第六章 实数单元测试综合卷学能测试试题

第六章 实数单元测试综合卷学能测试试题

一、选择题

1．下列说法中正确的是（ ） A ．4的算术平方根是±2 B ．平方根等于本身的数有0、1 C ．﹣27的立方根是﹣3 D ．﹣a 一定没有平方根

2．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．下列计算正确的是（ ） A ．42=±

B ．1193

±

= C ．2(5)5-= D ．382=±

4．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，

(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈

3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把

(0)a a a a a a ÷÷÷

÷÷≠记作a ?，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的

是（ ）

A ．任何非零数的圈2次方都等于1

B ．对于任何正整数a ，21()a a

=④

C ．3=4④④

D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数. 5．有下列命题：

①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④邻补角是互补的角；⑤实数与数轴上的点一一对应． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．估计27的值在（ ） A ．2和3之间

B ．3和4之间

C ．4和5之间

D ．5和6之间

7．估计7+1的值在（ ） A ．2到3之间

B ．3到4之间

C ．4到5之间

D ．5到6之间

8．如图，数轴上表示实数3的点可能是( )

A ．点P

B ．点Q

C ．点R

D ．点S

9．估计25+的值在（ ）

A ．1到2之间

B ．2到3之间

C ．3到4之间

D ．4到5之间

10．下列判断中不正确的是（ ）

A ．37是无理数

B ．无理数都能用数轴上的点来表示

C ．﹣17＞﹣4

D ．﹣5的绝对值为5

二、填空题

11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．

12．已知a n ＝

()

2

1

1n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝

2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)． 13．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________． 14．若实数a 、b 满足240a b ++-=，则

a

b

=_____． 15．数轴上表示1、2的点分别为A 、B ，点A 是BC 的中点，则点C 所表示的数是____．

16．观察下列算式：

246816???+2(28)?1616＋4＝20； 4681016???+2(410)?1640＋4＝44；… 3032343616???+__________

17．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．

18．一个数的立方等于它本身，这个数是__．

19．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____． 20．11133+

=112344+=11

3455

+=，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．

三、解答题

21．观察下列各式： (x －1)(x+1)=x 2－1 (x －1)(x 2+x+1)=x 3－1 (x －1)(x 3+x 2+x+1)=x 4－1 ……

（1）根据以上规律，则(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=__________________． （2）你能否由此归纳出一般性规律(x －1)(x n +x n －1+x n －2+…+x+1)=____________． （3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果． 22．观察下列三行数：

(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案，n 为正整数) (2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？

(3)取每行的第9个数，记这三个数的和为a ，化简计算求值：(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54

a 2) 23．观察下列各式

﹣1×

12＝﹣1+12

﹣11

23?＝﹣11+23

﹣11

34?＝﹣11+34

（1）根据以上规律可得：﹣1145

?＝ ；11

-1n n +＝ （n ≥1的正整数）． （2）用以上规律计算：（﹣1×12）+（﹣1123?）+（﹣11

34?）+…+（﹣1120152016

?）.

24．（1）观察下列式子：

①100222112-=-==； ②211224222-=-==； ③322228442-=-==； ……

根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （2）求01220192222++++的个位数字.

25．操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题

意解决问题：

（1）已知x=2，请画出数轴表示出x 的点：

（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O ，对于两个不同的点A 和B ，若点A 、 B 到点O 的距离相等，则称点A 与点B 互为基准等距变换点．例如图2，点A 表示数-1，点B 表示数5，它们与基准点O 的距离都是3个单位长度，我们称点A 与点B 互为基准等距变换点．

①记已知点M 表示数m ，点N 表示数n ，点M 与点N 互为基准等距变换点．I ．若m=3，则n= ；II ．用含m 的代数式表示n= ；

②对点M 进行如下操作：先把点M 表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N ，若点M 与点N 互为基准等距变换点，求点M 表示的数； ③点P 在点Q 的左边，点P 与点Q 之间的距离为8个单位长度，对Q 点做如下操作： Q 1为Q 的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q 1的落点为Q 2这样为一次变换： Q 3为Q 2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q 3的落点为Q 4这样为二次变换： Q 5为Q 4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q 5，Q 6，Q 7．．．．Q n ，若P 与Q n ．两点间的距离是4，直接写出n 的值．

26．让我们规定一种运算

a b ad cb c d

=-， 如

232534245

=?-?=-． 再如

14224

x x =-． 按照这种运算规定，请解答下列问题，

（1）计算

60.5

1

4

2

= ；-3-245= ；2-335x x

=- （2）当x=-1时，求2232122

32x x x x -++-+---的值（要求写出计算过程）．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据立方根与平方根的定义即可求出答案. 【详解】

解：A、4的算术平方根是2，故A错误；

B、平方根等于本身的数是0，故B错误；

C、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C正确；

D、﹣a大于或等于0时，可以有平方根，故D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.

