2016年全国高中数学优质课：1.1正弦定理教学设计(人教A版必修5)

正

弦

定理教

学

设

计

《正弦定理》教学设计

一、教学内容分析

本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，

更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时更是处理可

转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。

本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的

基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，形成疑问，激发学生探究欲望，提出斜三角形的边

角关系的猜想；第二，带着疑问，对猜想进行验证，首先对特殊的斜三角形边角关系进行验

证和实验探究验证，其次是严密的数学推导证明；第三，得到正弦定理，解决引例，首尾呼

应，并学以致用，简单应用。

正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化，从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗

透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。

通过这三个层次，探索——发现——证明，从实际中来，到实际中去。通过课堂，体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。

二、教学目标设置

1、从已有三角形知识出发，通过观察、实验、猜想、验证、证明，从特殊到一般得到

正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法，并学会应用正弦定理解决斜三角

形的两类基本问题；

2、通过对实际问题的探索，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能

力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养学生的缜密思维；

3、通过自主探究、合作交流，亲身体验数学规律的发现过程，培养学生勇于探索、善

于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养；

4、培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角函数、正弦

定理等知识之间的联系体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、学情分析

本节课内容基本上安排在高一下学期或高二上学期讲授，学生在初中已经学过平面几何

的相关知识，并能够熟练地解直角三角形，必修四中也刚刚学过三角函数，对于新章节的理解上不会有太大问题。虽然有一定的观察分析能力和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度。所以，对于教师而言，应该提高学生的学习积极性，多设置思维引导点，带领学生一起分析问题并解决问题；在问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识解决新问题，并得到新知识。

四、教学策略分析

本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教学，在老师的引导下，

让学生探究、合作、交流、展示，尽可能多的质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和

发现的过程，形成思维。

五、重难点分析

本节课的重点是：正弦定理的发现、探究、证明以及两类主要的应用；

本节课的难点是：正弦定理的发现过程。

六、教学准备

制作多媒体课件；Z+Z 动态演示软件动画制作

七、教学过程分析

（1 ）实例引入，激发动

机引例：

1、如图，设 A 、 B 两点在河的两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工具，没法跨河

测量，利用现有工具，你能帮忙设计一个测量 A 、B 两点距离的

方案吗？

问题设计意图 :引导学生从熟知的直角三角形出发，解决实

际问题，为后续处理一般三角形埋下伏笔。

2、如果测量人员任意选取 C 点， ,测出BC的距离是54m ，

B45 , C 60 .问根据这些数据能解决测量者的问题吗？

根据题目中的叙述，很明显可以抽象成这样的一个数学模

型：在ABC 中， BC 54， B 45 , C 60 .求边长AB.

问题设计意图：对于一般三角形，学生比较熟悉转化为直角三角形解决，转化化归的思想为后续证明埋下伏笔。

再看这个数学问题，已知三角形的部分边长和内角，求其他边长和内角。这个问题其实是解斜三角形的边角关系问题。但是没有学过，我们知道在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，那么我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？

问题设计意图：通过实际问题引入，能够很好地激发学生的求知欲望。在新的问题产生时，学生根据已有的知识是迷茫的，有疑惑的，这个时候也正是产生知识缺陷，急需新知识

的时候，恰如其分的勾起了学生求知的欲望。

（ 2 ）实验探究，验证猜想

探究一：直角三角形边角关系

如图：在 Rt ABC 中， C 是最大的角，所对的斜边 c 是最大的边，探究边角关系。

在 Rt ABC 中，设 BC a, AC b, AB c ，根据正弦函数定义可得：

sin A a

; sin B b c c

a b

c

sin A sin B

又 sin C1

a b c

sin A sin B sin C

问题设计意图：从最特殊的直角三角形入手，作为后续探究的基础，也很容易得到。探究二：斜三角形边角关系

实验1

：如图，在等边

ABC

中，

AB C,

1:1:1，

3对应边的边长 a : b : c

a b c

是否成立？

验证

sin B

sin A sin C

实验 2 ：如图，在等腰ABC 中，A B 30, C 120 ，对应边的边长

a :

b :

