平面向量题型归纳

平面向量题型归纳

题型一 平面向量的线性运算

例 1：记 N ?? ?，y ＝ ?t ? ≤ y t N i !{?，y }＝ y t ? ≤ y

设 a t b 为平面向量，则(

)

yt ? ? y ?t ? ? y

A ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}

B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}

C ．N ??

a +

b 2t a －b 2

≤ a 2 + b 2

D ．N ??

a +

b 2t a －b 2

≤

a 2 +

b 2

【答案】：D

【解析】

方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ?? a + b 2t a －b

2

≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误．

方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时

|a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b

＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与

N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b

＝3t |a －b |＝1，这时 N ??

a +

b 2

t a －b 2

= ?，而 a 2

+

b 2 ＝5，不可能有 N ?? a + b 2t a －b 2

≤

a 2 +

b 2，故选 C 项错．

【易错点】平面向量加减法线性运算性质。

【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项； 也可从选择题的特点入手，通过对 a t b 特殊化，从而得到 a + b t |a －b |的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．

题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用

例 1.O A B C 中,A B 边的高为 C ?,若ˉC ˉˉB ˉ˙＝a t ˉC ˉˉA ˙＝b t a ·b ＝O t a ＝1t b ＝2t 则ˉA ˉˉ?ˉ˙＝( ) A.1 a －1

b

B.2 a －2

b

C.3 a －3

b

D.4 a －4

b

3

3

3

3

5

5

5

5

【答案】 D

【解析】方法一： a ·b ＝0t ?A C B ＝?0°t A B ＝ 5t C ?＝ 2 5 .

5

B ?＝ 5

t A ?＝

4 5

t A ? : B ?＝4 : 1. ˉA ˉˉ?ˉ˙＝4 ˉA ˉˉB ˉ˙＝4 (ˉC ˉˉB ˉ˙ — ˉC ˉˉA ˙)＝ 4 a －4

b .

2

方法二：如图,以 C 为原点，C A t C B 所在直线分别为 ? 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由已知得

A 2t 0 t

B 0，1 .

又因为 C ?T AB ，所以可求得

?( 2 t 4 ),于是ˉA ˉ?ˉ˙＝( — 8 t 4 ),而 a ＝ 0t1 tb ＝(2t0),若设ˉA ˉ?

ˉ˙＝?a + yb ，则有 5 5

5 5

2y =— 8 ? = 4 5即 5 ,故ˉA ˉ?ˉ˙＝ 4 a －4 b.

? = 4 5 y =—

4 5 5 5

【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；

【思维点拨】根据题设条件确定出 A 、B 、?三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.

例 2. 若点 M 是?A B C 所在平面内一点,且满足: 设ˉA ˉˉM ˉ˙＝ 3

ˉA ˉˉB ˉ˙ + 1 ˉA ˉˉC

˙. 4

4

（1） 求?ABM 与?ABC 的面积之比.

（2） 若 N 为 A B 中点,A M 与 C N 交于点 0,设B ˉˉˉ?ˉ˙ = ?ˉB ˉˉM ˉ˙ + y B ˉˉˉN ˉ˙,求 ?t y 的值. 【答案】 见解析；

【解析】（1）由ˉA ˉˉM ˉ˙＝ 3

ˉA ˉˉB ˉ˙ + 1 ˉA ˉˉC ˙可知 M 、B 、C 三点共线

4

4

如图令ˉB ˉˉM ˉ˙ = h ˉB ˉˉC ˉ˙ ? ˉA ˉˉM ˉ˙ = A ˉˉˉB ˉ˙ + B ˉˉˉM ˉ˙ = A ˉˉˉB ˉ˙ + h ˉB ˉˉC ˉ˙ = ˉA ˉˉB ˉ˙ + h ˉA ˉˉC ˙ — ˉA ˉˉB ˉ˙

h = 1 ; S ?ABM = 1.即面积之比为 1：4

= 1 — h ˉA ˉˉB ˉ˙ + h ˉA ˉˉC ˙； 4 S ?ABC

4

（2）由B ˉˉˉ0ˉ˙ = ?ˉB ˉˉM ˉ˙ + y ˉB ˉˉN ˉ˙ ? ˉB ˉˉ0ˉ˙ = ?B ˉˉˉM ˉ˙ + y B ˉˉˉA ˉ˙ = ˉB ˉˉ0ˉ˙ = ? ˉB ˉˉM ˉ˙ + y ˉB ˉˉN

ˉ˙; 2

4

? + y = 1

? = 4

由 0、M 、A 三点共线及 0、N 、C 三点共线?

? + y = 1 ? 4

7. y = 6

7

【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；

【思维点拨】.利用共线性质得出 AB 与 AC 的线段长度之比，即可得到面积之比； 第二问中利用 0、M 、A 三点共线及 0、N 、C 三点共线性质进行解决即可；

例3.设双曲线?2

— y 2

= 1(? 及 b 及 0)的右焦点为F ,过点F 与? 轴垂直的直线l 交两渐近线于A.B 两点,与双曲

?2

b 2

线的其中一个交点为 P ,设坐标原点为 0,若ˉ0ˉˉP ˉ˙ = N ˉ0ˉˉA ˉ˙ + !ˉ0ˉˉB ˉ˙(N t ! C R ),且 N ! = 2,则该双曲线的渐近线为

?

（

）

A ．y =± 3 ?

B ．y =± 2 ?

C ．y =± 1 ?

D ．y =± 1 ?

