中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4

3

与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线

y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3

2

． （1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3

2

列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y

Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】

（1）当y=0时，14

0 33

x

-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=

3

2

，得

16120

33

22

a c

a

-+=

?

?

-

?

-=

??

，

解得

1

4

a

c

=

?

?

=-

?

，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；

（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

∴直线m的解析式为y=1

3

x．

∵点P是直线1上任意一点，

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，

∴PC PB

PF PE

=．

∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

∴

22

x x x x

Q P F E

++

=，

22

y y y y

Q P F E

++

=，

∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，

∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．

∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，

∴

22x x x x Q P F E ++=，22y y y y

Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．

将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．

综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．

2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】(1) y=﹣234

x +

94x+3；(2) 有最大值,365

;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173

，﹣25

3）．

【解析】

试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34

m 2+9

4m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解

析式为：y=﹣34

x+3，表示PD=﹣2

334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应

边的比得：

=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365

，求L 的最大值即可；

（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣

23n 4 +9

4

n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣3

4n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:

（1）由OC=3OA ，有C （0，3），

将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得： 016403a b c a b c c -+=??

++=??=?

， 解得：34943a b c ?=-??

?

=??=???

，

故抛物线的解析式为：y=﹣234

x +9

4

x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣

34

m 2+9

4m+3），△PFD 的周长为L ，

∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3）， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ， 则403k b b +=??=?

解得：343

k b ?=-?

??=?

∴直线BC 的解析式为：y=﹣3

4

x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2

334

m m +，

∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ， ∴∠BDE=∠BCO ， ∵∠BDE=∠PDF ， ∴∠PDF=∠BCO ， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD ∽△BOC ，

∴

=PED PD

BOC BC

的周长的周长，

由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC 的周长=12，

∴23

34125

m m

L -+=，

即L=﹣95（m ﹣2）2+36

5

，

∴当m=2时，L 最大=

36

5

； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，

理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ， ∴∠PCQ=∠CPD ， ∴∠PCD=∠CPD ， ∴CD=PD ， ∴CD=DP=PQ=QC ， ∴四边形CDPQ 是菱形， 过D 作DG ⊥y 轴于点G ， 设P （n ，﹣

234n +94n+3），则D （n ，﹣34

n+3），G （0，﹣3

34n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣

34

n+3）﹣3]2+n 2=2

2516n ，

而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34

n+3）|=|﹣23

4n +3n|，

∵PD=CD ， ∴﹣235

344

n n n +=①， ﹣

235

344

n n n +=-②， 解方程①得：n=7

3

或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=17

3

或0（不符合条件，舍去）， 当n=

73时，P （73，256

），如图3，

当n=

173时，P （173

，﹣25

3），如图4，

综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，25

6

）或（

173

，﹣25

3）．

点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=1

4

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=1

4

x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（

28

13

，﹣1）．（3）

定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

特征，即可得出（1-1

2

-

1

2

y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关

于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a，解得：a=1

4

，

∴抛物线的解析式为y=1

4（x-2）2=

1

4

x2-x+1．

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

214

1

14y x y x x ?????-+??

＝＝，解得：11114x y ?????＝＝，2241x y ??

?＝＝， ∴点A 的坐标为（1，

1

4

），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．

∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，

1

4

）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ?+??

?+-?＝＝，解得：1312

43k b ?

-??????

＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43

， 当y=-1时，有-1312x+4

3

=-1， 解得：x=

28

13

， ∴点P 的坐标为（

28

13

，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，

∴n=

14

m 2

-m+1

， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（1

4

m 2-m+1）+1， 整理得：（1-

12-1

2

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，

∴00022000

11

10222220230

y x y x y y ?--??

-+??+--??

＝＝＝， ∴00

2

1x y ??

?＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．

4．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数表达式；

②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存

在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC，此时点P的坐

标为（3

2

，

15

4

）．

【解析】

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得

10

930

b c

b c

-++=

?

?

-++=

?

，解得：

2

3

b

c

=

?

?

=

?

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

得

30

3

m n

n

+=

?

?

=

?

，解得：

1

3

m

n

=-

?

?

=

?