2．C

解析：C

【分析】

设这个数为x, 根据题意列出关于x的方程,求出方程的解即可．

【详解】

解：设这个数为x，根据题意得：3x x

=，

解得：x=0或-1或1，共3个；

故选：C．

【点睛】

此题考查了有理数的立方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．C

解析：C

【分析】

A、根据算术平方根的定义即可判定；

B、根据平方根的定义即可判定；

C、根据平方根的性质计算即可判定；

D、根据立方根的定义即可判定．

【详解】

A2

=，故选项错误；

B、

1

3

=±，故选项错误；

C、2

(＝5，故选项正确；

D2，故选项错误．

故选：C．

【点睛】

此题考查平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则. 4．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据定义依次计算判定即可． 【详解】

解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、a ④=21111

()a a a a a a a a a

÷÷÷=???=； 所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=

19，4④=4÷4÷4÷4=1

16

，，则 3④≠4④； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确； 故选：C ． 【点睛】

本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．

5．B

解析：B 【分析】

利用无理数的概念，邻补角、平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系，两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】

①无理数是无限不循环小数，正确； ②平方根与立方根相等的数只有0，故错误；

③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误； ④邻补角是相等的角，故错误； ⑤实数与数轴上的点一一对应，正确． 所以，正确的命题有2个， 故选B. 【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解无理数、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识，难度不大．

6．D

解析：D 【分析】

用平方法进行比较，看27在哪两个整数平方之间即可. 【详解】

∵252527=＜，263627=＞

∴5＜6 故选：D 【点睛】

本题考查比较二次根式的大小，常见方法有2种：

（1）将数字平方，转化为不含二次根号的数字比较；

（2）将数字都转化到二次根式中，然后进行比较.

7．B

解析：B

【分析】

的范围，继而可求得答案.

【详解】

∵22=4，32=9，

∴<3，

∴+1<4，

故选B.

【点睛】

本题考查了无理数的估算，熟练掌握是解题的关键.

8．A

解析：A

【分析】

的点可能是哪个．

【详解】

∵12，

的点可能是点P．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．

9．D

解析：D

【分析】

2与3之间，所以2在4与5之间．

【详解】

解：∵22=4，32=9，

∴23，

∴2+2＜3+2，

则4＜2+＜5，

故选：D．

【点睛】

键．

10．C

解析：C 【分析】

运用实数大小的比较、绝对值有理数和无理数的定义和性质逐项分析即可． 【详解】

解：A 是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意；

B 、无理数都能用数轴上的点来表示，原说法正确，故此选项不符合题意；

C 44，原说法错误，故此选项符合题意；

D 故答案为C ． 【点睛】

本题主要考查了实数大小的比较、绝对值有理数和无理数的定义和性质等知识点，灵活运用相关定义和性质是解答本题的关键．

二、填空题 11．-4 【解析】

解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A 的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A 的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π． 解析：-4π

【解析】

解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A ′与A 的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A ′在A 的左侧，所以A ′表示的数为-4π，故答案为-4π．

12．． 【解析】 【详解】

根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=． 解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=． “

解析：

12

++n n ． 【解析】 【详解】

根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=1312

21-4211

+???== ?+??，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=

314221-29321+???== ?+??，…，所以可得：b n =1

2++n n ． 解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=

1

2

++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．

13．-5 【解析】 ∵32<10<42, ∴的整数部分a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.

解析：-5 【解析】 ∵32<10<42,

a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.

14．﹣ 【解析】

根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣．

解析：﹣12

【解析】

根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则

a b =﹣12．故答案是﹣12

． 15．【分析】

设点C 表示的数是x ，再根据中点坐标公式即可得出x 的值． 【详解】

解：设点C 表示的数是x ，

∵数轴上1、的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，

根据中点坐标公式可得：，解得：，

故答案

解析：2-

【分析】

设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．

【详解】

解：设点C表示的数是x，

∵数轴上1的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，

，解得：，

根据中点坐标公式可得：=1

2

故答案为：

【点睛】

本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．16．【分析】

根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．

【详解】

解：

=

=1080+4

=1084．

故答案为：1084．

【点睛】

解析：【分析】

根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．

【详解】

=

=1080+4

=1084．

故答案为：1084．

【点睛】

本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．

17．﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：

①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1； ②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x]

解析：﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：

①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；

②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；

③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；

综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2. 故答案为-2或﹣1或0或1或2.

点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键. 【详解】 请在此输入详解！

18．0或±1． 【分析】

根据立方的定义计算即可． 【详解】

解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0， ∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1． 故答案为：0或±1． 【点睛】 本题考查了乘方的

解析：0或±1． 【分析】

根据立方的定义计算即可． 【详解】

解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0， ∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1． 故答案为：0或±1．

【点睛】

本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．

19．【分析】

根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．

【详解】

∵a、b互为倒数，

∴ab＝1，

∵c、d互为相反数，

∴c+d＝0，

∴＝﹣1+0+1＝0．

解析：【分析】

根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．

【详解】

∵a、b互为倒数，

∴ab＝1，

∵c、d互为相反数，

∴c+d＝0，

∴1＝﹣1+0+1＝0．

故答案为：0．

【点睛】

此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．

20．【分析】

观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是

【详解】

由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是

故答案为：

【点睛】

本题主要考查二次根式，找

(1)

