高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题

高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题

一、数学物理法

1．如右图所示，一位重600N 的演员，悬挂在绳上．若AO 绳与水平方向的夹角为

37?，BO 绳水平，则AO 、BO 两绳受到的力各为多大？若B 点位置往上移动，则BO 绳的

拉力如何变化？(孩子：你可能需要用到的三角函数有：

3375

sin ?=，4cos375?=，3374tan ?=，4

373cot ?=)

【答案】AO 绳的拉力为1000N ，BO 绳的拉力为800N ，OB 绳的拉力先减小后增大. 【解析】

试题分析：把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力，AO 绳上受到的拉力等于沿着AO 绳方向的分力，BO 绳上受到的拉力等于沿着BO 绳方向的分力．根据平衡条件进行分析即可求解．

把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力．如图甲所示

由平衡条件得：AO 绳上受到的拉力为21000sin 37

OA G

F F N ==

= BO 绳上受到的拉力为1cot 37800OB F F G N ===

若B 点上移，人的拉力大小和方向一定不变，利用力的分解方法作出力的平行四边形，如图乙所示：

由上图可判断出AO 绳上的拉力一直在减小、BO 绳上的拉力先减小后增大．

2．［选修模块3-5］如图所示，玻璃砖的折射率2

3

n =

，一细光束从玻璃砖左端以入射角i 射入，光线进入玻璃砖后在上表面恰好发生全反射．求光速在玻璃砖中传播的速度v 及入射角i ．(已知光在真空中传播速度c =3.0×108 m/s ，计算结果可用三角函数表示)．

【答案】83310/v m s =?；3

sin i =

【解析】 【分析】 【详解】 根据c n v =

，83310/v m s =? 全反射条件1

sin C n

=，解得C=600，r =300， 根据sin sin i n r =

，3

sin 3

i =

3．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．

(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1

sin 42

mg θ 【解析】 【分析】

（1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解．

（2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】

木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则：

Fcos mgsin f αθ＝＋

N Fsin F mgcos αθ＋＝

N f F μ＝

联立解得：()

2mgsin F cos θ

θα=

-

则当＝αθ时，F 有最小值，2min F mgsin ＝θ

(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F 的水平分力，即

()f Fcos αθ='+

当＝αθ时，1

2242

f mgsin cos mgsin θθθ='= 【点睛】

木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含动摩擦因数的值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，求出外力F 的表达式，讨论F 取最小值的条件．

4．如图所示，在xoy 平面内y 轴右侧有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场方向垂直纸面向外；分成I 和II 两个区域，I 区域的宽度为d ，右侧磁场II 区域还存在

平行于xoy 平面的匀强电场，场强大小为E ＝22B qd

m

，电场方向沿y 轴正方向。坐标原点O

有一粒子源，在xoy 平面向各个方向发射质量为m ，电量为q 的正电荷，粒子的速率均为v ＝

qBd

m

。进入II 区域时，只有速度方向平行于x 轴的粒子才能进入，其余被界面吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用，求： (1)某粒子从O 运动到O '的时间； (2)在I 区域内有粒子经过区域的面积；