c 1:1: 3 ，验证

a b c

是否成立？sin A sin B sin C

问题设计意图：一般斜三角型中特殊的三角形进行验证，由特殊到一般，实验 2 中，也渗透了作高，求出三边关系，为后续证明埋下伏笔。

过渡：如果说这两个特殊的三角不足以代表一切，再一般的斜三角形呢？

实验 3 ：借助多媒体演示，发现随着三角形的任意变换，a、b

、

c

的值相等。

a b c sin A sin B sin C 。

通过这样的一些实验，我们可以猜想

sin B sin C

sin A

过渡：我们虽然通过数学实验并借助于多媒体，得到了：对于斜三角形，

a b c

。但是并没有经过严密的数学推导，那么如何证明这个结论呢？

sin A sin B sin C

设计意图：从已有的知识结构出发，不让学生在思维上出现跳跃，逐层递进，通过已经

熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点，再对特殊的斜三角形进行验证，过渡到一

般的斜三角形边角关系的探究。 让学亲自体验数学实验探究的过程， 逐层递进，激发学生的

求知欲和好奇心，体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。

多媒体技术的引入演示， 让

学生更加直观感受到变换，加深理解。

（ 3 ）证明猜想，得到定理

1 、 证明方法 1 ——作高法

如图，在锐角三角形中，设 BC a, CA b, AB c 。

引入语言： 直接处理锐角三角形没法处理，

能够借助于已有的直角三角形，

通过添加辅

助线，使角和边出现在直角三角形中呢？

证明：在

ABC 中做 高线 CD,

C

则在 Rt ADC 和R t BDC 中

CD

bsinA, CD

asinB

即 bsinA asinB

A

a b

a c B

sinA

,同理可证：

sinA

sinC

,

D

sinB

a b c

sinA

sinB

sinC

那么在钝角三角形中是否成立呢？请同学们尝试着分组自己证明一下。

学生展示。

总结：我们把三角形边角关系的这条性质称为正弦定理（

law of sines

），即在任意一个三

角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 a b c

sinA

sinB

。、

sinC

过渡：多么完美的比例式， 无论三角形形状如何， 三条边与对角正弦的比值始终顽固的

相等， 但是比例值是多少呢？那么， 在这里， 除了这种平面几何的证明方法以外，

还有很多

的证明方法， 我们借助于三角形的外接圆， 再介绍一种证明三角形正弦定理得方法。

有直角

三角形的推导过程可以看出，

a 、

b 、 c

的比值相等，都等于 c ，即三角形的外接

sin A sin B sin C

圆半径。那么对于一般的三角形呢？

2 、证明方法 2 ——外接圆法

证明：做 ABC的外接圆 O, 过点 C连接圆心与圆交于点 D , 连接 AD , C设圆的半径为 R

∴CAD 为Rt , 且 b R sin D , 且 a∠D∠ B

∴ b2R sin B,即

b

2R sin B

同理 :

a c

2R,2R sin A sin C

∴

a b c

sin A sin B 2R

sin C A B

D

由此可得，任意三角形中，每一条边长和对角正弦的比值都等于三角形外接圆直径。

总结：因为时间有限，关于正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学可以在课下进行探索证明。通过这些实验和证明，我们已经明确，在任意三角形中，各边和它所对的角的正弦

a b c 的比相等，即

sinB 。

sinA sinC

设计意图：经历猜想到证明的过程，让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的，必须经过严密的数学推导进行证明才可以。在这个过程中，也进一步促进学生数学思维思维品质的提升。

（4 ）定理应用，解决引例

引语：现在请同学们，回过头来解决一下引例中的问题。

解：根据正弦定理，得：

AB BC ,A180456075

sin C sin A

AB BC sin C54sin 60

27362 sin A sin 75

答： A、 B 两点间的距离是27362。

过渡：这样就很好的利用了正弦定理中的三角形边角量化关系，根据已知的量得到未知的量，这样的数学处理过程就称为解三角形。

定义：一般地，把三角形的三个角A、 B、 C 和它们的对边a、 b、 c叫做三角形的元

素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

总结：求角度也常借助于三角形的内角和公式。

设计意图：让学生了解三角形的概念，形成知识的完备性。回过头来，解决引例中的问

题，让学生体会学习正弦定理新知识解决实际问题的方便， 激发学生不断探索新知识的欲望。

（ 5 ）学以致用，解决问题

引语：根据正弦定理这个等式，如果把期中某一个量看做未知量，那么根据方程思想，

我们就可以解决三角形的哪些问题呢？

1、如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一个角和另两边。如：

bsin A a

；

sin B

2、如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两个角。如：

sin A

a

sin B ;

