b
. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的
判别式判定：
①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，
设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由
方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交
点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为
()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
?-=+2121,()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ?=
-=-??
? ??-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和
2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c
bx ax y ++=2
可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值 （10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得
最大值（或最小值），即当a
b
x 2-=时，a b ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a
b
2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在
21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，
c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22
2
最小。
2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上，，， a <0时，抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为x=a
b
2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当?>0时，图像与x 轴有两个交点； 当?=0时，图像与x 轴有一个交点； 当?<0时，图像与x 轴没有交点。
二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如2
y ax
bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）
的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：
2.
2
y ax c
=+
的性质：
结论：上加下减。同左上加，异右下减
总结：
3.
()2
y a x h
=-
的性
质：
结论：左加右减。同左上加，异右下减总结：
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
总结：
二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标(
)h k ，
； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“同左上加，异右下减”．
三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2
y a x h k
=-+。
总结：
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得
到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ???
，其中2424b ac b h k a a -=-=
，．
四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方
向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶
点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
五、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值
244ac b a -．
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；a
b 同号同左上加
当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．a,b 异号异右下减
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；a,b 异号异右下减
当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．ab 同号同左上加
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 同左上加 异右下减