(3)粒子在II 区域运动，当第一次速度为零时所处的y 轴坐标。

【答案】(1)π3m qB ；(2)2

21π2

d d +；(3)0 【解析】 【详解】

(1)根据洛伦兹力提供向心力可得

2

v Bqv m R

=

则轨迹半径为

mv

R d qB

=

= 粒子从O 运动到O '的运动的示意图如图所示：

粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为

60θ?=

周期为

22R m

T v Bq ππ=

= 所以运动时间为

63T m t qB

π=

= (2)根据旋转圆的方法得到粒子在I 区经过的范围如图所示，沿有粒子通过磁场的区域为图中斜线部分面积的大小：

根据图中几何关系可得面积为

221

2

S d d π=+

(3)粒子垂直于边界进入II 区后，受到的洛伦兹力为

22q B d qvB m

=

在II 区受到的电场力为

222q B d qE m

=

由于电场力小于洛伦兹力，粒子将向下偏转，当速度为零时，沿y -方向的位移为y ，由动能定理得

21

02

qEy mv -=-

解得

212mv y d qE

=?= 所以第一次速度为零时所处的y 轴坐标为0。

5．小华站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为

3

4

d ，重力加速度为g 。忽略手的运动半径和空气阻力。 (1)问绳能承受的最大拉力多大？

(2)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

【答案】（1）11

3mg ；（2）2d 23。 【解析】 【分析】 【详解】

(1)设绳断后球飞行的时间为t ，由平抛运动规律有 竖直方向

211

42

d gt = 水平方向

D =v 1t

解得

v 12gd

设绳能承受的最大拉力大小为F max ，这也是球受到绳的最大拉力的大小，球做圆周运动的半径为

3

4

R d =

由圆周运动向心力公式，有

F max -mg =2

1mv R

得

F max =

113

mg (2)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有

F max -mg =m 23

v l

解得

v 3=

83

gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为

y=d －l

水平位移为x ，时间为t 1,由平抛运动规律有

21311

2

d l gt x v t -=，=

得

x =4

()

3

l d l - 当l ＝

2

d

时，x 有最大值 x max =

23

3

d

6．人在A 点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量50kg m =的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成60角，当人拉着绳由A 点沿水平方向运动2m s =而到达B 点时，绳与水平方向成30角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g 取210m/s ）

【答案】732J 【解析】 【分析】 【详解】

人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h ，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即

sin 30sin 60

h h

h ?=

- 又

tan 30tan 60

h h

s =

- 所以人对绳的拉力做的功

31)732J W mg h mg s =?=?≈

7．如图，O 1O 2为经过球形透明体的直线，平行光束沿O 1O 2方向照射到透明体上。已知透明体的半径为R ，真空中的光速为c 。

(1)不考虑光在球内的反射，若光通过透明体的最长时间为t ，求透明体材料的折射率； (2)若透明体材料的折射率为2，求以45°的入射角射到A 点的光，通过透明体后与O 1O 2的交点到球心O 的距离。

【答案】(1)2vt

n R

=；(2)2R 。 【解析】 【详解】

(1)光在透明体内的最长路径为2R ，不考虑光在球内的反射，则有

c v n

= 2R t v

=

透明体材料的折射率

2vt n R

=

； (2)该光线的传播路径如图，入射角i =45°，折射率为n =2，根据折射定律sin sin i

n r

=，则折射角r =30°

光从B 点射出时的出射角为45°，由几何关系知，∠BOC =15°，∠BCO =30°，∠CBO =135°，由正弦定理，有

sin 30sin135OC

R =??

解得以45°的入射角射到A 点的光，通过透明体后与O 1O 2的交点到球心O 的距离

2OC R =。

8．如图所示，电流表A 视为理想电表，已知定值电阻R 0=4Ω，滑动变阻器R 阻值范围为0~10Ω，电源的电动势E =6V ．闭合开关S ，当R =3Ω时，电流表的读数I =0.5A 。

（1）求电源的内阻。

（2）当滑动变阻器R 为多大时，电源的总功率最大?最大值P m 是多少?

【答案】（1）5Ω；（2）当滑动变阻器R 为0时，电源的总功率最大，最大值P m 是4W 。 【解析】 【分析】 【详解】

（1）电源的电动势E =6V ．闭合开关S ，当R =3Ω时，电流表的读数I =0.5A ，根据闭合电路欧姆定律可知：

0E

I R R r

=

++

得：r =5Ω

（2）电源的总功率

P=IE

得：

2

0E P R R r

=++

当R =0Ω，P 最大，最大值为m P ，则有：4m P =W

9．如图所示，R 为电阻箱，V 为理想电压表，当电阻箱读数为12R =Ω时，电压表读数为14V U =；当电阻箱读数为为25R =Ω时，电压表读数为25V U =。 （1）求电源的电动势E 和内阻r 。

