高中数学教案：二 极坐标系

极坐标系

教学目标：

认识极坐标，能在极坐标中用极坐标刻画点的位置；

体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

教学重点和难点：

重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。 教学基本流程：

一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。

开场白：大家有没有见过这种图片？！台风的卫星云

图。众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心

的位置。

气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风

的路径图。根据路径图，及时播报台风中心的位置。从小

到大我们听过很多次台风预报。今天也请大家来当一回主

播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。（学生参与描述）

看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，

今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800

公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”

（视频最好）。（评价学生的描述）

问：哪些条件刻画了台风中心的位置?

东经123.8度，北纬22.3度。温州东南偏南方向大约800公里的海面上。

经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，

相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点。如

果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位

置？！你得到什么样的启发？

1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,

用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。 建立问题情景，体会引进极坐标系的必要性

极坐标系与直角坐标系的区别

极坐标系的历史

问题的提升，体会引进极坐标系的必要性

极坐标与直角坐标的互化公式

总结

给出极坐标系的概念

平面直角坐标系我们研究得很透彻了，今天就不研究了。再来看天气预报，“也就是”，这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置 问：为什么台风预报时两个都会提及?（一个精确，一个通俗易懂形象）

我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。

（动手画一下）遇到困难补充方位角。用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想 就称为极坐标思想，这样建立起来坐标系就称为极坐标系（板书）

设计意图：引进学习极坐标系概念的需要，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。

二、给出极坐标系的概念

给出概念：

在平面内取一个定点O,叫做极点;（板书）

自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; （板书）

再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方

向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；

以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；

有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；

一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R （板书）

试一试：如图在平面地图上建立极坐标，试写出台风中心的极坐标

55(800,)(800,)(800,)(800,2)3333

k πππππ→-→→+（板书） 极点O 的极坐标？ (0,0)(0,)R θθ∈→（板书）

我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一，反过来

思考:如果给出一个极坐标(2,π),那它对应的点是否唯一?唯一。

0,02ρθπ>≤<如果规定；

除极点外,平面内点可用唯一的极坐标(,ρθ)表示;同时,极坐标(,ρθ)表示的点也是唯一的。 设计意图：引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系，初步熟悉极坐标系的有关概念。

三、极坐标系与平面直角坐标系的区别

平面直角坐标系 极坐标

定位方式 横坐标、纵坐标 角度和距离

点与坐标 点与坐标一一对应 点与极坐标不一一对应

外在形式 原点，x ，y 轴 极点，极轴

本质 两线相交定点

圆与射线相交定点 设计意图：通过比较，辨析极坐标系，进一步认识极坐标系的特点。

四、极坐标系的历史

过渡：平面直角坐标系是由笛卡儿创建的，问：又是谁第一个提出极坐标系？他为什么要提

出极坐标系? 伯努利(瑞士)：1691年《教师学报》最先发表了上述有关极坐标系的理论；

牛 顿(英国)：完成于1671年，发表于1736年《流数法与无穷级数》---把极坐标看成是确

定平面上的点的位置的方法,并与其他9种坐标系的进行转换；

数学家们认为极坐标有着很大的作用，并实现了它与其他坐标系的转换，现在我们也学习了两种坐标系，那我们也来转换一下看看。

设计意图：通过数学史使学生进一步认识极坐标系的来源，并过渡至坐标系的转换。

五、极坐标与平面直角坐标的转换

过渡：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？

原点与极点重合，极轴与x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度。牛顿也是这样想的，具体来试一下；

试一试：试将刚才所描述的台风中心的极坐标5(800,)3

π化成直角坐标 55800cos ,800sin 33

x y ππ=?=?（板书） 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之

间的关系？

cos ,sin x y ρθρθ== ，222,tan (0)y x y x x

ρθ=+=≠（板书） 你能联想到过去所学的哪个知识？——————任意角的三角函数的定义

研究:如左图 ,假设当距离台风中心700公里时应当发布台风蓝色警报，问福州

4(200,)3

π是否已发布台风蓝色警报? 分析：本质是根据极坐标研究两点的距离。

解：根据图象：福州距离台风中心的距离为（板书）

228002002200800cos

3d π=+-???1006441610052700=?+-=>

所以还未发布橙色警报。

通过刚才这个例子我们是否可以猜测： 1122(,),(,),||A B AB ρθρθ=已知点则221212122cos()ρρρρθθ+--？！

能否证明？（转化为平面直角坐标）（板书）

互化公式把两个坐标系紧密地联系在一起。

设计意图：引导学生了解极坐标的转换并记忆互化公式。极坐标与平面直角坐标的联系。

六、定位思想和极坐标的提升

最后我们再来看这张卫星云图，大家看到这个云图，试想如果一个

物体被台风卷了进去后，它可能会做什么样的运动？

研究：理想化条件下：

物体绕台风中心逆时针旋转，角速度12

π弧度/小时，离台风中心的距

离以5公里/小时速度减小，到中心后停止，台风中心不动，在离台风中心100公里A处放飞一物体M，求t 个小时后物体的位移？

分析：关键是确定t个小时后物体的位置，哪种定位方式能更好确定位置呢？

结论：通过这个例子我们发现，在研究某些问题时，用极坐标系会更加方便。

设计意图：极坐标系引入的必要性，及定位思想的提升，带着问题下课。

七、总结

1.极坐标的定位思想和极坐标系

2.极坐标与平面直角坐标系的转换

3.极坐标系下的两点距离公式

板书设计：