高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时跟踪训练北师大版选修21
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课
时跟踪训练北师大版选修21
[A 组 基础巩固]
1．下列说法正确的是( )
A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C ．向量的大小与方向有关
D ．向量的模可以比较大小
解析：任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个非负实数，故可以比较大小．
答案：D
2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知，只有②正确，故选B.
答案：B
3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD →
|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形
D ．不确定
解析：若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC →|＝|BD →
|，
即AC ＝BD ，
∴四边形ABCD 为矩形． 答案：B
4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( ) A.BD → B.BC 1→ C.BD 1→
D.A 1B →
解析：∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，
故BD →
为平面ACC 1A 1的法向量． 答案：A
5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则FE →
与GH →
所成的角等于( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析：因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→
〉，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→
〉＝60°.
答案：B
6.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →
，CA →，PA →，PB →，PC →
中，夹角为90°的共有______对．
解析：夹角为90°的有：AB →与BC →，PA →与AB →，PA →与BC →，PA →与CA →，BC →与PB →
，共5对． 答案：5
7．给出以下命题：
①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→
； ⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________．
解析：以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．
答案：①②④⑤
8．在正四面体A -BCD 中，O 为平面BCD 的中心，连接AO ，则平面BCD 的一个法向量可以是________．
解析：由于A -BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD . 答案：AO →
9．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA 1→的模相等的向量(AA 1→本身除外)共有多少个，与向量AA 1→相等的向量(AA 1→
本身除外)共有多少个．
解析：与AA 1→的模相等的向量有A 1A →，BB 1→，B 1B →，C 1C →，CC 1→，共5个，与AA 1→相等的向量有BB 1→
，
CC 1→
，共2个．
10．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1.
(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量AB →
相等的向量；
(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量AC →
的相反向量； (3)若E 是BB 1的中点，举出与向量AE →
平行的向量．
解析：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→
. (2)向量AC →的相反向量有CA →，C 1A 1→
.
(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F ，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →
平行的向量．
[B 组 能力提升]
1．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行
C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D ．如果a ，b 与平面α平行，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 解析：依据平面法向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．当a 与b 共线时，n 就不一定是平面α的法向量，故D 错误．
答案：D
2．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →
＝0，则△BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长，应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 答案：B
3．给出以下命题：
①若a ∥b ，b 与c 的夹角是30°，则a 与c 的夹角也是30°； ②平面的所有法向量方向相同；
③若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等． 其中正确命题的序号是__________． 解析：只有③正确． 答案：③
4．如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点，则〈EF →，GH →
〉＝________.
解析：连接DB ，BC 1，DC 1，
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， △BDC 1为等边三角形．
∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点， ∴EF ∥BD ，GH ∥BC 1.
∴〈EF →，GH →〉＝〈BD →，BC 1→
〉＝60°. 答案：60°
5．如图，AB 是圆O 的直径，直线PA 所在的向量是圆O 所在平面的一个法向量，M 是圆周上异于A ，B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 是垂足，求证：直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．
证明：因为AB 是圆O 的直径，所以AM ⊥BM . 又PA ⊥平面ABM ，所以PA ⊥BM . 因为PA ∩AM ＝A ，
PA ，AM 平面PAM ，
所以BM ⊥平面PAM .
又AN 平面PAM ，所以BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，BM ，PM 平面PBM ，所以AN ⊥平面PBM .
所以直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．