（2）当电阻箱R 读数为多少时，电源的输出功率最大？最大值m P 为多少？（注意写出推导过程）

【答案】（1）E =6V ，r =1Ω（2）R =1Ω时最大输出功率为9W. 【解析】 【分析】 【详解】

（1）根据

U

E U r

R

=+可得：

4

4

2

E r

=+

5

5

5

E r

=+

解得

E=6V

r=1Ω

（2）电源输出功率

2

2

2

()

2

E E

P R

r

R r

R r

R

==

+

++

因为

2

2

=

r

R r

R

?一定，则当

2

=

r

R

R

，即R=r时

2

+

r

R

R

最小，此时P最大，即当外电阻电阻等于电源内阻时，输出功率最大，即R=r=1Ω；

此时最大输出功率

22

6

W9W

441

E

P

r

===

?

10．一载有电流I的导线弯成椭圆形，椭圆的方程为，如图所示．试求I在焦点F产生的磁感强度．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

本题用平面极坐标求解较方便．以焦点F为极点，x轴为极轴，如图所示，将椭圆方程用平面极坐标表示为．①

式中p和e与题给的参数a和b的关系如下：

，②

．③

代入式①得

．④

由毕奥—萨伐尔定律，有

，⑤

由图可知，焦点的磁感强度垂直于纸面向外．于是得

，⑥

式中是与r（到焦点F的矢量）之间的夹角，是垂直于纸面向外的单位矢量．

由图可见．⑦

代入式⑥得．⑧

将式④代入式⑧得．⑨

积分得⑩

【点睛】

既然毕奥—萨伐尔定律的应用涉及对答题者数学能力的考察，则对不同形状的电流产生的磁场的计算也就顺理成章，直线、圆是最基本的形式，抛物线、椭圆、双曲线以及其他的函数形态的电流产生的磁场，也自然在考察之列了．

11．竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B 静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量；碰后瞬间B的速度大小也为v1，之后沿水平轨道向右减速度，不计空气阻力。

(1)求A沿倾斜轨道下滑的加速度与碰后沿轨道上滑的加速度大小之比；

(2)若倾斜轨道与水平面的夹角为θ，求A与倾斜轨道间的动摩擦因数μ；

(3)已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B在此碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。

【答案】(1)3

5

；(2)

tan

4

θ

；

(3)

3

2

。

【解析】

【详解】

(1)由（b）图可知，A向下加速的加速度为

1

1

1

2v

a

t

=，

向上减速的加速度为

11

2

111

0()

1.30.3

v v

a

t t t

--

==

-

，所以

1

11

1

2

1

2

3

5

0.3

v

a t

v

a

t

==；(2)对A进行受力分析，下滑与上滑如图：

下滑上滑

下滑时，沿斜面方向：

1

sin

G f ma

θ-=

垂直斜面方向：

cos0

G N

θ-=；

上滑时，沿斜面方向：

2

sin

G f ma

θ+=

垂直斜面方向：

cos0

G N

θ-=，且：

f N

μ

=

联立上面各式解得

1sin cos a g g θμθ=-， 2sin cos a g g θμθ=+，

因为

1235

a a =， 解得

123sin cos 5sin cos a g g a g g θμθθμθ

-==+ 得

sin tan 4cos 4

θθ

μθ=

=； (3)对B 在水平面进行受力分析可得：竖直向：

0G N -=

水平向由

3f ma =

且

f N μ=

解得

3a g μ=

所以B 移动的距离

2211B 3022v v s a g

μ-==-，

由(2)知，A 上滑到P 点时的距离

22

11A1

2022(sin cos )

v v s a g θμθ-==-+ 改变动摩擦因数为1μ，由(2)可知，此时下滑的加速度

41sin cos a g g θμθ=-，

A 滑到底端时的速度为v 2，则

222

221A2

A141022(sin cos )2(sin cos )