=+≥

n n

【分析】

=+

=(2

(3

=+n(n≥1)的等式表示出来是

(1)

n n

=+≥

【详解】

由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是

(1)

n n

=+≥

(1)

n n

=+≥

【点睛】

本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．

三、解答题

21．（1）x7－1；（2）x n+1－1；（3）

51

31 2

-

．

【分析】

（1）仿照已知等式写出答案即可；

（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；

（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．【详解】

解：（1）根据题意得：(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1；（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；

（3）原式=1

2

×（3-1）(1+3+32+···+349+350)=

1

2

×（x50+1-1）=

51

31

2

-

故答案为：（1）x7－1；（2）x n+1－1；（3）

51

31 2

-

．

【点睛】

本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．

22．(1)-(-2)n；(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2；第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)；(3)-783

【分析】

第一个有符号交替变化的情况时，可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号，并检验计算结果。

【详解】

（1）首先2 4 8 16 很显然后者比前者多一个二倍。那么通项（一串数列具有代表性的代数

式）中绝对含有n 2，前面加上负号。考虑到数值的变化可以用n 1-12n

-（）表示。

（2）第②行数等于第①行数相应的数减去2 第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)

（3）原式=2222

5131(16125)51311612517a a a a a a a a a ----+=---+-=--

第①行的第9个数为512，第②行的第9个数为510，第③行的第9个数为-256，所以

512510256766a =+-=，将a 的值代入上式，得原式=-783. 【点睛】

找规律要善于发现数字之间的共同点，或者是隐藏关系，培养学生的数感。规律很多，关键要在与尝试。 23．（1）1145-+，11

1n n -++；（2）20152016

-． 【分析】

（1）根据题目中的式子，容易得到式子的规律；

（2）根据题目中的规律，将乘法变形为加法即可计算出所求式子的结果． 【详解】 解：（1）11114545-

?=-+，1111-=-11n n n n +++，

故答案为：1145-

+，111

n n -++； （2）1111111

(1)()()()2

233420152016

-?+-

?+-?+?+-? 11111111()()()2233420152016

=-+

+-++-++?+-+ 1

12016

=-+ 2015

2016=-

． 【点睛】

本题考查规律性：数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出所求式子中数的变化的特点．

24．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.

【分析】

（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可. 【详解】

（1）11222n n n ---= 理由是：122n n --

11122n n +--=-

11222n n --=?-

()1212n -=-? 12n -=

（2）原式=(

)()()()10

2

1322020201922

2

22222-+-+-++-

2020022=-

()

505

42

1=-

505161=-

因为6的任何整数次幂的个位数字为6. 所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5.

【点睛】

本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键. 25．（1）见解析；（2）①I ，1；II 4-m ②1

12

；③2或6． 【分析】

（1）在数轴上描点； （2）由基准点的定义可知，

22

m n

+=； （3）（3）设P 点表示的数是m ，则Q 点表示的数是m+8，由题可知Q 1与Q 是基准点，Q 2与Q 1关于原点对称，Q 3与Q 2是基准点，Q 4与Q 3关于原点对称，…

由此规律可得到当n 为偶数，Q n 表示的数是m+8-2n ，P 与Q n 两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n ； 【详解】

解：（1）如图所示，

（2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1， ∴n=1； 故答案为1；

Ⅱ．有定义可知：m+n=4， ∴n=4-m ； 故答案为：4-m

②设点M 表示的数是m ， 先乘以23，得到23m ，

再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N 为23m+2， ∵点M 与点N 互为基准等距变换点， ∴23m+2+m=4，

∴m=

112

； ③设P 点表示的数是m ，则Q 点表示的数是m+8，如图，

由题可知Q 1表示的数是4-(m+8)，Q 2表示的数是-4+(m+8)，Q 3表示的数是8-(m+8)，Q 4表示的数是-8+(m+8)，Q 5表示的数是12-(m+8)，Q 6表示的数是-12+(m+8)… ∴当n 为偶数，Q n 表示的数是-2n+（m+8）， ∵若P 与Q n 两点间的距离是4， ∴|m-[-2n+(m+8)]|=4， ∴n=2或n=6． 【点睛】

本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q 的变换规律是解题的关键． 26．（1）1；-7；-x ；（2）-7 【分析】

（1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可；

（2）根据新运算的定义式将原式化简为-x-8，代入x=-1即可得出结论． 【详解】

解：（1）

60.5

1

60.5432112

4

2

=?-?=-=；

-3-23524158745=-?--?=---=-（）（）； 2

-3253310935x

x x x x x x

=?---?=---=--（）（）（）．

故答案为：1；-7；-x ．

（2）原式=（-3x 2+2x+1）×（-2）-（-2x 2+x-2）×（-3）， =（6x 2-4x-2）-（6x 2-3x+6）， =-x-8，

当x=-1时，原式=-x-8=-（-1）-8=-7．

∴当x=-1时，2232122

32

x x x x -++-+---的值为-7．

【点睛】

本题考查了整式的化简求值以及有理数的混合运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键．