重庆巴蜀中学高2018级高一上期末数学试题及答案
x
A 、-1
B 、1
C 、-2
D 、2
重庆市巴蜀中学 2015-2016 第一学期期末考试
高 2018 届(一上)数学试题卷 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题 12小题,每小题 5分,共 60分,每小题只有一项符合题目要求。 )
1、集合 M
1,1,3,5 ,集合 N 3,1,5 ,则以下选项正确的是( )
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角
5、f (3x )= x ,则 f (10)=( )
3 10 A 、log 310
B 、 lg3
C 、 103
D 、310
6、为了得到 y =sin (2x- )的图像,可以将函数 y =sin2x 的图像( )
6
e x ,x ≤0
7、下列函数中,与函数 y = 1 x 的奇偶性相同,且在(- ∞,0)上单调性也相同的是 ( )x
,x 0 e
1 2 3
A 、y =-
B 、y = x +2
C 、y =x -3
8、 tan70 cos10 ( 3 tan 20 1)的值为( )
2、“x ≥3”是“ x ﹥3”成立的
(
A 、充分不必要条件 )
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条
件
3、 sin585 的值为(
)
2
A 、- 2
B 、 2
C 、- 3
D 、 3
2
2
2
2
4、若 θ是第四象限
角,
且 cos
cos ,则 是( )
A 、 N M
2 2 2
B 、 N M
C 、 M N 1,5
D 、 M N 3, 1,3
A 、向右平移 个单位长度
6
C 、向左平移 个单位长度
6
B 、向右平移 个单位长度
12
D 、向左平移 个单位长度
12
D 、y = log 1 x
e
f (cos β)的大小关系是( )
第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)
13、函数 f (x )= x (x 1) 的定义域为 。 14、函数 y = x 2 x 1 的值域为
。
15、当 t 0,2 时,函数 f (t )=( 1+sint )(1+cost )的最大值为
。
16、f (x )是定义在 D 上的函数,若存在区间 m,n D (m ﹤n ),使函数 f (x )在 m,n 上的
值域恰为 km,kn ,则称函数 f (x )是k 型函数。 ① f (x )=3- 4不可能是 k 型函数;
x
② 若函数 y =- 1 x 2+x 是 3型函数,则 m =-4,n =0;
2
③ 设函数 f (x )= 3x 1是 2型函数,则 m+n =1;
④ 若函数 y =(a a 2)x 1
(a 0)是 1型函数,转文 n-m 的最大值为 2 3。 a 2x 3
正确的序号是 。
9、定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (x-1)的对称轴为 x =1, f (x+1) 4
=
f (4
x) ( f(x) 0)
,且
在区间( 2015, 2016)上单调递减。已知 α,
β是钝角三角形中两锐角,则 f ( sin α)和 A 、 f (sin ) f (cos ) B 、 f (sin ) f(cos ) C 、 f (sin ) f (cos )
D 、以上情况均有可能
10、已知关于 x 的方程 4x +m ·2x +m 2-1=0 有实根, 则实数 m 的取值范围是( )
A 、
23
B 、
233
,1
2x ,x ≤0
11、设函数 f (x )= 2 ,x ≤ 0 ,
log 2 x,x 0 22
f (f (x )=2a 2y 2
+ay ,则正实数 A 、4 B 、2
12、已知函数 f (x )= cos ( asinx ) A 、 0,4
B 、
2
0,4
C 、 对任意给定的 a 的最小值是
1 4
23
233,1
y (2, ) ,都存在唯一的 x R ,满足
)
1 2
-sin (bcosx )无零点,则
C 、
D 、
a 2+
b 2 的取值范围( )
C 、 0, 22
2
D 、 0,2
D 、 1,
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或盐酸步
骤
17、(本小题满分10 分)
已知 A xx22x 8 ,B xx a 5 ,且A B R,求a的取值范围。
18、(本小题满分12 分)
4