v v v s s a g g θμθθμθ-====-+①， 此后A 在水平轨道上做匀减速直线运动直到碰到B 时速度减为0。 所以A 移动的距离

22

22A 31022v v s a g

μ-==-，

因为

A B s s =，

所以

22

21

1

22

v v

g g

μμ

=②

联立①和②两式解得：

1

sin sin

tan

sin sin

sin

sin tan

4cos4cos

4

tan sin3sin

sin2cos6

sin2cos sin2cos

44cos2

θθ

θ

θθ

θ

μθθ

θθμ

θθθ

θμθθθθθ

θ

===== ++??+??

所以

1

tan

3

4

tan2

6

θ

μ

θ

μ

==。

12．一玻璃砖截面如图所示，O为圆环的圆心，内圆半径为R，外圆半径为3R，AF和EG分别为玻璃砖的两端面，120

AOE?

∠=，B、C、D三点将圆弧四等分。一细束单色光a 从F点沿平行于BO方向从AF面射入玻璃砖，其折射光线恰好射到B点，求：

(1)玻璃砖的折射率n；

(2)从B点出射的光线相对于射入玻璃砖前入射光线的偏转角φ。

【答案】(1)3；(2)60

??

=

【解析】

【分析】

【详解】

(1)光路图如图所示

设从AF界面射入时的入射角为1θ，折射角为2θ，因为a光线平行于BO，则

1

60

θ=?

根据余弦定理有

22(3)

23cos30FB R R R R R ?=+-??=

所以

330θ?=，230θ?=

根据折射定律有

1

2

sin sin n θθ=

代入数据得

3n =

(2)因为

4

3

sin sin n θθ=

解得

460θ?=

则偏转角?为60°。

13．电视机显像管中需要用变化的磁场来控制电子束的偏转。如图所示为显像管工作原理示意图，阴极K 发射的电子束（初速度不计）经电压为U 的电场加速后，进入一圆形区域，圆形区域中心为O ，半径为r ，荧光屏MN 到中心O 的距离为L 。当圆形区域内不加磁场时，电子束将通过O 点垂直打到屏幕的中心P 点。当圆形区域内加一垂直于圆面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场时，电子束打在荧光屏上的Q 点（图中末标出），PQ 的长度为3L 。不计电子之间的相互作用。求： (1)电子的比荷

e m

； (2)电子在磁场中运动的时间。

【答案】(1)22

23U B r ；(2)2

π2Br U

【解析】 【分析】 【详解】

(1)设电子进入磁场时的速度为v ，根据动能定理

212eU mv =

可得

2eU

v m

=

画出电子运动轨迹，如图所示

设偏转角度为θ，由几何关系

3tan L L

θ=

可得

60θ=

电子束在磁场中转过的圆心角也为θ，而

tan

2

r R

θ

=

解得

3R r =

根据洛伦兹力提供向心力可得

2

mv evB R

= 解得

2223e U m B r

= (2)根据粒子在磁场中运动的周期

2π2πR m

T v eB

=

=

可得电子在磁场中运动的时间

13606

t T T θ

=

?= 解得

2

π2Br t U

=

14．如图所示，在水平面上有两条长度均为4L 、间距为L 的平行长直导轨，处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B 。横置于导轨上的长为L 的滑杆向右运动，导轨与滑杆单

位长度的电阻均为

R

L

，两者无摩擦且接触良好。轨道两侧分别连接理想电压表和电流表。 (1)在图上用箭头标出各段电路中的电流流向；

(2)若滑杆质量为m ，现用大小为F 的水平恒力拉着滑杆从轨道最左侧由静止开始运动，当到达轨道中间时电压表示数为U ，则此时滑杆的速度多少？此过程中回路产生多少热量？ (3)若将滑杆从导轨最左侧匀速移动到最右侧，经历的时间为t ，此过程中两电表读数的乘积反映了什么物理含义？其乘积的最大值为多大？

【答案】(1)

；(2)54U BL ，2

15224U FL m BL ??- ???

