初一数学绝对值知识点与例题
绝对值的性质及化简
【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）
【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根
据性质去掉绝对值符号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0.
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负
号，绝对值是5.
【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-
②(0)(0)a a a a a ≥?=?-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：|a|≥0
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
【绝对值的其它重要性质】
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-；
（3）ab a b =?；
a a
b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；
（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．
【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。
【绝对值不等式】
（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；
（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：
A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】
例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。
解：由绝对值的非负性可知x－2＝ 0，y－3＝0；即：x=2，y =3；
所以x+y=5
判断必知点：①相反数等于它本身的是 0
②倒数等于它本身的是±1
③绝对值等于它本身的是非负数
【例题精讲】
（一）绝对值的非负性问题
1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.
2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =
【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。
总结：若干非负数之和为0， 。 【巩固】若7322102
m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a
2)23(223222+??????---． 其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .
（二）绝对值的性质
【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）
A ．11a
B ．-11a
C ．-3a
D ．3a
【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A ．1，0
B ．正数
C ．非正数
D ．非负数
【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）
A ．7或-7
B ．7或3
C ．3或-3
D ．-7或-3
【例4】若1-=x x
，则x 是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．非正数
【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）
A ．2
B ．2或3
C ．4
D ．2或4
【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）
A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6
【例8】若|x+y|=y-x，则有（）
A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0
C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0
【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）
【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______
若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________
【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________
【例15】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，
则下列各式：
①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c
c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤
b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．
（请填写番号）
【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc
+++的值
（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）
零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．
【例题】阅读下列材料并解决相关问题：
c a 0b
我们知道()()()
0000x x x x x x >??==??-
12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）
，在有理数范围内，零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-??=-
（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++-
解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．
（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；
当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6；
当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．
【巩固】化简
1. 12x x +++
2. 12m m m +-+-的值
3. 523x x ++-．
4. (1)12-x ；
变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。
（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．
【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.
并回答下列各题：
(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .
(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 .
(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 .
(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .
(5) 若1232008x x x x -+-+-++-L 的值为常数，试求x 的取值范围．
（五）、绝对值的最值问题
例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、
1）非负数：0和正数，有最小值是0
2）非正数：0和负数，有最大值是0
3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0
4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，
-|x+m|≤0有最大值是0
（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）
5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n
-|x+m|+n≤n，有最大值是n
(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，
例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
解：1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3
例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3
思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则
1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：
可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分
1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
3）当-1
5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
我们发现：
当x<-1时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3
当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3
所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时： -1≤x≤2
解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3
评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。
例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题
零点值）
1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3）当-13
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
4）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
5）当-11
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
6）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
可知：
当x<-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
当x=-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