已知0 ,tan 23
2
(1)求sin22sin2的值;(2)求sin(2)的值
cos cos 2 3
2
已知f(x)=x t2 2t 3为偶函数(t z),且在x (0, )单调递增。
(1)求f(x)的表达式;
(2)若函数g(x)=log a a f (x) x 在区间2,4 上单调递减函数( a 0且a 1),求实数
a 的取值范围。
3
函数f(x)=3cos ( 2x ) cos( ) xsin( x) ( 0,0 ) 同时满足下
3 4 2 列两个条件:① f( x)图像最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形
2
② ( 2,0) 是f(x )的一个对称中心、
3 ( 1) 当x 0,2 时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2) 令g(x) f 2(x 5) 1 f (x 1) m,若g(x)在x 5,3时有零点,求此时m 的
6 4 3 6 2
取值范围。
已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3。
(1)若函数在区间1,1 上最大值除以最小值为-2,求实数q 的值;
(2)问是否存在常数t(t≥0),当x t,10 时,f(x)的值域为区间D,且区间 D 的长度为12-t(视区间a, b 的长度为b-a)
22、(本小题满分12 分)
已知集合 A =t∣t使x∣x22tx 4t 3 0 R ,
集合B=t∣t使x∣x 22tx 2t 0 ,其中x,t 均为实数。(1)求A ∩B;
(2)设m 为实数,g()sin2mcos 2m, , 3,求
M =m∣g( ) A B
2
四、附加题:本题满分15 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或盐酸步骤。本题所得
分数计入总分。
23、已知分数f(x)的定义域为0,1 ,且f(x)的图像连续不间断。若函数f(x )满足:对于给定的m (m R且0 m 1),存在x0 0,1 m ,使得f(x0)=f(x0+m),则称f(x)具有性质P(m)。
1
4x 1,0 ≤x≤
4
13
(1)已知函数f(x)4x 1,1 x 3,若f(x)具有性质P(m),求m 最大值;44
4x 5,3≤x≤1
4
(2)若函数f(x)满足f(0)=f(1),求证:对任意k N 且k≥2,函数f(x)具有性质P(1)
重庆市巴蜀中学 2015-2016 第一学期期末考试
高 2018 届(一上)数学试题卷答案
1、解:集合 M={-1 ,1,3,5},集合 N={-3 ,1,5},
N ∈M 不正确,∈是元素与集合之间的关系,故 A 不正确,
N? M 不正确,集合 N 中的元素不都是集合 M 中的元素,故 B 不正确,
对于 C ,M ∩N={ -1,1,3,5}∩{-3,1,5}={1 ,5},故 C 正确,
对于 D ,M ∪N={-1 ,1,3,5}∪{-3,1,5}={-3 ,-1,1,3,5},故 D 不正确. 故选:
C .
2、解:若 x=3 满足 x ≥3,但 x > 3 不成立,
若 x >3,则 x ≥3成立,
即“x ≥3是”“x >3”成立的必要不充分条件, 故选: B
当 x=0 时, f (0)=1;
1
3、解: sin585 =°sin (585°-360 °)
=sin225 =°sin (45°+180°) =-sin45 =°- 22 ,
故选 A .
4、解:∵ θ是第四象限
角,
∴ 2k π+ ≤θ≤ 2k π,
+k2∈πZ ;
2
3
∴k π+ ≤ ≤ k π +,πk ∈Z ; 42
又 |cos |=-cos ,
22
∴ 是第二象限角.
2
5、解:∵ f (3x ) =x ,
故选: B .
∴设 3x =t ,则 x=log 3t , ∴f (t )=log 3t , ∴f (10)=log 310.
6、解: y=sin ( 2x- )=sin2 6
故选: A .
x- ),
12
故将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位,可得 y=sin
12
2x- )的图象,
6
故选: B .
7、解:函数 y= e x ,x ≥0
(1)x ,x 0
当x>0 时,-x<0,f(-x)=(1)-x=e x=f(x),
e
当x<0 时,-x>0,f(-x)=e-x=f(x),
则有在R 上,f(-x )=f(x).
则f(x)为偶函数,且在x<0 上递减.
