空间直角坐标系与大地坐标系转换程序
空间直角坐标系与大地坐标系转换程序
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using namespace std;
#define PI (2.0*asin(1.0))
void main()
{ double a,b,c,d1,d2,f1,f2,m1,m2,B,L,H,X,Y,Z,W,N,e;
//cout<<"请分别输入椭球的长半轴、短半轴(国际单位)"< //cin>>a>>b; a=6378137; //以WGS84为例 b=6356752.3142; e=sqrt(a*a-b*b)/a; c=a*a/b; int x; cout<<"请输入0或1,0:大地坐标系到空间直角坐标系;1:空间直角坐标系到大地坐标系"< cin>>x; switch(x) { case 0: { cout<<"请分别输入该点大地纬度、经度、大地高(国际单位,纬度经度请按度分秒,分别输入)"< cin>>d1>>f1>>m1>>d2>>f2>>m2>>H; B=PI*(d1+f1/60+m1/3600)/180; L=PI*(d2+f2/60+m2/3600)/180; W=sqrt(1-e*e*sin(B)*sin(B)); N=a/W; X=(N+H)*cos(B)*cos(L); Y=(N+H)*cos(B)*sin(L); Z=(N*(1-e*e)+H)*sin(B); cout<<"空间直角坐标系中X,Y,Z,坐标值(国际单位)分别为"< } case 1: { cout<<"请分别输入空间直角坐标系中X,Y,Z的值(国际单位)"< cin>>X>>Y>>Z; double t,m,n, P,k,B0; m=Z/sqrt(X*X+Y*Y); //t0 B0=atan(m); //初值 n=Z/sqrt(X*X+Y*Y); P=c*e*e/sqrt(X*X+Y*Y); k=1+(a*a-b*b)/(b*b); t=m+P*n/sqrt(k+n*n); //现在为t1,之后代替t2,t3... B=atan(t); W=sqrt(1-e*e*sin(B)*sin(B)); N=a/W; H=Z/sin(B) - N*(1-e*e); int i; for(i=1;fabs(B-B0)>10E-10;i++)//每一次新的B与上一次计算的B比较,误差小于10E-10 rad {B0=B; n=t; t=m+P*n/sqrt(k+n*n);//迭代 B=atan(t); } W=sqrt(1-e*e*sin(B)*sin(B)); N=a/W; //if((X<0)&(Y>0)) //L=atan(Y/X)+PI; //if((X<0)&(Y<0)) // L=atan(Y/X)+PI; // if((X>0)&(Y<0)) //L=2*PI-atan(Y/X); L=atan2(Y,X); H=sqrt(X*X+Y*Y)/cos(B)-N; int Bd,Bf,Ld,Lf; double Bm,Lm; B=180*B/PI;//B转化为度做单位 Bd=B; Bf=(B-Bd)*60; Bm=((B-Bd)*60-Bf)*60; L=180*L/PI;//L转化为度做单位 Ld=L; Lf=(L-Ld)*60; Lm=((L-Ld)*60-Lf)*60; cout<<"大地坐标系中纬度,经度,大地高(国际单位)分别为"< break; } } } 运行结果 坐标转换方法 空间直角坐标系如果其原点不动,绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系,这个过程就叫做坐标旋转。在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系,这种转换关系可以用转换矩阵来表示。 如图5.7,直角坐标系XYZ,P点的坐标为(x, y, z),其相应的在XY 平面,XZ平面,YZ平面分别为M(x, y,0),Q(x,0, z)和N(0, y, z)。 图5.7直角坐标系XYZ 设?表示第j 轴的旋转角度,R j (?) 表示绕第j 轴的旋转,其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。很明显当j 轴为旋转轴时,它对应的坐标中的j 分量是不变的。由于直角坐标系是对称的,下面我们以绕Z轴旋转为例推导其旋转变换矩阵,其它两个轴推导和它是一样的。 设图5.7的坐标绕Z轴逆时针旋转θ角度,新坐标为X 'Y'Z',如图5.8所示: 图5.8 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度 由于坐标中的z 分量不变,我们可以简化地在XY 平面进行分分析,如图 5.9所示: 图5.9坐标绕Z 轴逆时针旋转θ 角度的XY 平面示意图 点 M X 和点M X ' 分别是M 点在X 轴和X '轴的投影。如图5.9 cos cos() sin sin() X X X X x OM OM MOM OM y MM OM MOM OM ?θ?θ==∠=-??==∠=-? (5-1) cos cos sin sin X X X X x OM OM MOM OM y MM OM MOM OM ? ?'''''==∠=??'==∠=? (5-2) 把(5-1)式按照三角函数展开得: cos cos sin sin sin cos cos sin x OM OM y OM OM ?θ?θ ?θ?θ=+??=+? (5-3) 把(5-2)式代入(5-3)式得: cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ''=+??''