当-13 当x=-11时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25 当-11 当x=12时 |x+11|+|x-12|+|x+13|= 48 当x>12时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48 观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11 解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12 可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25 。 评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。 例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 分析: 回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4 （1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 （2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 （3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4 （4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 （5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10 根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值 解：根据绝对值的化简过程可以得出 当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6 当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4＜2x+8≤6 当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4 当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 4＜2x-2 ＜6 当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6 则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3 归档总结： 若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值 若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值 例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？ 分析：在数轴上表示出A点-13，B点-11，C点12 设点D表示数x 则DA=|x+13| DC=|x+11| DB=|x-12| 当点C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC 当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC＞AC 当点D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC＞AC 当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC 当点D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD＞AC 当点D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BC＞AC 当点D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD＞AC 综上可知当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25 解：令x+11=0 x-12=0 |x+13=0 则x=-11 x=12 x=-13 将-11 ，12 ，-13从小到大排练为-13＜-11＜12 ∴当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间的距离即AC=12-(-13)=25 【例题6】 |x-1|的最小值 |x-1|+|x-2|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【解】： 当x=1时，|x-1|的最小值是0 当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值1 当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0 当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1 当x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值6=4+2 当3≤x≤4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1 当x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4+2 当4≤x≤5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1 当x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2 当5≤x≤6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1 【解法2】：捆绑法 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10| =（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|）+（|x-5|+|x-6|）若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间 |x-2+|x-9|的和最小，可知数x在数2和数9之间 |x-3|+|x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间 |x-4|+|x-7|的和最小，可知数x在数4和数7之间 |x-5|+|x-6|的和最小，可知数x在数5和数6之间 ∴若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6）都可以。 总结： 若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值 若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值 或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以 若想求出最小值可以求关键点即可求出 【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值 （2）已知|x|≤3，求x的取值范围 （3）已知|x|＜3，求x的取值范围 （4）已知|x|≥3，求x的取值范围 （5）已知|x|＞3，求x的取值范围 【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离， （1）若|x|=3，则x=-3或x=3 （2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|≤3，则-3≤x≤3（3）若|x|＜3，则-3＜x＜3 （4）数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|≥3，则x≤-3 或x≥3 （5）若|x|＞3，则x＜-3或x＞3 【解】：（1）x=-3或x=3 (2) -3≤x≤3 (3 ) -3＜x＜3 (4 ) x≤-3或x≥3 (5 ) x＜-3或x＞3 【例题8】 （1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【分析】：从-3到3之间的所有数的绝对值都≤3 所以 （1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3；和为0 （2）整数值有-2，-1,0,1,2 ；和为0 【解】：(1) ∵|x|≤3 ∴-3≤x≤3 ∵x为整数 ∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3 ∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0 (2) ∵|x|＜3 ∴-3＜x＜3 ∵x为整数 ∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3 ∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0 【乘方最值问题】 （1）当a取何值时，代数式（a-3)2有最小值，最小值是多少？ （2）当a取何值时，代数式 (a-3)2+4有最小值，最小值是多少？ （3）当a取何值时，代数式(a-3)2-4有最小值，最小值是多少？ （4）当a取何值时，代数式-（a-3)2有最大值，最大值是多少？ （5）当a取何值时，代数式- (a-3)2+4有最大值，最大值是多少？ （6）当a取何值时，代数式-(a-3)2-4有最大值，最大值是多少？ （7）当a取何值时，代数式4- (a-3)2有最大值，最大值是多少？ 分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)2为非负数，即（a-3)2≥0，则-（a-3)2≤0 可以进一步判断出最值 解：（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2有最小值是0 （2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2+4有最小值是4 （3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2-4有最小值是-4 （4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2有最大值是4 （5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2+4有最大值是4 （6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2-4有最大值是4 (7 ) 4-（a-3)2可以变形为- (a-3)2+4，可知如（5）相同，即当a-3=0， 即a=3时，4-（a-3)2有最大值是4（这里要学会转化和变通哦） 评：很好理解掌握a2即-a2的最值是解决本题的关键 归纳总结： 若x为未知数，a,b为常数，则 当x取何值时，代数式(x+a)2+b有最小值，最小值是多少 当x取何值时，代数式-(x+a)2+b有最大值，最大值是多少 ------------------------------------------------------------------------------------ 【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？ 探究：设点A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a、b、c、d、x，使M 到A、B、C、D距离和最小。 MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+ lx-cl+|x-d| 其中MA+MB=|x-a|+|x-b|，由绝对值的几何意义知 当a≤x≤b时，MA+MB值最小，（汽车站A、B到M得距离和=AB） 当d≤x≤c时，MC+MD值最小，（汽车站C、D到M得距离和=CD） 综上所述，当d≤x≤c时，MA+ MB+ MC+MD的值最小，(要使A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小)即加油站M应建在线段CD上。 【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左 到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？ 探究：加油站M 应建在A3汽车站． 【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An 共n 个汽车站（从 左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？ 探究：当n 为奇数时，加油站M 应建 在汽车站处； 当n 为偶数时，加油站M 应建在线段 上。(即此两站之间) 【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。 