对于A.f(-x)=-f (x),则为奇函数,则 A 不满足;
对于B.则函数为偶函数,在x<0上递减,则 B 满足;
对于C.f(-x)=(-x)3-3=-x3-3≠(f x),则不为偶函数,则 C 不满足;
1
对于D.f(-x)=f(x),则为偶函数,当x< 0时,y=log 1(- x)递增,则 D 不满足.e 故选B.
8、解:tan70 ° ?cos1(0 °3 tan20 -°1)
sin 70 sin 20
= ?cos10(° 3 ? -1 )
cos70 cos 20
cos20 cos10 3sin 20 cos20
=?
sin 20 sin 20
= cos10×2sin(20°-30 °) sin 20
sin 20
故选C.
= =-1 .
sin 20
9、解: f (x-1 )的对称轴为x=1,
可得y=f (x)的对称轴为x=0,
即有f(-x)=f(x),又f(x)f(x+1)=4,
可得f(x+1)f(x+2)=4,即为f(x+2)=f(x),函数f(x)为最小正周期为 2 的偶函数.
f(x)在区间(2015,2016)上单调递减,
可得f(x)在(-1,0)上递减,在(0,1)上递增,由α,β是钝角三角形中两锐角,可得α+β<,
2
即有0<α<- β<,
22
则0 2 则f(sin α) 故选: B . 10、解:令 2x =t (t > 0),可得 t 2+mt+m 2-1=0 有正根, m 2 4(m 2 1) ≥ 0 23 m 0 ,∴ - ≤m < -1; 23 m 2 1 0 2 ② 一个正根,一个负数根, m 2-1<0,∴ -1< m <1; ③ m=-1 时, t 2-t=0,t=0 或 1,符合题意, 11、解:根据 f ( x )的函数,我们易得出其值域为: R , 又∵f (x )=2x ,(x ≤0)时,值 域为( 0,1];f (x )=log 2x ,( x >0)时,其值域为 R , ∴可以看出 f (x )的值域为( 0, 1]上有 两个解, 要想 f 即, a 2 b 2 ≥2 (k=0,取得最小), 所以,a 2+b 2≥4 , 2 因此,当原函数 f (x )没有零点时, a 2+b 2< , 4 2 所以, a 2+b 2的取值范围是: ① 有两个正根, 综上所述, - 2 3 ≤m <1. 3 故选: B . f (x ))=2a 2y 2 +ay ,在 y ∈(2,+∞)上只有唯一的 x ∈R 满足, f (x ))> 1 (因为 2a 2y 2 +ay > 0), 必有 f 所以: f (x )>2, 解得: x >4, 当 x >4 时,x 与 f (f (x ))存在 22 ∴2a 2y 2+ay >1,y ∈( 2,+∞),且 a >0, 所以有:(2ay-1)(ay+1)> 0, 11 解得: y > 1 或者 y < - 1 (舍去), 对应的关系, 2a ∴ 1 ≤2, 2a 1 ∴ a ≥ , 4 12、解:假设函数 故选: C f (x )存在零点 x 0,即 f ( x 0)=0, 由题意, cos (asinx 0)=sin (bcosx 0), 根据诱导公式得: asinx 0+bcosx 0=2k π+ , 2 即, a 2 b 2 sin x 0+φ) =2k π+ ( k ∈ Z ), 要使该方程有解, 则 a 2 b 2 ≥|2k π2+|min , [0, ). 4 故答案为: B 。 13、 解:由题意得: x (x-1)≥0,解得: x ≥1或 x ≤0, 故函数 f (x )的定义域是: {x|x ≥1或 x ≤0}, 故答案为::{x|x ≥1或 x ≤ 0}. 14 、解:当 -1 当 x ≥2时, y=x-2- (x+1) =-3, 所以 y 的取值范围是 [-3, 3]. 故答案为: [-3 ,3]. 