北京市2020年顺义一模及答案
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顺义区2020届高三第二次统练
数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}32A x x =-<<，{}3,2,0=--B ，那么A B =I （A ）{}2-
（B ）{}0
（C ）{}2,0-
（D ）{}2,0,2-
（2）在复平面内，复数()i 1i z =+对应的点位于 （A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
（3）下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递减的是
（A ）2y x =- （B ）2y x =- （C ）cos y x =
（D ）12
x
y =（）
（4）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为
（A ）4 （B ）2 （C ）1
（D ）
12
（5）若角α的终边经过点(1,2)P -，则sin α的值为
（A （B （C ）（D ） （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
2
（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）24
（7）若α为任意角，则满足cos()cos 4
π
+?=k αα的一个k 值为
（A ）2
（B ）4
（C ）6
（D ）8
（8）已知,,a b c ∈R ，在下列条件中，使得a b <成立的一个充分而不必要条件是
（A ）33a b < （B ）22ac bc <
（C ）
11a b
> （D ）22a b <
（9）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和.已知1316a a ?=, 314S =,若存
在0n 使得012,n a a a ???，，的乘积最大，则0n 的一个可能值是 （A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）7
（10）已知()f x ＝21|1|,0
2,0x x x x x -+
，若实数[]2,0m ∈-，则()(1)f x f --在区间
[],2m m +上的最大值的取值范围是
（A ）[]1,4
（B ）[]2,4
（C ）[]1,3
（D ）[]1,2
数学 第3页（共6页）
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知向量(1,2)a =-，(,1)=b m ，若αb ⊥，则实数m =__________. （12）设{}n a 是等差数列，且12a =，248a a +=，则{}n a 的通项公式为__________.
（13）若将函数sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______________.
（14）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的
所有可能取值是____________.
（15）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3:2
l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给
出下列三个结论： ①曲线C 关于y 轴对称；
②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤； 其中，正确结论的序号是_____________.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选
得0分，其他得3分。
数学 第4页（共6页）
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
已知?ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，5a b +=，3c =， _________.是否存在以,,a b c 为边的三角形？如果存在，求出?ABC 的面积；若不存在，说明理由.
从①1cos 3
C =；②1cos 3
C =-；③22sin C =这三个条件中任选一个，补充在上面问
题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（17）（本小题14分）
如图一所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，沿BD 将C 点翻折到1C 点位置（如图二所示）,使得二面角1A BD C --成直二面角.,E F 分别为11,BC AC 的中点. （I ）求证：1BD AC ⊥；
（II ）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.
数学 第5页（共6页）
（18）（本小题15分）
在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3,4)，[4,5) ，[5,6) ，[6,7)，[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：
（I ）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学
习时间达到5小时以上的学生人数；
（II ）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生
中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （III ）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为1D ，2D ，试比较1D 与2D 的大
小.（只需写出结论）
（19）（本小题14分）
已知函数2
()e x f x ax =-,a ∈R .
（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （II ）若()f x 在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；
（III ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数.（只需写出结论）
数学第5页（共6页）
（20）（本小题14分）
已知椭圆22
22:1(0)+=>>x y C a b a b
的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜
率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线,AP AQ 分别与直线4x =相交于点,M N .
求证：以MN 为直径的圆恒过点F .
（21）（本小题14分）
给定数列12,,,n a a a ???.对1,2,,1i n =???-，该数列前i 项12,,,i a a a ???的最小值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++???的最大值记为i B ，令i i i d B A =-. （I ）设数列{}n a 为2,1,6,3,写出123,,d d d 的值；
（II ）设12,,,n a a a ???(4)n ≥是等比数列，公比01q <<，且10a >，证明：121,,,n d d d -???
是等比数列；
（III ）设121,,,n d d d -???是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -???是等差
数列.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
数学参考答案及评分参考
一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B
（ 7 ）D
（ 8 ）B
（ 9 ）A
（10）D
二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2
（12）1,N n a n n *=+∈
（13）sin(2)3
y x π
=+
（14）1a =± （15）②③
注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。 三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）
解：选①：在ABC ?中，1
cos 3
C =,
根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分 且5a b +=，3c =，得到292523
ab
ab =--
------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分
所以56a b ab +=??=?，解得23a b =??=?或32a b =??=?
-------------10分
∵1cos 3C =
∴sin 3
C =
-------------12分
所以三角形?ABC
的面积是
1
sin
2
ABC
S ab C
?
==分
选②：在ABC
?中，
1 cos
3
C=-,
当
1
cos
3
C=-时，根据余弦定理2222cos
c a b ab C
=+-. -------------2分
又5
a b
+=，3
c=，得到12
ab= ------------- 8分
此时方程组
5
12
a b
ab
+=
?
?
=
?
无解. ------------- 12分
所以这样的三角形不存在. -------------14分
选③：在ABC
?
中，因为sin C=所以
1
cos
3
C=±. -------------2分
当
1
cos
3
C=时，根据余弦定理2222cos
c a b ab C
=+- -------------4分
且5
a b
+=，3
c=，得到
2
9252
3
ab
ab
=-- ------------- 6分
所以6
ab= -------------8分
所以
5
6
a b
ab
+=
?
?
=
?
，解得
2
3
a
b
=
?
?
=
?
或
3
2
a
b
=
?
?
=
?
-------------10分
所以三角形?ABC
的面积是
1
sin
2
ABC
S ab C
?
==分
当
1
cos
3
C=-时，根据余弦定理2222cos
c a b ab C
=+-,
又5
a b
+=，3
c=，得到12
ab=,
此时方程组
5
12
a b
ab
+=
?
?
=
?
无解.
所以这样的三角形不存在. ------------- 14分
③法二：在ABC ?中，因为22
2
2
()2522
a b a b c ++≥
=>, 根据余弦定理222
cos 2a b c C ab +-=,得到cos 0C > ------------- 2分
因为22sin ,C =
所以1
cos 3
C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分
所以56a b ab +=??=?，解得23a b =??=?或3
2a b =??=?
-------------12分
所以三角形?ABC 的面积是1
sin 222
ABC S ab C ?== -------------14分
17. （共14分）
解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O
∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分
又Q AO ,1C O 1AC O ?平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ?平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分 （II ）
Q 二面角1A BD C --是直二面角
∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥
∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6
分
∴以O 为原点，如图建系：
∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C
又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11
(,0,)22
F
∴11(,1,)22DF =u u u r ，31
(0,,)22
DE =u u u r -------------8
分
设(,,)n x y z =r
是平面DEF 的一个法向量
∴1102231022
DF n x y z DE n y z ??=++=?????=+=??u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r
-------------11分
又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r
-------------13
分
∴111
cos ,n OC n OC n OC ?=?r u u u u r
r u u u u r r u u u u r
= ∴平面DEF 与平面ABD
-------------14分
18.（本题15分）
解：（I ）根据甲班的统计数据可知：
甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分
所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数
为6000.8480?=人 -------------4分
（II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052?=人
乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14?=人 -------------6分
X 的可能值为：0,1,2
34361
(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,21243
6
1(2)5C C P x C === -------------9分