探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x 的点，使它到表示1、2、…、617各点的距离之和最小。 根据【探究3】的结论，当x=309时，原式的值最小。最小值是 |309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+…+|309-617| =308+307+…+1+1+2+…+308 =95172. ---------------------------------------------------------------------------------- 【课后练习】 1.（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，2+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值。 （4）求987-+-+-x x x 的最小值。 2．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的 最大值与最小值． 3、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 4．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )． A ．a>b B ．a=b C ．a D ．a ≥b 5 . 利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到-3 的距离之和，它表示两条线段相加： ⑴当x> 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大； ⑵当x< 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大； ⑶当 ≤x ≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是 一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。 因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。 6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x 到-7的距离与x 到1的距离之差 它表示两条线段相减： ⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ； ⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ； ⑶当 x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。 因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值 ；当x 时， 有最小值 ； 7．设0=++c b a ，0>abc ，则的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 8．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤， 则a c c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ． c b a b a c a c b +++++ 绝对值（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0) x x x x ≥??-????≤?；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈ 或 2利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x | 对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 3利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2 x 可在两边脱去绝对值 符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时 还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负 数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方 去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x － 2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝 对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去 绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式 来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等 式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这 种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观 化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对 值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简 单化，此解法适用于| |||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<(m 为正常数) 类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 （一）、根据题设条件 例1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（ ）。 （A ）2-x （B ）2+x （C ）-2+x （D ）-2-x 思路分析：由x<-1可知x-2<-3<0可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解：2-｜2-｜x-2｜｜=2-｜2-(2-x)｜=2- ｜x ｜=2-(-x)=2+x ∴ 应选（B ）． 归纳点评:只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝 对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． （二）、借助数轴 例2：实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（ ） （A ）-a （B ）2a-2b （C ）2c-a （D ）a 思路分析:由数轴上容易看出b 解：原式 ∴应选（C）． 第一章有理数 （一）正负数 1．正数：大于0的数。 2．负数：小于0的数。 3．0即不是正数也不是负数。 4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π） 2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。 （三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。 （四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。 2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5． a?b = a +（?b）减去一个数，等于加这个数的相反数。 （五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab= b a 4．乘法结合律：（ab）c = a （b c） 5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作a n 。（乘方的结果叫幂，a 叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是 初中数学知识点汇总（最新版） 初中数学知识点总汇 一、数与代数A：数与式： 1：有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2：实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 【绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 初一数学知识点归纳 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式 2. 列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成2 3 a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a 3 的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和 b-a . 3. 几个重要的代数式：（m 、n 表示整数） （1）a 与b 的平方差是： a 2 -b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ； （2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、 n 、n+1 ； （4）若b ＞0，则正数是:a 2 +b ，负数是： -a 2 -b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； 2017初一上册数学知识点归纳整理 第一章有理数 （一）正负数 1.正数：大于0的数。 2.负数：小于0的数。 3.0即不是正数也不是负数。 4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π） 2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。 （三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。 4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。（四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。 2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b=b+a两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5．a-b=a+（-b）减去一个数，等于加这个数的相反数。 （五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab=ba 4．乘法结合律：（ab）c=a（bc） 5．乘法分配律：a（b+c）=ab+ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作an。（乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 3．同底数幂相乘，底不变，指数相加。 4．同底数幂相除，底不变，指数相减。 （八）有理数的加减乘除混合运算法则 1．先乘方，再乘除，最后加减。 2．同级运算，从左到右进行。 3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 （九）科学记数法、近似数、有效数字。 第二章整式（一）整式 1．整式：单项式和多项式的统称叫整式。 2．单项式：数与字母的乘积组成的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 初中数学必考知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两 个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于 负数。 绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数 比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数。 