=-+? (5-4) 坐标中的z 分量不变,即z = z'这样整个三维坐标变换就可以写成(用新坐标表 示旧坐标) cos sin sin cos x x y y x y z z θθ θθ''=+? ?''=-+??' =? (5-5) 把式(5-5)用一个坐标旋转变换矩阵R Z (θ) 表示可以写成: 空间直角坐标系与大地坐标系转换程序 #include (高二数学空间直角坐 标系 宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿(学生版) 编号SXBx2-2-3 主编人:余奎 审稿人:高二数学 组 定稿日:协编人:高二数学备课组使用人:课题:2.3.1 空间直角坐标系 考纲解读 学习内容学习目标高考考点考查题型 空间坐标系; 空间距离1.明确空间直角坐标系是如何建立;明确 空间中的任意一点如何表示; 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐 标。 1.空间坐标 系 2.空间距离 选择,填空 题、解答题 中分支问题 问题1:空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标,x轴、y轴、z轴叫作 坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=45°或 135°,∠yOz=90°. (3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标. (4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2:(1)平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定过程、表示方法? (2).一个点在平面怎么表示?在空间呢? 二、课内探究 探究一:确定空间内点的坐标 例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1 中,AD=3,AB=5,AA1=4, 建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标. 变式1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F点的坐标. 探究二:关于一些对称点的坐标求法 (,,) P x y z关于坐标平面xoy对称的点; (,,) P x y z关于坐标平面yoz对称的点; (,,) P x y z关于坐标平面xoz对称的点; (,,) P x y z关于x轴对称的点; (,,) P x y z关于y对轴称的点; (,,) P x y z关于z轴对称的点; 三、课后练习 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是(). A.(,,) P x y z中,, x y z的位置是可以互换的 B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系 C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同 2. 已知点(3,1,4) A--,则点A关于原点的对称点的坐标为(). A.(1,3,4) --B.(4,1,3) --C.(3,1,4) -D.(4,1,3) - 3.已知ABC ?的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7) A B C -,则ABC ?的重心坐标为 . 4.在空间直角坐标系中,给定点(1,2,3) M-,求它分别关于坐标平面,坐标轴和原点的对称点的坐标. 四、课后反思 空间立体几何建立直角坐标系 1.[2015·浙江]如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB = AC =2,A 1A =4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC ; (2)求二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值。 解析:(1)证明:设E 为BC 的中点,连接A 1E ,AE ,DE ,由题意得A 1E ⊥平面ABC ,所以A 1E ⊥AE 。 因为AB =AC ,所以AE ⊥BC 。 故AE ⊥平面A 1BC 。 由D ,E 分别为B 1C 1,BC 的中点,得DE ∥B 1B 且DE =B 1B ,从而DE ∥A 1A 且DE =A 1A ,所以A 1AED 为平行四边形。 故A 1D ∥AE 。 又因为AE ⊥平面A 1BC ,所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一:作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD =F ,连接B 1F 。 由AE =EB =2,∠A 1EA =∠A 1EB =90°, 得A 1B =A 1A =4。 由A 1D =B 1D ,A 1B =B 1B ,得△A 1DB 与△B 1DB 全等。 由A 1F ⊥BD ,得B 1F ⊥BD ,因此∠A 1FB 1为二面角A 1-BD -B 1的平面角。 由A 1D =2,A 1B =4,∠DA 1B =90°,得 BD =32,A 1F =B 1F =43 , 由余弦定理得cos ∠A 1FB 1=-1 8。 