON ＝23
4
，进而求解． 【详解】
解：（1）∵点B 的坐标为()68，且四边形OABC 是矩形， ∴点A 、C 的坐标分别为()()6008，、，
， 设AC 的表达式为y kx b +＝，
把A 、C 两点的坐标分别代入上式得608k b b +=??=?，解得438
k b ?
=-?
??=?，
∴直线AC 所表示的函数的表达式4
83
y x =-
+； （2）∵点A 的坐标为()60，
，点C 的坐标为()08，， ∴OA ＝6，OC ＝8．
∴Rt △AOC 中，AC ＝226+8=10， ∵四边形OABC 是矩形， ∴∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8， ∵沿CD 折叠，
∴∠CED ＝90°，BD ＝DE ，CE ＝6，AE ＝4， ∴∠AED ＝90°，
设BD ＝DE ＝a ，则AD ＝8﹣a ，
∵Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝， ∴()2
2248a a +-＝，解得a ＝3，
∴点D 的坐标为()65，
； （3）
过点E 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵EN ⊥OC ，EM ⊥OA ，OC ⊥OA ， ∴∠ENO ＝∠NOM ＝∠OME ＝90°， ∴四边形OMEN 是矩形， ∴EM ＝ON ． ①当EC ＝EO 时， ∵EC ＝EO ，NE ⊥OC ，
∴ON ＝
1
2
OC ＝4＝EM ， △OEA 的面积＝
12×OA ×EM ＝1
2
×6×4＝12； ②当OE ＝OC 时， ∵EN ⊥OC ，
∴∠ENC ＝∠ENO ＝90°， 设ON ＝b ，则CN ＝8﹣b ，
在Rt △NEC 中，222NE EC CN -＝， 在Rt △ENO 中，222NE EO ON -＝， 即()2
222688b b ---＝， 解得：b ＝
234， 则EM ＝ON ＝
234
， △OEA 的面积＝
12×OA ×EM ＝1
2×6×234
＝694； 故△OEA 的面积为12或69
4
． 【点睛】
本题主要考查矩形的性质与判定、勾股定理及一次函数，关键是灵活运用知识点及函数的性质，求线段的长常用勾股定理这个方法． 23．（1）1.5；（2）5
8
；（3）4m ． 【分析】
（1）【方法回顾】如图1，利用“AAS ”证明ABE ADF ≌，则BE AF =，
AE DF =，然后利用EF AE AF =-得到DF BE EF -=．
（2）【问题解决】证明()DAF ABE ASA △≌△，推出1DF AE AF EF AF ==+=+，
AF BE =，再利用勾股定理构建方程解决问题即可．
（3）【思维拓展】如图3中，过点P 作PN BA ⊥交BA 的延长线于N ，PM DA ⊥交DA 的延长线于M ，设PN x =，PM y =．设==AB AD a ，由PAD PAB S S m -=△△，推出11
22
ay ax m -=，可得2ay ax m -=，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】
解：（1）【方法回顾】如图1中，
四边形ABCD 为正方形，
AB AD ∴=，90BAD ∠=?，
90BAE DAF ∠+∠=?，90BAE ABE ∠+∠=?，
ABE DAF ∴∠=∠，
()ABE ADF AAS ∴△≌△，
BE AF ∴=，AE DF =，
EF AE AF =-， 2.5DF =，1BE =
2.51 1.5EF DF BE ∴=-=-=．
故答案为1.5．
（2）【问题解决】如图2中，
四边形ABCD 是菱形，
AB AD ∴=， BE AB ⊥，
90ABE DAF ∴∠=∠=?，
180BAD AFD ∠+∠=?，即180BAP FAD AFD ∠+∠+∠=?， 180ADF FAD AFD ∠+∠+∠=?，
BAP ADF ∴∠=∠，
()DAF ABE ASA ∴△≌△，
1DF AE AF EF AF ∴==+=+，AF BE =，
90DAF ∠=?，
222AF AD DF ∴+=，
2223
()(1)2
AF AF ∴+=+．
58
AF ∴=
，