；(3)含义是滑杆右侧轨道电阻消耗的电功率，24

2

4m B L P Rt

=。 【解析】 【分析】 【详解】

(1)各段电路中的电流流向如下图：

(2)在中间位置时，轨道有电流流过的部分电阻4R ， 电压表读数

4

5

U BLv =

此时滑杆的速度

54U

v BL

=

克服安培力做的功等于电路中发的热，由动能定理得

21

22

F L Q mv ?-=

此过程中回路产生的热量

2

15224U Q FL m BL ??

=- ???

(3)UI 乘积含义是滑杆右侧轨道电阻消耗的电功率；设滑杆在任意位置时，轨道有电流流过部分的电阻为x R ，则

()22()4x x x x x x

BLv R BLv BLv

P UI R R R R R R R RR ==?=++-+

当x R R =时，输出功率，即轨道电功率最大 最大值为

2

224242

2

4()4444m L BL BLv B L B L t P R R Rt Rt ?

? ???==== 答：(1)各段电路中的电流流向：

(2)此时滑杆的速度为54U BL ，此过程中回路产生的热量为2

15224U FL m BL ??

- ???；(3) 含义是滑杆右侧轨道电阻消耗的电功率，其乘积的最大值为242

4m B L P Rt

=。

15．如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy ，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝0.5 T ，还有沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ＝2 N/C 。在其第一象限空间有沿y 轴负方向、场强大小也为E 的匀强电场，并在y >h ＝0.4 m 的区域有磁感应强度也为B 的垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电荷量为q 的油滴从图中第三象限的P 点得到一初速度，恰好能沿PO 做匀速直线运动（PO 与x 轴负方向的夹角为θ＝45°），并从原点O 进入第一象限。已知重力加速度g 取10 m/s 2。求：

(1)油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷；

(2)油滴在P 点得到的初速度大小；

(3)油滴在第一象限运动的时间以及油滴离开第一象限处的坐标值。

【答案】(1)1:1:2，负电；(2)42m/s ；(3)0.828 s ，（4.0 m ，0） 【解析】 【分析】 【详解】

(1)分析油滴受力可知，要使油滴做匀速直线运动，油滴应带负电，受力如图所示：

由平衡条件和几何关系得

cos45f qE ?= sin45=f mg ?

则油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比

mg ∶qE ∶f ＝2(2)对油滴在垂直PO 方向上应用平衡条件，有

qvB ＝2Eq sin 45°

代入数据解得

v ＝42。

(3)由(1)可知，油滴在第一象限内受到的重力等于电场力，故油滴在电场与重力场的复合场中做匀速直线运动，在电场、磁场、重力场三者的复合场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示，由O 到A 匀速运动的位移为

s 1＝

20.42m sin 45?

h

h = 运动时间为

t 1＝

1

s v

＝0.1s

油滴在复合场中做匀速圆周运动的周期

2πm

T

qB

=，由几何关系知油滴由A到C运动的时间

为

212ππ

0.628s 422

m E

t T

qB Bg

===≈

从C到N，粒子做匀速直线运动，由对称性知，运动时间

t3＝t1＝0.1 s

则油滴在第一象限内总的运动时间为

t＝t1＋t2＋t3＝0.828 s

设OA、AC、CN段在x轴上的投影分别为x1、x2、x3，则

x1＝x3＝h＝0.4 m

x2r

由(1)可知

mg＝qvB

代入上式可得x2＝3.2 m，所以油滴在第一象限内沿x轴方向运动的总位移为

x＝x1＋x2＋x3＝4 m

油滴离开第一象限时的位置坐标为（4.0 m，0）。

答：(1)油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比为

(2)油滴在P点得到的初速度大小为m/s；(3)油滴在第一象限运动的时间为0.828 s，油滴离开第一象限处的坐标值为（4.0 m，0）。