高二数学第一学期期末考试试题含答案(理科)
高二数学第一学期期末考试试题含答案(理科)
一.选择题
1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ?α D.l 与α斜交
2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－2
3．下列命题错误的是( )
A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”
B ．若命题p ：?x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0，则?p 为：?x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0
C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题
D ．“x =2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件
4．O 为空间任意一点，若OP
→＝34OA →＋18OB →＋18
OC →，则A ，B ，C ，P 四点( ) A ．一定不共面 B ．一定共面 C ．不一定共面
D ．无法判断
5.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→
； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→ 其中与向量BD 1→相等的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
7．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF
→的值为( ) A ．a 2
B.12a 2
C.14a 2
D.34a 2
8．已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →
＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →
为( ) A. 12a ＋12b ＋12c B. 12a －12b ＋12c
C ．－12a ＋12b ＋12c
D ．－12a ＋12b －12c
9.若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线12
2
=+m
y x 的离心率是( ) (A)
2
3 (B) 5 (C)
2
3或25 (D)
2
3
或5 10. 如图.二面角α－l －β为60°，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内， AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )
A ．2a B.5a C ．a D.3a
11.已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A. 2 B ．1 C ．1＋ 2
D ．2＋ 2
12.已知双曲线x 212－y 2
4＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )
A.? ????－33，33
B ．??????－33，33
C. (－3，3) D ．[－3，3]
二．填空题
13.命题“乌鸦都是黑色的”的否定为:______________________________. 14与双曲线x 216－y 2
4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程为________．
15.已知点A (－1,0)，B (1,0)，则使得∠APB 为直角的动点P 的轨迹方程为________．
16.已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)．则
|PA |＋|PF |的最小值是 ，取最小值时P 点的坐标 ．
三．解答题
17．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB
→，b ＝AC →。
(1)若|c |＝3，且c ∥BC
→，求向量c 。
(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值。
18、若1F 、2F 是椭圆14
122
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点， 且o
2160=∠PF F ，求21F PF ?的面积。
19．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a>0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
20.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点E 在AA 1上,点F 在CC 1上,且AE=FC 1=1. (1)求证:E,B,F,D 1四点共面;
(2)若点G 在BC 上,BG=2
3,点M 在BB 1上,GM ⊥BF,求直线EM 与AC 1所成的角余弦值
21.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 为PB 的中点，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.
(1)求二面角B —PD —A 的大小；
(2)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
22.已知椭圆:M 22
221(0)x y a b a b +=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
且点A 2,1)在椭圆M 上. 直线l 的斜率为2
2
,且与椭圆M 交于B 、C 两点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）求ABC ?面积的最大值.
高二数学第一学期期末考试答案（理科）
1.A
2.D
3.C
4.B
5.C
6.A
7.C
8.C
9.D 10.B 11.C 12. B 14. x 212－y 2
8＝1
15. x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)
16.
2
7
，)2,2( 17.(1)∵c ∥BC
→，BC →＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1，2)，
∴c ＝mBC
→＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )。
∴|c |＝(－2m )2＋(－m )2＋(2m )2＝3|m |＝3。 ∴m ＝±1。
∴c ＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)。 (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1。
又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－10
10，
即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－10
10。 19.解 p ：x2－8x －20≤0?－2≤x≤10， q ：x2－2x ＋1－a2≤0?1－a≤x≤1＋a. ∵p ?q ，q ?/ p ， ∴{x |－2≤x ≤10}
{x |1－a ≤x ≤1＋a }．
故有???
1－a ≤－2，1＋a ≥10，
a >0，
且两个等号不同时成立，解得a ≥9.
因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．
21.
(1)解 取AD 的中点O ，连接OP ，OE . 因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，
又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，且OP ?平面P AD ， 所以OP ⊥平面ABCD .
因为OE ?平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为四边形ABCD 是正方形， 所以OE ⊥AD ，
如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，
则P (0,0，2)，D (2,0,0)，B (－2,4,0)，BD
→＝(4，－4,0)，PD →＝(2,0，－2)．
设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则???
n ·BD →＝0，n ·
PD →＝0，
即?????
4x －4y ＝0，
2x －2z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2.于是n ＝(1,1，2)． 平面P AD 的法向量为p ＝(0,1,0)， 所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝1
2.
由题意知，二面角B －PD －A 为锐角， 所以它的大小为π
3.
(2)解 由题意知M ? ????
－1，2，22，C (2,4,0)，
MC
→＝?
????3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，MC →
〉|＝|n ·MC →||n ||MC →|
＝26
9.
所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为26
9.
【答案】解: (Ⅰ)由题意知22211
2
a b a ?
+=???=?，所以b =故所求椭圆方程为22
142
x y +
=………………………………….5分
(Ⅱ) 设直线l 的的方程为y x m =
+,则0m ≠.设1122(,),(,
),B x y C x y 代入椭圆方程并化简得2220x m ++-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ?=--=->,可得204m << . (*)
由(*)，得1,2x =
故12BC x =-==…..9分
又点A 到BC 的距离为d =分
故12ABC S BC d ?=
?= 22
(4)
2m m +-=≤=
当且仅当224m m =-,即m =(*)式. 所以ABC ?面积的最大值为2. ……………………