15、解: f ( t )=(1+sint )( 1+cost )=1+(sint+cost )+sintcost , 令 m=sint+cost= 2 sin (t+ )∈[- 2 , 2 ], 4 m 2 1 即有 m 2=1+2sintcost ,即 sintcost= m 1 , 2 22 则f (t ) =1+m+m2 1=(m 1)2 , 22 即有 m=-1 时,f (t )取得最小值 0; m= 2 ,即 t= 时, f (t )取得最大值,且为 4 3 2 2 故答案为: 3 2 2 2 16、解:①, f (x )的定义域是 {x|x ≠0,} 且 f (2)=3- 4 2 1 ∴f (x )在[2,4]上的值域是 [1, 2],f (x )是 1 型函数,∴①错误; 2 1 2 1 2 ②y=- x 2+x 是3型函数,即- x 2+x=3x ,解得 x=0,或 x=-4,∴m=-4,n=0,∴②正确; 22 ③设函数 f (x )=|3x -1|是 2 型函数,则当定义域为 [m ,n ]时,函数值域为 [2m , 2n ], =1,f (4) =3- 4 =2, 4 1) =20; 9 若 m+n=1,则 2-(3m +3n )=2,即 3m +3n =0 不成立, 若 m ≥0,则函数 f (x )=|3x -1|=3x -1 为增函数, 则 f (m ) 3n 1 2m ,则( 3m +3n )-2=2(m+n ), f ( n ) 3 1 2 n 若 m+n=1,则( 3m +3n )-2=2,即 3m +3n =4, 当 m=0, n=1 时,等式成立,则③正确, ④,y= (a a 2 )x 1 ( a ≠0)是 1型函数,即( a 2+a )x-1=a 2x 2,∴a 2x 2 ax 2 a +a ) x+1=0, ∴方程的两根之差 x 1-x 2= (a 21) 42 1 2 32 ≤ 2 3 , a 2 a 2 a a 2 3 即 n-m 的最大值为 2 3 ,∴④正确; 3 故答案为:②③④ 17、 解:对于集合 A :由 x 2+2x-8>0,化为( x+4) 解得 x >2 或 x < -4, ∴A= (-∞,-4)∪( 2 ,+∞). 对于集合 B :由 |x-a|< 5,化为 a-5 ∴B=( a-5,a+5). ∵A ∪B=R , a 5 ≥ 2 ∴, a 5 ≤ 4 ∴a 的取值范围是 [- 解得 -3≤a ≤.1 . 4 18、解: 0<α< ,tan α= 23 2 sin 2 sin 2 2 cos cos 2 2 tan 2 2 tan = 2= 2 tan 2 16 2 4 93 2 16 若 n ≤0,则函数 f (x )=|3x -1|=1-3x ,为减函数, 则 f (m ) 2n ,即 1 3n m 2n f ( n ) 2m 1 3n 2m 即 2-(3m +3n )=2( m+n ) 4 4 3 (2)0<α<,tan α=,可得sin α=,cosα=, 2 3 5 5 2 3 1 3 3 1 4 4 3 3 sin(-α)= cosα+ sin α= × + ×= . 3 2 2 2 5 2 5 10 19、解:(1)∵在x∈(0,+∞)单调递增, 2 ∴-t2+2t+3>0, 即t2-2t-3<0,得-1< t<3, ∵t∈z, ∴t=0,1,2, 若t=0,则f(x)=x3为奇函数,不满足条件. 若t=1,则f(x)=x4为偶函数,满足条件. 若t=2,则f(x)=x3为奇函数,不满足条件. 故 f (x)的表达式为f(x)=x4; (2)∵f(x)=x4, ∴g(x)=log a[a f (x) -x]=log a(ax2-x) 2 设t=ax2-x,则y=log a t, 若g(x)=log a[af(x)-x](a>0,且a≠1﹚在区间[2,4]上是单调递减函数,则t=ax2-x 和y=log a t 的单调性相反, 2 1 1 若a> 1,则t=ax2-x 在区间[2,4]上是单调递减函数,则对称轴x=- ≥4, 2 a 2a 1 即a≤1,此时不满足条件. 8 21 若0 2a 且当x=2 时,t=4a-2>0, 0a1