北师版数学高二-必修5章末检测 第三章 不等式

章末检测

一、选择题

1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( )

A ．ac >bd

B ．a －c >b －d

C ．a ＋c >b ＋d

D.a d >b c

答案 C

解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d .

2．不等式1x ＜12

的解集是( ) A ．(－∞，2)

B ．(2，＋∞)

C ．(0,2)

D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D

解析 由1x ＜12，得1x －12＝2－x 2x

＜0， 即x (2－x )＜0，解得x ＞2或x ＜0，故选D.

3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( )

A ．M >N

B ．M ≥N

C ．M

D ．M ≤N 答案 A

解析 ∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)

＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0.∴M >N .

4．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( )

A ．3x 0＋2y 0>0

B ．3x 0＋2y 0<0

C ．3x 0＋2y 0<8

D ．3x 0＋2y 0>8 答案 D

解析 设f (x ，y )＝3x ＋2y －8，则由题意，得f (x 0，y 0)·f (1,2)<0，得3x 0＋2y 0－8>0.

5．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( )

A ．(－3a,4a )

B ．(4a ，－3a )

C ．(－3,4)

D ．(2a,6a ) 答案 B

解析 方程x 2－ax －12a 2＝0的两根为4a ，－3a ，且4a <－3a ，∴4a

6．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz

的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12

答案 A

解析 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz ＋32＝32＋32

＝3. 当且仅当x 2＝9z 2时等号成立，所以y 2xz

的最小值为3. 7．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( )

A ．(－5，－4]

B ．(－∞，－4]

C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]

答案 A

解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2， 则???

Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，

解得：????? m 2≥16，m >－5，?－5

m <－2，故选A.

8．如果log 3m ＋log 3n ≥4，那么m ＋n 的最小值为( )

A ．4

B ．4 3

C ．9

D ．18

答案 D

解析 ∵log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ≥4，

∴mn ≥34，又由已知条件隐含着m >0，n >0.

故m ＋n ≥2mn ≥234＝18，当且仅当m ＝n ＝9时取等号．所以m ＋n 的最小值为18.

9．若x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( )

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．－2

答案 B

10．设x ，y 满足约束条件????? 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，

x ≥0，y ≥0，

若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为

12，则2a ＋3b

的最小值为( ) A.256 B.83 C.113

D ．4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝

z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，

目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，

即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256

(当且仅当a ＝b ＝65

时取等号)． 二、填空题

11．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是?，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)

解析 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为?，

∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0，

∴a 2－2a －3<0，∴－1

12．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．

答案 (－7,3)

解析 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)，

则f (x ＋2)＜5可化为f (|x ＋2|)＜5，即|x ＋2|2－4|x ＋2|＜5，(|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)＜0， 所以|x ＋2|＜5，解得－7＜x ＜3，

所以不等式f (x ＋2)＜5的解集是(－7,3)．

13．若变量x ，y 满足条件?????

3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 52

解析 作出可行域如图所示，作出直线l ：x ＋y ＝0，

由图可知当l 平移到A 点时，z 最大．

解方程组????? 3x －y ＝0，x －3y －5＝0，得??? x ＝58，y ＝158，

∴A (58，158)，∴z max ＝58＋158＝208＝52

. 14．设a ＋b ＝2，b >0, 则当a ＝________时，

12|a |＋|a |b

取得最小值. 答案 －2

解析 因为a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥1＋a 4|a |

.显然当a <0时取最小值，当且仅当b 4|a |＝|a |b

，即b ＝2|a |时，上式取等号，此时b ＝－2a ，联立a ＋b ＝2，解得a ＝－2，此时1＋a 4|a |＝1－24×2＝34

. 三、解答题

15．当x >3时，求函数y ＝2x 2x －3

的值域． 解 ∵x >3，∴x －3>0.

∴y ＝2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3 ＝2(x －3)＋18x －3

＋12≥22(x －3)·18x －3

＋12＝24. 当且仅当2(x －3)＝18x －3， 即x ＝6时，上式等号成立，

∴函数y ＝2x 2

x －3

的值域为[24，＋∞)．

16．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3

(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；

(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .

解 (1)由题意，知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，

∴????? 1－a <0，41－a

＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.

∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，

即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32

. ∴所求不等式的解集为????

??x |x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，

即为3x 2＋bx ＋3≥0，

若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，

∴－6≤b ≤6.

17．某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A 、B 两种设备每月有效使用工时分别为400和500时，如何安排生产可使月收入最大？

解 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是????? x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，

x ≥0，y ≥0，

目标函数是z ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使z ＝3x ＋2y 取得最大值．作出可行域，如图．

将它变形为y ＝－3x 2＋z 2

，平移目标函数线，可知当过点(200,100)时，z 取得最大值． 因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，可得最大收入800千元．

18．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋3>0.

解 Δ＝4a 2－12，

(1)当Δ＜0，即4a 2－12＜0即－3＜a ＜3时解集为R ；

(2)当Δ＝0，即a ＝±3时；

当a ＝3时，解集为{x |x ≠3}，

当a ＝－3时，解集为{x |x ≠－3}；

(3)当Δ＞0时，得a ＞3或a ＜－3，

x ＝2a ±4a 2－122＝a ±a 2－3，

解集为{x |x ＞a ＋a 2－3或x ＜a －

a 2－3}． ∴当－3＜a ＜3时，解集为R ；

当a ＝3时，解集为{x |x ≠3}；

当a ＝－3时，解集为{x |x ≠－3}；

当a ＞3或a ＜－3时，

解集为{x |x ＞a ＋a 2－3或x ＜a －a 2－3}．