2016-2017年高三文科数学第三次月考试卷及答案

A . {1,4}

B . {2, 3,4 }

C . {2,3}

D . {4}

⒉ 已知函数 f ( x ) = ??log x A ． 9 B ． C ． 3

D ． 1

3

A ．

B ． 5

C ． 6

D ． 7 ⒎ 把函数 y = A s in(ωx + φ)(ω > 0,| φ |< ) 的图象向左平移 个单位得到 y = f (x ) 的图象

6

B ．

C . -

D .

⒏ Direchlet 函数定义为： D(t ) = ?

0 t ∈ e Q ? ．．．

⒐ 函数 f (x)=lg x - cos ? x ? 的零点个数是（

）

池 州 一 中 2016-2017

学年度高三月考

数 学 试 卷 ( 文科 )

第Ⅰ卷

（选择题 共 50 分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

⒈ 已知 U = {2,3,4} ，集合 A = {x | ( x - 1)(x - 4) < 0, x ∈ Z } ，则 e A = （ ）

U

? 3x

4 x > 0 x ≤ 0 ，则 f [ f ( 1 )] = ( )

16

1

9

3

⒊ 设 [ x ] 为表示不超过 x 的最大整数,则函数 y = lg[x] 的定义域为 (

)

A ． (0, +∞)

B ． [1,+∞)

C ． (1,+∞)

D ． (1,2)

⒋ 设 a = 30.5 , b = log 2, c = cos

2π ，则（

）

3

A ． c < b < a

B ． a < b < c

C ． c < a < b

D ． b < c < a

⒌ 已知函数 y = a x 2（ a ≠ 0, n ∈ N * ）的图象在 x = 1 处的切线斜率为 2a

n

n

n -1

+ 1（ n ≥ 2, n ∈ N * ）

， 且当 n = 1 时，其图象经过 (2,8 ) ，则 a = （

）

7

1 2

⒍ 命题“函数 y = f ( x )(x ∈ M ) 是奇函数”的否定是（

）

A ． ?x ∈ M , f (- x ) ≠ - f ( x )

B ． ?x ∈ M , f (- x ) ≠ - f ( x )

C ． ?x ∈ M , f (- x ) = - f ( x )

D ． ?x ∈ M ， f (- x ) = - f ( x )

π π

2

3

（如图），则 2 A - ω + ? = （

）

A ． - π

π π π

6 3 3

?1 t ∈ Q R

，关于函数 D(t ) 的 性质叙述不正确的是（

）

A ． D(t ) 的值域为 {0,1}

B ． D(t ) 为偶函数

C ． D(t ) 不是单调函数

D ． D(t ) 不是周期函数

π ? ? 2 ?

3

B ． 2

C ． 2

D ． 0 < θ < ⒒ 函数 f ( x ) = 的定义域为

.

⒓ 已知 α ∈ ? ， ?? ， tan (α - 7π ) = - ，则 sin α＋cos α =

.

⑷ 函数 y = tan x 的图象关于点 ? ,0 ? (k ∈ Z ) 成中心对称； 有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 f ( x ) = x 3 - x 2 + 3x - （1）函数 f ( x ) = x 3 - x 2 + 3x - 2013 2013 2013

+ f (

A ． 3

B ． 4

C ． 5

D ． 6

⒑ 已知向量 a 、 b 的夹角为 θ ， a + b = 2 3 ， a - b = 2 ，则 θ 的取值范围是（

）

A ． 0 ≤ θ ≤ π

π 3 ≤ θ < π

π 6 ≤ θ < π

2π

3

第 II 卷（非选择题，共 100 分）

二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，计 25 分.

ln(x + 1)

- x 2 - 3x + 4

π 3π 3 ? 2 2 ?

4 ⒔ 函数 f ( x ) = e x (x ∈ R ) 可表示为奇函数 h( x ) 与偶函数 g ( x ) 的和 ,则 h ( x ) = .

⒕ 给出下列命题：

⑴ y = 1 是幂函数；

⑵“ x < 1”是“ x < 2 ”的充分不必要条件；

⑶

x - 1( x - 2) ≥ 0 的解集是 [2, +∞ )；

k π ? ? 2 ?

⑸ 命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题.

其中真命题的序号是

（写出所有正确命题的序号）

⒖ 对于三次函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ，给出定义：设 f '( x ) 是函数 y = f ( x ) 的导数，

f ''(x) 是 f '( x ) 的导数，若方程 f ''( x ) = 0 有实数解 x ，则称点 ( x , f ( x )) 为函数 y = f ( x ) 的

0 0

“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都

面探究结果，解答以下问题：

1 1 3

2 5

12

，请你根据上

1 1 3

2

5 12

的对称中心为 ；

（2）计算 f ( 1 2 3

) + f ( ) + f ( ) +

2012 2013

) = .

三、解答题：本大题共 6 小题，计 75 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. ⒗（本小题满分 12 分）

( )

（Ⅱ）若方程 f (x) - k = 0 在区间 ??0, ?? 上有实数根，求 k 的取值范围.