平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项： 第一章有理数 1.1正数和负数 以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数. 以前学过的0以外的数叫做正数. 数0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界. 在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1.2.1有理数 正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数. 1.2.2数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达. 注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可. ⑵同一根数轴,单位长度不能改变. 一般地,设是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 1.2.3相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称. 在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数. 1.2.4绝对值 一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数. 比较有理数的大小：⑴正数大于0,0大于负数,正数大于负数. ⑵两个负数,绝对值大的反而小. 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法 有理数的加法法则： ⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加,仍得这个数. 两个数相加,交换加数的位置,和不变. 加法交换律：a+b=b+a 三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 1.3.2有理数的减法 有理数的减法可以转化为加法来进行. 有理数减法法则： 减去一个数,等于加这个数的相反数. a-b=a+(-b) 1.4有理数的乘除法 1.4.1有理数的乘法 有理数乘法法则： 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. 任何数同0相乘,都得0. 初一上册数学知识点 第一章有理数 1正数、负数、有理数、相反数、科学记数法、近似数 2数轴：用数轴来表示数 3绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 4正负数的大小比较：正数大于零，零大于负数，正数大于负数，绝对值大的负数值反而小。 5有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值； 互为相反数的两数相加为零； 一个数加上零，仍得这个数。 6有理数的减法（把减法转换为加法） 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 7有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同零相乘，都得零。 乘积是一的两个数互为倒数。 8有理数的除法（转换为乘法） 除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 9有理数的乘方 正数的任何次幂都是正数； 零的任何次幂都是负数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 10混合运算顺序 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。 第二章整式的加减 1 整式：单项式和多项式的统称； 2整式的加减 （1）合并同类项 （2）去括号 第三章一元一次方程 1 一元一次方程的认识 2 等式的性质 等式两边加上或减去同一个数或者式子，结果仍然相等； 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 3 解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一 第四章图形认识初步 1 几何图形：平面图和立体图 2 点、线、面、体 3 直线、射线、线段 两点确定一条直线； 两点之间，线段最短 4 角 角的度量度数 角的比较和运算 补角和余角：等角的补角和余角相等 最新初一数学下册知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 1 初一数学（下）应知应会的知识点 二元一次方程组 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.注意：一般说二元一次方程有无数个解. 2．二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组. 3．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）. 4．二元一次方程组的解法： （1）代入消元法；（2）加减消元法； （3）注意：判断如何解简单是关键. ※5．一次方程组的应用： （1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之 则“难列易解”； （2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值； （3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系. 一元一次不等式（组） 1．不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式. 2．不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变. 3．不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集. 4．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b ＞0或ax+b ＜0 ，(a ≠0). 5．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不 等式性质3的应用；注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点. 6．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不 等式组；注意：ab ＞0 ? 0b a >? ???>>0b 0a 或???<<0b 0 a ； ab ＜0 ? 0b a < ? ?? ?<>0b 0a 或???><0b 0a ； ab=0 ? a=0或b=0； ???≤≥m a m a ? a=m . 7．一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次 不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集. 8．一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a ＞b a x b x a x >∴???>>是不等式组的解集 b x b x a x <∴???<<不等式的组解集是 a b > a b > 初一数学知识点全总结 第一章有理数 1.1 正数与负数 在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数negative number。 与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数positive number根据需要，有时在正数前面也加上“+”。 1.2 有理数 正整数、0、负整数统称整数integer，正分数和负分数统称分数fraction。 整数和分数统称有理数rational number。 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴number axis。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点origin。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数opposite number。例：2的相反数是-2;0的 相反数是0 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值absolute value,记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个 负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 乘积是1的两个数互为倒数。 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。mì 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂power。在a的n次方中，a 叫做底数base number，n叫做指数exponent。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。 把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，用的就是科学计数法。 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字significant digit。 第二章一元一次方程 2.1 从算式到方程 方程是含有未知数的等式。 方程都只含有一个未知数元x，未知数x的指数都是1次，这样的方程叫做一元一次方程linear equation with one unknown。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解solution。 等式的性质： 1.等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等。 2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 2.2 从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论1 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 第三章图形认识初步 3.1 多姿多彩的图形 几何体也简称体solid。包围着体的是面surface。 初一数学知识点汇总 ?1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是数，且a≠0)。 3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件： (1)它是等式; (2)分母中不含有未知数; (3)未知数最高次项为1; (4)含未知数的项的系数不为0. 4.等式的性质： 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。 等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。 等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。 5.合并同类项 (1)依据：乘法分配律 (2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计 算后合并成一项 (3)合并时次数不变，只是系数相加减。 6.移项 (1)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 (2)依据：等式的性质 (3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。 7.一元一次方程解法的一般步骤： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 一般解法： (1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数; (2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号) (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号 (4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式; (5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a. 8.