方法二:以CB 的中点E 为原点,分别以射线EA ,EB 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E -xyz ,如图所示。 不同空间直角坐标系的转换 欧勒角 不同空间直角坐标系的转换,包括三个坐标轴的平移和坐标轴的旋转,以及两个坐标系的尺度比参数,坐标轴之间的三个旋转角叫欧勒角。 三参数法 三参数坐标转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行,轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。实际应用中,因为欧勒角不大,可以用三参数公式近似地进行空间直角坐标系统的转换。公共点只有一个时,采用三参数公式进行转换。 七参数法 用七参数进行空间直角坐标转换有布尔莎公式,莫洛琴斯基公式和范氏公式等。下面给出布尔莎七参数公式: 坐标转换多项式回归模型 坐标转换七参数公式属于相似变换模型。大地控制网中的系统误差一般呈区域性,当区域较小时,区域性的系统误差被相似变换参数拟合,故局部区域的坐标转换采用七参数公式模型是比较适宜的。但对全国或一个省区范围内的坐标转换,可以采用多项式回归模型,将各区域的系统偏差拟合到回归参数中,从而提高坐标转换精度。 两种不同空间直角坐标系转换时,坐标转换的精度取决于坐标转换的数学模型和求解转换系数的公共点坐标精度,此外,还与公共点的分布有关。鉴于地面控制网系统误差在???? ??????+??????????=??????????000111222Z Y X Z Y X Z Y X ???? ??????+????????????????????---+??????????+=??????????000111111222000)1(Z Y X Z Y X Z Y X m Z Y X X Y X Z Y Z εεεεεε 不同区域并非是一个常数,所以采用分区进行坐标转换能更好地反映实际情况,提高坐标转换的精度。 X 的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛 一、圆的方程 1. 圆的标准方程: ______________________ , 圆心: ________, 半径:________. 2. 圆的一般方程: 圆心: 二、位置关系的判断 (1) 点与圆 由两点间的距离公式计算点到圆心的距离",比较",r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r, 则计算矿二 _________________ ,比较沪,尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 , 则计算 _____________________ ,与0比较大小. (2) 直线与圆 ① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离",比较 ",r 大小. ② 联立直线与圆方程,得到一元二次方程,根△判断: 'A (2)直线与圆相交求弦长 结合垂径定理和勾股定理,半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式:厂2=〃2+(_厂 2 2. 圆与圆位置关系常见考査角度 (1) 两圆相交求公共弦所在直线方程 设圆G :x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0, C2:x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 (0 — D? )x + (E] — £*2) y + F[—尸2 = 0 - (2) 两圆相交求公共弦长 求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离, 垂径定理、勾股定理结合求弦长. 四、轨迹方程 在平面直角坐标系中,点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 (X, y )满足的关系式. 五、空间直角坐标系Ovvz (右手直角坐标系) 如图1, 0点叫做坐标原点,牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. zn 六、空间直角坐标系中点的坐标 如图2,过点M 分别作垂直于X 轴,y 轴和Z 轴的平面,依 次交X 轴,y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴,y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ,y,刀. 有序实数组馆)* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标, 记作MS ,y, z ).其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ . -1 -- B? 1 "Z C' A ' C >1 \ >1 0 X 建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.空间直角坐标系坐标转换方法
空间直角坐标系与大地坐标系转换程序
(高二数学空间直角坐标系教学教材
空间立体几何建立直角坐标系
不同空间直角坐标系的转换
圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)
建立空间直角坐标系-解立体几何题