已知向量 m = 2cos x, - 3sin 2x ， n = (cos x,1) ，设函数 f ( x ) = m ? n , x ∈ R .

（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间；

π ? 2 ?

⒘（本小题满分 12 分）

已知命题 p :实数 x 满足 -2 ≤ 1 -

x - 1 3

≤ 2 ；命题 q ：实数 x 满足 x 2 - 2x + (1- m 2 ) ≤ 0 (m > 0) ，

若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.

⒙（本小题满分 13 分）

已知 f ( x ) = m x （ m 为常数，m > 0 且 m ≠ 1 ）．设 f (a ) ， f (a ) ，…， f (a ) ，…（ n ∈ N *）

1

2 n

是首项为 m 2，公比为 m 的等比数列．

（Ⅰ）求证：数列{a }是等差数列；

n

（Ⅱ）若 b = a ? f (a ) ，且数列 {b }的前 n 项和为 S ，当 m = 2 时，求 S .

n

n n n n n

⒚ (本小题满分 12 分)

已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b ,c ，设向量 m = (a, b ) ， n = (sin B,sin A) ，

3 ，求 ?ABC 的面积.

求平行四边形 ANPM 和三角形 ABC 的面积之比

ANPM . '

p = (b - 2, a - 2) .

（Ⅰ）若 m // n ，求证： ?ABC 为等腰三角形；

（Ⅱ）若 m ⊥ p ，边长 c = 2 ， ∠C = π

⒛（本小题满分 12 分）

如图 ,在 ?ABC 中,设 AB = a , AC = b , AP 的中点为 Q , BQ 的中点为 R , CR 的中点恰为

P .

（Ⅰ）若 AP =λa +μb ,求 λ 和 μ 的值;

（Ⅱ）以 AB , AC 为邻边, AP 为对角线,作平行四边形 ANPM ,

S

S

?ABC

21.(本小题满分 14 分)

已知 f ( x ) = x ? e x ， f ( x ) = f '( x ) ， f ( x ) = f ( x ) ，…， f ( x ) = f '

( x )(n ∈ N * ) .

1 0

2 1 n (n -1)

（Ⅰ）请写出的 f (x) 表达式（不需证明）； n

（Ⅱ）求 f (x) 的极小值 y = f (x ) ；

n

n n n

（Ⅲ）设 g ( x ) = - x 2 - 2(n + 1)x - 8n + 8 ， g ( x ) 的最大值为 a ， f (x) 的最小值为 b ，试求 a - b

n

n n

的最小值.

,1? ， 2012 11. 解：由 ? ??

? -1 < x < 1 ，即定义域为 (-1,1) - x 2

- 3x + 4 > 0 ?-4 < x < 1

17．解：令 A = ? x -2 ≤ 1 - ≤ 2? = {x -2 ≤ x ≤ 10}

3 x

池州一中 2017 届高三第三次月考(10 月)

数学（文科）答案

一、选择题：

题号 答案 1 D

2

B 3

C 4 A 5 B 6 A 7 C 8

D 9 C 10 A

二、填空题

题号

11 12 13

14 15

答案

(-1,1)

- 1 5

e x - e - x

2

⑵⑷⑸

? 1 ?

? 2 ?

? x + 1 > 0 ? x > -1

?

三、解答题

16. 解: （Ⅰ）由题意知：

f(x) = 2cos 2 x - 3sin 2 x = 1 + cos2 x - 3sin 2 x = 1 + 2cos(2 x +

π

3

)

∴f(x)的最小正周期 T = π .................... .4 分

∴f(x)的单调递减区间 [ k π -

π π

, k π + ], k ∈ z ..................... 6 分 6 3

? ?

x - 1 ?

?

B = {

x 2 - 2 x + (1- m 2

) ≤ 0 (m > 0)}

= {x 1 - m ≤ x ≤ 1 + m (m > 0)}

故 A

B

∴ ?1 - m ≤ -2 ? m ≥ 9 ?10 ≤ 1 + m 1－2

m p ( )

∴? P 则?ε 的逆否命题为 “ 若ε 则P ”

而 ?P 是?ε 的必要不充分条件，∴ ε 是P 的必要不充分条件

?m > 0 ?

?

18. 解：（1）由题意 f （a n ）＝ m 2 ? m n -1 = m n +1 ，即 m a n = m n +1 ．

∴a n ＝n ＋1，（2 分）

∴a n ＋1－a n ＝1，

∴数列{a n }是以 2 为首项，1 为公差的等差数列．

（2）由题意 b = a ? f (a ) ＝（n ＋1）·m n+1，

n

n

n

当 m ＝2 时，b n ＝（n ＋1）·2n ＋1

∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n ＋1）·2n ＋1 ①

①式两端同乘以 2，得

2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2 ②

②－①并整理，得

S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2

＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n ＋1）＋（n ＋1）·2n ＋2

22(1－2n )

＝－22－ ＋（n ＋1）·2n ＋2

＝－22＋22（1－2n ）＋（n ＋1）·2n ＋2＝2n ＋2·n ．

uv v

a b 19. 【解析】证明：

（Ⅰ） Q m // n,∴ a sin A = b sin B, 即 a ? = b ?