同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 9.方程的同解原理： (1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程 初中数学知识点大全 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。 ③ 对角线相等的平行四边形是矩形。 ④ 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。 多边形： ①N 边形的内角和等于（N-2）180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 平均数：对于N 个数X 1，X 2…X N ，我们把（X 1+X 2+…+X N ）/N 叫做这个N 个数的算 术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据 的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 第一章整式的运算知识点汇总 一、整式 单项式和多项式统称整式。 1、单项式 a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前 面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。 c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数（注意：常数项的单 项式次数为0） 2、多项式 a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中， 不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项 式的次数. b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项 式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式 的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是 为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最 高的那一项次数. 二、整式的加减 a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单 项式. b)括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时， 这个数与括号内各项都要相乘。 三、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则： m a n m n ?(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要= a a+ 注意以下几点： a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体 的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； b)指数是1时，不要误以为没有指数； c) 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可 以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； d) 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??（其中m 、 n 、p 均为整数）； e) 公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为整数） 四、幂的乘方与积的乘方 a) 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m ，n 都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来 的，但两者不能混淆。 b) ),()()(都为整数n m a a a mn m n n m ==。 c) 底数有负号时，运算时要注意，底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法 则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3 ???-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n d) 底数有时形式不同，但可以化成相同。 e) 要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、 b 均不为零）。 f) 积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即n n n b a ab =)(（n 为正整数）。 g) 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 五、同底数幂的除法 a) 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷ (a ≠0). b) 在应用时需要注意以下几点: 1) 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则 中a ≠0。 2) 任何不等于0的数的0次幂等于1，即)0(10≠=a a ，如1100=，(-2.50=1)， 则00无意义。 c) 任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数)，等于这个数的p 的次幂的倒数，即 p p a a 1=-( a ≠0，p 是正整数)，而0-1，0-3都是无意义的；当a>0时，a -p 的值一定是正的，当a<0时，a -p 的值可能是正也可能是负的，如41(-2)2-=，8 1)2(3-=-- d) 运算要注意运算顺序。 初一数学知识点总结 （初一上学期） 有理数 1、有理数： (1)凡能写成 a b （a 、b 都是整数且a ≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 （注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；p 不是有理数） (2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 (3)自然数是指0和正整数；a ＞0，则a 是正数；a ＜0，则a 是负数；a ≥0 ，则a 是正数或0（即a 是非负数）；a ≤0，则a 是负数或0（即a 是非正数）。 2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。 (2)注意：a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0时，则a+b=0；即a 、b 互为相反数。 4、绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 （注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。 (2)绝对值可表示为|a|。 (3)|a|是重要的非负数，即|a|≥0。（注意：|a|·|b|=|a ·b|）。 5、有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数＜ 0. 6、互为倒数： 乘积为1的两个数互为倒数。 （注意：0没有倒数；若 a 、b ≠0，那么a b 的倒数是b a ；倒数是本身的数是±1；若ab=1，则a 、b 互为倒数；若ab=-1， 则a 、b 互为负倒数。 7、有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作 初一数学知识点总结 （初一上学期） 代数初步知识 1、代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。 注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。 2、列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写。 （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号。 （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a 。 （4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a 3的形式； （5）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a . 3、几个重要的代数式： （1）a 与b 的平方差是：a 2 -b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 。 （2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是：10a+b ；则三位整数是：100a+10b+c 。 （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是：5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n 、n+1。 （4）若b ＞0，则正数是:a 2 +b ，负数是：-a 2 -b ，非负数是：b 2 ，非正数是：-b 2 。 有理数 1、有理数： (1)凡能写成 a b （a 、b 都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 （注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；p 不是有理数） (2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统 称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ?????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数 大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 人教版初一数学上册知识点归纳总结 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968） 人教版七年级数学上册期末总复习 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称 有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；?不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数 正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等w w w .x k b o m 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为： ??? ??<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ?? ?≤-≥=) 0() 0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a 人教版七年级数学知识点归纳总结
完整版初中数学知识点总汇
初一数学绝对值知识点与例题
初一数学知识点汇总全册
初一数学知识点整理
初中数学知识点总结大全(经典版)
初一数学知识点总结大全
初一上册数学知识点概括
最新初一数学下册知识点汇总
初一数学知识点全总结
初一数学知识点汇总
初中数学知识点大全(超全、超好用)
初一下册数学知识点汇总
初一数学知识点归纳总结
初中数学知识点总结(免费版)
(完整版)初一数学知识点归纳
初中数学知识点全总结(完美打印版)
人教版初一数学上册知识点归纳总结