高三教学质量检测(一)理科数学试题答案

佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

9．< 10．8，70 11．

12 12．12- 13．4 14．(2,2)3k ππ- 15．9

2

三、解答题:本大题共6

小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）

4cos ,5B =且(0,180)B

∈，∴3

sin 5

B ==．-------------------------------2分

cos cos(180)cos(135)C A B B =-

-=-

------------------------------- 3分 243cos135cos sin135sin 2

525B B =+=-

+10

=-． -------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin

C === -------------------------------8分 由正弦定理得

sin sin BC AB

A C =

72

AB =，解得14AB =． -------------------------------10分 在BCD ?中，7BD =， 2224

7102710375

CD =+-???=，

所以CD = -------------------------------12分

17．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++?=，所以高为0.3

0.065

=．频率直方图如下：

-------------------------------2分

第一组的人数为

1202000.6=，频率为0.0450.2?=，所以200

10000.2

n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300?=，所以195

0.65300

p =

=． 第四组的频率为0.0350.15?=，所以第四组的人数为10000.15150?=，所以1500.460a =?=．

-------------------------------5分

（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． -------------------------------6分 随机变量X 服从超几何分布．

031263185(0)204C C P X C ===，121263

1815

(1)68

C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，301263

1855

(3)204

C C P X C ===． -------------------------------10分

-------------------------------12分

∴数学期望5153355012322046868204

EX =?

+?+?

+?=．

-------------------------------14分 18．

（本题满分12分）

解：

（Ⅰ）∵11S a

=，212122S a a a =+=

+，3123

136S a

a a a =++=+，-------------------------------2分 =

=

解得11a =，故21n a n =-； ---------------------------------------4分

（Ⅱ）211(21)()222n

n n n n a n b n -=

==-， ---------------------------------------5分 法1：1231111

1()3()5()(21)()2222

n n T n =?+?+?++-?， ①

①12?得，2341111111

1()3()5()(23)()(21)()222222

n n n T n n +=?+?+?++-?+-?， ②

①-②得，231111111

2()2()2()(21)()222222n n n T n +=+?+?++?--?

11111(1)

113121222(21)()12222212

n n n n n n +-+--=?---?=---， ---------------------------------------10分 ∴42123

33222n n n n

n n T -+=--=-． ---------------------------------------12分 法2：12111

2222n n n n n n

a n

b n --===?-

， 设112n

n k k k F -==∑，记1

1

()()n k k f x kx -==∑，

则()1111(1)()1(1)n n n

n k

k n

k k x x n nx x f x x x x x +==''??--+-??'==== ? ?--????

∑∑， ∴1

14(2)2n n F n -??

=-+ ?

??

， ---------------------------------------10分

故111(1)

1123224(2)13122212

n n n n n n n T F n --+=-=-+?-+=--． ---------------------------------------12分 19．（本题满分14分） 解：法1：（Ⅰ）连结BD ，

∵PA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，

∴BD ⊥平面PAC ，

又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ?平面NEF ，

∴平面PAC ⊥平面NEF ；---------------------------------------4分 （Ⅱ）连结OM ，

∵//PC 平面MEF ，平面PAC 平面MEF OM =，

∴//PC OM ， ∴

1

4

PM OC PA AC ==，故:1:3PM MA = -------------------------------8分 （Ⅲ）∵EF ⊥平面PAC ，OM ?平面PAC ，∴EF ⊥OM ，

在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴NO EF ⊥，

∴MON ∠为所求二面角M EF N --的平面角， ---------------------------------------10分 ∵点M 是PA 的中点，∴2AM NC ==，

所以在矩形MNCA 中，可求得42MN AC ==，6NO =

，22MO =， --------------------12分

在MON ?中，由余弦定理可求得22233

cos 233

MO ON MN MON MO ON +-∠==-??，

∴二面角M EF N --的余弦值为33

33

-． ---------------------------------------14分 法2：（Ⅰ）同法1；

（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ， ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，

设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，

所以00

n ME n EF ??=???=??，即420220x y mz x y +-=??-+=?，令1x =，则1y =，6z m =，

故6

(1,1,)n m

=，

∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ?=，即24

440m

+-=，解得3m =，

故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；故:1:3PM MA = --------------------------8分

（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，

则00

m EN m EF ??=???=??，即220220y z x y +=??-+=?，令1x =，

则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，

∴33

cos ,33311

m n <>=

=-?， ∴二面角M EF N --的余弦值为33

-．-------14分 20．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为2

2

2

x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴2

d b ==，即2b =， ---------------------------------------1分 又3c

e a =

=，即3a c =，222a b c =+，解得3a =，1c =， 所以椭圆方程为22

132

x y +=． ---------------------------------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠， (3,0)A -，(3,0)B ，则2200132x y +=，即2

200223

y x =-， 则0103k x =+，0

203

k x =-， ---------------------------------------4分

即22

2000

122

22000222(3)2

333333

x x y k k x x x --?====----， ∴12k k 为定值2

3

-． ---------------------------------------6分

（Ⅲ）设(,)M x y ，其中[3,3]x ∈-．

由已知

222

OP OM

λ=及点P 在椭圆C 上可得22

222222

2

2633()

x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2

2

2

2

(31)36x y λλ-+=

，其中[x ∈． -------------------------------------8分

①当3

λ=

时，化简得2

6y =， 所以点M

的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段； --------------------9分

②当λ≠22

22

166313x y λλ+=-

，其中[x ∈，-------------------------------------11分

当03

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y

轴上的双曲线满足x ≤≤

1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x

轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ---------------------------------------14分

21．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）∵函数()f x 过点(1,2)-，∴(1)2f a b c -=-+-=， ① 又2

()32f x ax bx c '=++，函数()f x 点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=， ∴(1)2(1)0f f =-??

'=?，∴2

320

a b c a b c ++=-??++=?， ②

由①和②解得1a =，0b =，3c =-，故 3

()3f x x x =-； ---------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2

()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±， ∵(3)18f -=-，(1)2f -=，(1)2f =-，(2)2f =， ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-，

∴对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x ，12|()()|20f x f x -≤，

∴20t ≥，从而t 的最小值为20； ---------------------------------------8分

（Ⅲ）∵2

()32f x ax bx c '=++，

则 (0)(1)32(1)32f c f a b c f a b c '=??

'-=-+??'=++?

，可得6(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-．

∵当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，∴(1)1f '-≤，(0)1f '≤，(1)1f '≤， ∴6||(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-(1)(1)2(0)4f f f '''≤-++≤， ∴23a ≤

，故a 的最大值为23

，

当2

3a =时，(0)1

(1)221(1)221

f c f b c f b c '?==?'-=-+=?

?

'=++=?

，解得0b =，1c =-， ∴a 取得最大值时()3

23

f x x x =-． ---------------------------------------14分