2R

2R

，

其中 R 是 ?ABC 外接圆半径， a = b --------（5 分）

∴? A BC 为等腰三角形 -----（6 分）

uv uv 解（Ⅱ）由题意可知

m ⊥=p 0,即a(b - 2) + b (a - 2) = 0 ，∴ a + b = ab --------（8 分）

由余弦定理可知， 4 = a 2 + b 2 - ab = (a + b )2 - 3ab

即(ab)2 - 3ab - 4 = 0

∴ a b =4 舍去 a b = -1---------

（10 分）

∴ S = 1 同理： RQ = BR = 1 1

1 λ ?? 7 ??

2 ? ?

ANPM = AN ? AM ? sin A

S ABC 2

f ( ( ( ( ?

1

π ab sin C = ? 4 ? s in = 3 ………………………（12 分）

2 2 3

20．（1）解：∵Q 为 AP 中点，∴ QP = 1 λ u

AP = a + ? b P 为 CR 中点，

2 2 2

∴ PR = CP = AP - AC = λ a + (u - 1)b

μ 1 λ μ

BQ = ( A Q - AB) = ( a + b - a) = ( - 1)a + b

2 2 2 2 2 2 2 4

λ μ 1 λ μ

而 QP + PR + RQ = 0 ∴ a + b + λ a + (μ - 1)b + ( - 1)a + b = 0

2 2 2 2 4

? λ 1 λ ?

2 + λ + ( - 1) = 0 λ = 2 2 即 ? ??

? μ + μ - 1 + μ = 0 ?μ = 4 ? 2 4 ? 7

（2） S

= 1

AB ? AC ? s i n A

∴ S

S

AN ? AM ? s in A AN AM 2 4 16 ANPM = = 2 ? ? = 2 ? ? =

1 AB AC 7 7 49 ABC AB ? AC ? s in A

2

21. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查

运用数学知识解决问题及推理的能力。

（Ⅰ）证明：对于任意的 a >0， x ∈ R ，均有 f (ax) = af ( x )

①

在①中取 a = 2, x = 0,即得f (0) = 2 f (0). ∴ f (0) = 0 ②

（Ⅱ）证法一：当 x > 0 时，由①得 f ( x ) = f ( x ?1) = xf (1)

取 k = f (1) ，则有

f ( x ) = kx

③

当 x < 0 时，由①得

f ( x)= [ - x)? - ]1 ) = -x f) - 1 )

取 h = - f (-1) ，则有 f ( x ) = hx

④

综合②、③、④得 f (x ) = ?kx, x ≥ 0 ?hx, x < 0

;

即 f ( x ) = hx 成立。综上知 f ( x ) = ?

2 (0, 2 则 g ( x ) - g ( x ) = 1 kx kx k x x

kx x

1 （i ）当 0 < x < x <

时

, g ( x ) < g ( x ) ； k

证法二:

令 x = a 时，∵ a > 0 ，∴ x > 0 ，则 f ( x 2 ) = x ? f ( x )

而 x ≥ 0 时， f ( x ) = k π (k ∈ R) ，则 f ( x 2 ) = kx 2

而 x ? f ( x ) = x ? kx = kx 2 ，

∴ f ( x 2 ) = x ? f ( x ) ，即 f ( x ) = kx 成立

令 x = -a ，∵ a > 0 ，∴ x < 0 ，则 f (- x 2 ) = - x ? f ( x )

而 x < 0 时， f ( x ) = h π (h ∈ R) ，则 f (- x 2 ) = -hx 2 = - x ? f ( x )

?kx x ≥ 0

2 ?hx x < 0

（Ⅲ）解法 1：由（Ⅱ）中的③知，当 x > 0 时， g ( x ) = 1 kx

+ kx ，

从而 g '( x ) = - 1 k 2 x 2 - 1 + k =

kx kx 2

, x > 0

又因为 k>0，由此可得

x

1 )

k

1 k

1

( ,+∞) k

g '( x )

g ( x )

－

↘

极小值 2

+

↗

1 所以 g ( x ) 在区间 (0, ) 内单调递减，在区间（ k

1 k

,+∞ ）内单调递增。

解法 2：由（Ⅱ）中的③知，当 x > 0 时， g ( x ) = 1 kx

+ kx ，

设 x , x ∈ (0,+∞), 且x < x

1 2 1

1 1 x - x + kx - ( + kx ) = 1

2 1 2 1 2

1

1 2

( x - x )

= 2 (k 2 x x - 1).

1 2 1 2

2 + k ( x

2

- x ) 1 又因为 k>0，所以

1 1

2 2 1 （ii ）当 0 < 1

k

< x < x 时, g( x ) > g (x )

1 2 2 1

所以g(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间（1,）内单调递增.

k k

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