高中数学-直线与圆的位置关系练习
高中数学-直线与圆的位置关系练习题
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y 2
=4相切,那么a 的值是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析：考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a 要与圆(x-1)2+y 2
=4相切,则a=3或-1,因为a ＞0,所以a=3. 答案：C
2.直线l:4x-3y+5=0与圆C:x 2+y 2
-4x-2y+m=0无公共点的条件是m 属于( )
A.(-∞,0)
B.(0,5)
C.(1,5)
D.(1,+∞) 解析：由圆心(2,1)到直线l:4x-3y+5=0的距离大于圆的半径可得. 答案：C
3.过点M(3，2)作⊙O：x 2+y 2
+4x-2y+4=0的切线方程是____________.
解析：作图知,所求切线不可能垂直x 轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y-2=k(x-3)，即kx-y+2-3k=0,由
2
2)1(|
3212|-+-+--k k k =1,得k=
12
5
或k=0,代入即可求得. 答案：y=2或5x-12y+9=0
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知直线l:ax-y-b=0,圆C:x 2+y 2
-2ax-2by=0,则l 与C 在同一坐标系中的图形只可能是( )
图2-3-1
解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断.注意到圆的方程的特点,易知圆C 过原点,所以A 、C 均不正确;再由B 、D 两选项和圆心、直线的斜率知B 正确. 答案：B
2.直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)与圆x 2+y 2
=2的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.相交
D.不确定
解析：方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n=0.由于圆
心(0,0)到该直线的距离为22|
|n
m n m ++,又222
222)(2)(n m n m n m n m +--=-++＜0(m≠n),∴d＜r,即直线与圆相交.
方法二:易知直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)恒过点(-1，-1)，且点(-1，-1)在圆上，又m≠n，所以直线与圆不相切.所以直线与圆相交. 答案：C
3.过点(2,1)的所有直线中,被圆x 2+y 2
-2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为( ) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0 解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质.直线被圆截得的最长弦应是直径,故问题即求过
(2,1)和圆心的直线方程.圆的方程为(x-1)2+(y+2)2
=5,直线被圆截得的弦最长时,应过圆心
(1,-2).由两点式,得直线方程为3x-y-5=0. 答案：A
4.已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2
=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)证明不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；
(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
(1)证明:∵直线过定点(3，1)，(3-1)2+(1-2)2
=5＜25, ∴点(3，1)在圆的内部.
∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交. (2)解:从(1)的结论知当直线l 过定点M(3，1)且与过此点的圆O 的半径垂直时，l 被圆所截得的弦长d(A,B)最短，由垂径定理知d(A,B)=54])21()13[(25222222=-+--=-OM r ,此时k l =
OM
k -1
. 由3
1121112---=++-
m m =2,得m=43
-,代入得l 的方程为2x-y-5=0.
5.已知圆x 2
+y 2
-6mx-2(m-1)y+10m 2
-2m-24=0(m∈R ). (1)求证：不论m 为何值，圆心总在同一条直线l 上. (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离?
(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等.
(1)证明:将圆的方程配方得(x-3m)2+［y-(m-1)］2
=25. 设圆心为(x,y),则??
?-==,
1,
3m y m x
消去m 得l:x-3y-3=0.
∴圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.
(2)解：设与l 平行的直线是l′:x -3y+b=0,圆心(3m,m-1)到直线l′的距离为d=
10
|3|10
|
)1(33|b b m m +=
+--.
∵半径r=5,∴当d ＜r ，即3105--＜b ＜3105-时，直线与圆相交；当d=r ，即b=±3105-时，直线与圆相切；当d ＞r 时，即b ＜3105--或b ＞3105-时，直线与圆相离.
(3)证明:设对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1:x-3y+b=0，由于圆心到直线l 1的距离d=
10
|3|b +，则弦长=222d r -与m 无关，故截得的弦长相等.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.圆x 2+y 2
-4x=0在点P(1,3)处的切线方程是( )
A.x+y 3-2=0
B.x+y 3-4=0
C.x-y 3+4=0
D.x-y 3+2=0 解：点P(1,3)在圆x 2
+y 2
-4x=0上,所以点P 为切点, 从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又因为圆心为(2,0),所以
1230--·k=-1,解得k=3
3
,所以切线方程为x-3y+2=0. 答案：D
2.已知直线l 过点(-2，0)，当直线l 与圆x 2+y 2
=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )
A.(22,22-)
B.(2,2-
)
C.(42,42-
) D.(8
1,81-) 解析：圆x 2
+y 2
=2x 可化为(x-1)2
+y 2
=1,当直线l 的斜率不存在时,显然直线与圆不相交,不合
题意;当直线的斜率存在时,设直线的点斜式方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.因为直线和圆相交,故圆心到直线的距离小于半径,即1
|3|2+k k ＜1,解得k 2
＜
8
1
,所以k∈(42,42-). 答案：C
3.过点(1,2)的直线l 将圆(x-2)2
+y 2
=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l
的斜率k=_____________.
解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线与圆心(2,0)和点(1,2)垂直,由两点间连
线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1,2)的直线的斜率为
22
12
-=-,故所求直线的斜率为
22. 答案：
2
2 4.直线3x+y-23=0截圆x 2
+y 2
=4所得的弦长是( )
A.1
B.3
C.2
D.32
解析：本题考查点到直线的距离公式和圆的弦长公式.圆心(0,0)到直线323-+y x =0
的距离为
32
3
2=,由圆的半径为2,结合圆中弦长公式可得:所求圆的弦长为22)3(22-=2.
答案：C
5.直线l 过点P(0，2)，且被圆x 2+y 2
=4截得的弦长为2，则直线l 的斜率为( ) A.
2
2 B.±2 C.±
3 D.±33
解析：设直线l:y-2=kx,即kx-y+2=0，由题意,得［
2
2)1(|200|-++-k ］2+12=22
,
解得k=±
3
3
. 答案：D
6.若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=r 2内一点,则直线x 0x+y 0y=r 2
和该圆的位置关系是______________.
解析：考查点与圆、线与圆的位置关系的判断方法.由已知x 02+y 02＜r 2,又(0,0)到x 0x+y 0y=r
2
的距离为d=r r y x r 220
202
>+=r,
∴直线与圆相离.
答案：相离
7.由动点P 向圆x 2+y 2
=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B,∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为______________.
解：因为∠APB=60°,故∠APO=30°,设P(x,y),因为sin∠APO=||||PO AO ,即2
2
12
1
y
x +=,
所以x 2
+y 2
=4.
答案：x 2+y 2
=4
8.已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x-3y=0上,且被直线y=x 截得的弦长为72，求圆C 的方程.
解：设圆心坐标为(3m ，m),∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y=x 的距离为
22
|2|=m |m|.
由半径、弦心距的关系得9m 2
=7+2m 2
,
∴m=±1.
∴所求圆C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=3,(x+3)2+(y+1)2
=3.
9.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km 处,受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 解：以台风中心为原点O,东西方向为x 轴,建立如图所示坐标系,其中,取10 km 为长度单位.
这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2+y 2
=9.轮船航线所在直线l 的方程为4x+7y-28=0,问题转化为圆O 与直线l 有无公共点问题.由于d=
65
|
2800|-+≈3.5＞半径3,
所以这艘轮船不用改变航线,不会受到台风影响.