b

例 1：在

ABC 中，已知 A 30，B 45，a 2cm, 解三角形。

分析：已知三角形中两角及一边，

求其他元素， 第一步可由三角形内角和求出第三个角，

再由正弦定理求其他两边。

解：由三角形内角和可 得： C 180 30 45 105

由正弦定理

a

b

c 得：

sinC

sin A sin B

a sin B 2sin 45

2

b

2

sin A sin 30

a sinC 2 sin105

2 sin 60

45

2

c

sin 30

sin 30 6

sin A

例 2 ：在 ABC 中，已知 a 2 2，b

2 3，A 45，解三角形。

分析：已知三角形两边与其中一边的对角，第一步可以根据正弦定理得到

B 的正弦，

会出现两种情形，接下来就要进行分类讨论。

解：

由正弦定理

a b c

sin A sin B 得：

sin C

b sin A 2 3 sin 453

sin B

a 2 22

B0，180

B60 或120

当 B60 时，C75

a sin C 2 2 sin 7522 sin 3045

2 c

sin A sin 45sin 45

6

当 B120时， C15

a sin C 2 2 sin 1522 sin 4530

2 c

sin A sin 45sin 45

6

设计意图：让学生解决问题，提升学习的热情，体验学习的乐趣。（6）小结

1、正弦定理的内容（

a b c

2R ）及其证明的思想方法；sin A sin B sin C

2 、正弦定理的主要应用：已知三角形的两角及一边，求其他元素；已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他元素；

3、转化化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想。

设计意图：让学通过自己的语言表达学习的收获，在本节课即将结束的时候，让学生

自我总结，加深印象，培养学生的自我总结能力，也帮助学生重新回顾重点知识和数学思想。

（ 7 ）作业设计

1 、正弦定理的其他证明方法；

2、通过以下题目，在已知三角形两条边和其中一条的对角的条件下探究三角形

解的情况：

在ABC 中，已知 A45 ,a 6 ， b3，求 B;

在ABC 中，已知 A45 , a

6

3，求 B;

， b

2

在ABC 中，已知 A 45 , a 1

3，求 B;

， b

2

设计意图：课后查阅资料，了解正弦定理的其他过程，让课内知识延伸到课外，通过这样的方式促进学生可以获取更多的与本节课相关的知识，拓宽知识面。预留一个探究作业，对于学生下节课的学习起到一个承上启下的过渡作用。

《正弦定理》点评

本节课以实际问题作为驱动，创设了问题情境，明确了学习目标。从特殊到一般，猜想正弦定理，然后证明正弦定理。猜想、证明的流程自然、有序、明了，体现了学习的认知规律，进行了思想方法的渗透，展示了数学内在的逻辑力量。“先猜后证”是数学研究的一般模式，用之于数学教学也是合情合理的。在学生大胆猜测结论的过程中，还对定理的发现机制进行了设计，从形式美的角度大胆猜测，让学生学会欣赏数学结构之美、之称。然后回归引例，首尾呼应，通过两个例题，让学初步体会学有所成，能够及时应用，收获成就感。

课堂教学中，使用多媒体课件和动态演示，以及通过计算器的应用，辅助于课堂教学，学生手脑并用，两者结合的恰到好处。

从整体上看，本节课以问题作为知识产生之源，在猜想证明中分析问题解决问题，在变式训练中巩固知识。从数学知识掌握的连续性上看，老师很善于做数学的“减法” ，用已有的知识解决新的知识。

提出问题是一门学科的真正进步。从育人的角度而言，本节课在问题作为引领的前提下，让学生充分参与课堂教学，经历探索、发现、解决问题的过程，从而体会数学的价值，享受数学学习的乐趣。可以看出本节课设计的理念是新的，符合新课程标准的理念倡导，是一节优秀的示范课。