，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=1

2

PF?OB=﹣

3

2

t2+

9

2

t=

﹣

3

2

（t﹣

3

2

）2+

27

8

；

②∵﹣

3

2

＜0，

∴当t=3

2

时，S取最大值，最大值为

27

8

．

∵点B的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3），

∴线段BC=2232

OB OC

+=，

∴P 点到直线BC 的距离的最大值为

27

292

8

8

32

?

=，

此时点P的坐标为（

3

2

，

15

4

）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

5．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；

（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理

由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或

【解析】

试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析：（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴线段AC的中点为（，），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，

∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

∴最大值的立方根为=；

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE ，

∴∠OAE=∠OEA=45°， ∴∠PAG=∠APG=45°， ∴PG=AG ，

∴t=﹣t 2+2t+3﹣3，即﹣t 2+t=0，解得t=1或t=0（舍去）， ②当∠APE=90°时，如图3，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，

则PK=﹣t 2+2t+3，AQ=t ，KE=3﹣t ，PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t ， ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°， ∴∠PAQ=∠KPE ，且∠PKE=∠PQA ， ∴△PKE ∽△AQP ， ∴

，即

，即t 2﹣t ﹣1=0，解得t=

或t=

＜﹣

（舍去），

综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或．

考点：二次函数综合题

6．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .

(1)求m

n 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线

AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.

(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形

与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）2

65y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ?最大，此时

3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33

?? ???

，. 【解析】

分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；

（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．

详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．

∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=??-++=?，解得：65b c =??=-?

，则二次函数解

析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；

（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =22m ，PN =2

2

（4﹣m ），∴S △MPN =

12PM ?PN =122m 2

（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；

（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：

①当△ABD ∽△DAQ 时，

AB DA =BD AQ ，即324=4AQ ，解得：AQ =82

3

，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣8

3

）； ②当△ABD ∽△DQA 时，BD

AQ

=1，即AQ =10，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．

综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（

73，﹣8

3

）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．

7．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(

10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得

PAM PAC S S ??＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

23y x x =++-；（2）存在，点(1

2)P ，1032；（3）存在，点M 坐标为(1

4)， 【解析】 【分析】

（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，）

，故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．

（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则

PAC C AC PC PA AC PC PB ?++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，

PAC C AC CB ?+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把

1x ＝代入即求得点P 纵坐标．

（3）由PAM PAC S S ??＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标． 【详解】

解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）

∴可设交点式13y a x x +＝（

）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝

1a ∴＝﹣

21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣

∴抛物线解析式为223y x x ++＝-

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ?的周长最小． 如图1，连接PB 、BC

∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称

PA PB ∴＝

PAC C AC PC PA AC PC PB ?∴++++＝＝

∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小

103003A B C （﹣，）、（，）、（，）

AC BC ∴===

PAC C AC CB ?∴+＝

设直线BC 解析式为3y kx +＝

把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣ ∴直线BC ：3y x +＝﹣

132P y ∴+＝﹣＝

∴

点12P （，）使PAC ?． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ??＝． ∵PAM PAC S S ??＝S △PAM ＝S △PAC ∴当以PA 为底时，两三角形等高 ∴点C 和点M 到直线PA 距离相等 ∵M 在x 轴上方

//CM PA ∴

1012A P （﹣，），（，）

，设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=?∴?+=? 解得：p 1

d 1=??=?

∴直线1AP y x +：＝

∴直线CM 解析式为：3y x +＝

2

3

23y x y x x =+??=-++?

解得：1103x y =??

=?（即点C ），22

1

4x y =??=? ∴点M 坐标为14（，）

【点睛】

考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．

8．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16

-x 2

+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为

172

m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16

-

x 2

+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；

(2)两排灯的水平距离最小是

． 【解析】 【详解】

试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．

试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,

2B C ??

???

在抛物线上 所以4

171

9326c b c =??

?=-?++??

，解得24b c =??=?，所以21246y x x =-++ 所以，当62b

x a

=-=时，10t y =≦ 答：2

1246

y x x =-

++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，22

63

y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即2

12486

x x -

++=，可得212240x x -+=

，解得1266x x =+=-

12x x -=

答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．

9．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探

究）．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；

（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），

设M（2，t），且C（0，3），

∴MC=，MP=|t+1|，PC=，

∵△CPM为等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，

①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；

②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣

1+2）或（2，﹣1﹣2）；