4

4

2

3

【答案】B

【解析】由题意可知 A (c t b c )t B (c t — b c ),代入ˉ0ˉˉP ˉ˙ = N ˉ0ˉˉA ˉ˙ + !0ˉˉˉB ˉ˙，得 P ((N + !)c t (N — !) b c ),代入双曲线方程

?

?

?

中,整理的 4e 2N ! = 1；又因为 N ! = 2,可得 e = 3 2 t b = e 2 — 1 = 2,所以该双曲线的渐近线为 y =± 2 ?，

故 B 为正确答案.

? 4 ? 4 4

【易错点】A 、B 、P 三点坐标的确定，离心率的概念。

【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性. 题型三 平面向量数量积的概念与计算

例 1.如图,正六边形 A B C ?砀F 的边长为 1,则A ˉˉˉ?ˉ˙ ? ?ˉˉˉB ˉ˙＝（ ） A. 3

B.— 3

C.3

D.— 3

【答案】 D

【解析】根据正六边形性质,有?A ?B ＝30°,于是向量ˉA ˉˉ?ˉ˙与ˉ?ˉˉB ˉ˙所成角为 150°;

且 ˉA ˉ ?ˉ˙ = 2t ˉ|ˉ?ˉˉB ˉ˙| = 3,所以ˉA ˉˉ?ˉ˙ ? ?ˉˉˉB ˉ˙ = |A ˉˉˉ?ˉ˙| ?ˉ?ˉˉB ˉ˙ c ??150°＝2 × 3 × — =— 3,选 D ．

【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；

【思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其 起点是否共点．

例 2.在O ABC 中,内角 AtBtC 的对边分别为 ?tbtct ?i! C = 6 t ? = b = 3t 点 P 是边 AB 上的一个三等分点,则ˉC ˉP ˙ ?

2

3

ˉC ˉˉB ˉ˙ + ˉC ˉˉP ˙ ? ˉC ˉˉA ˙ =( )

A.0

B.6

C.9

D.12

【答案】 B

3 2

1—?i!2C

2

【解析】过点C 作C0 T AB,垂足为0．如图所示,

C 0t . t ?i! C = 6t cos C = = 3t C0 = 3. A0 = 0B = = 6.

2 3 2 3

取点P靠近点B的三等分点．则P6t0.ˉCˉˉP˙?ˉCˉˉBˉ˙+ˉCˉˉP˙?ˉCˉˉA˙=ˉCˉˉP˙?2Cˉˉˉ0ˉ˙=26t—? 0t —= 6．

3 3

同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．CˉˉˉP˙?CˉˉˉBˉ˙+ˉCˉˉP˙?ˉCˉˉA˙=6．

【易错点】坐标系的建立，点坐标的确定；

【思维点拨】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．

例3.如图,B C t?砀是半径为1的圆0的两条直径,ˉBˉˉFˉ˙=2ˉFˉˉ0ˉ˙,则Fˉˉˉ?ˉ˙?ˉFˉˉ砀˙的值是（）

A.—3

4

【答案】B

B.—8

?

C.—1

4

D.—4

?

【解析】ˉBˉˉFˉ˙=2ˉFˉˉ0ˉ˙t t=1tˉFˉˉ0ˉ˙=1tˉFˉˉ?ˉ˙?ˉFˉˉ砀˙=ˉFˉˉ0ˉ˙+ˉ0ˉˉ?ˉ˙

3

?ˉFˉˉ0ˉ˙+ˉ0ˉˉ砀ˉ˙=ˉFˉˉ0ˉ˙2+ˉFˉˉ0ˉ˙?ˉ0ˉ砀ˉ˙ + ˉ0ˉ?ˉ˙+ ˉ0ˉ?ˉ˙ ?ˉ0ˉ砀ˉ˙ =

2

+ 0 — 1 =—8 .故选B.

?

【易错点】平面向量线性运算性质的应用，共线性质的应用；

【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用B.0.C t?.0.砀共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题；题型四平面向量的夹角与模的计算

例1.若非零向量a t b满足|a|＝22|b|,且(a－b)T(3a+2b),则a与b的夹角为()

3

A.π

4

B.π2

C.3π

4 D.π

333 — 3 2

33

1

3

【答案】 A

【解析】设b＝?t〈a t b〉＝8，则a＝22?t a?b=22?2c??8.

3 3

(a－b) T (3a＋2b)，(a－b)·(3a＋2b)＝0，

3a2+2a·b－3a·b－2b2＝0t即

8

2

22

?2c??8－2?2＝0t 3 ×

??

－

3

22 c??8 = 2t c??8 = 2，θ C 0tπ t 8 = n.故选A.

3 3 2 4

【易错点】垂直关系的转化，比例关系的应用，夹角的范围；

【思维点拨】利用垂直得出a t b的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决; 题型五平面向量中的范围、最值问题

例1.在边长为2的等边三角形?A B C中,?是A B的中点,砀为线段A C上一动点,则ˉ砀ˉˉBˉ˙?砀ˉˉˉ?ˉ˙的取值范围为【答案】见解析；

【解析】由题意可得，ˉAˉˉ砀ˉ˙与ˉAˉˉBˉ˙的夹角是60°，?是A B的中点，设Aˉˉˉ砀ˉ˙=?,

∴ˉ砀ˉˉBˉ˙?ˉ砀ˉˉ?ˉ˙=ˉAˉˉBˉ˙—ˉAˉˉ砀ˉ˙?ˉAˉ?ˉ˙ —ˉAˉ

砀ˉ˙

=ˉAˉˉBˉ˙?ˉAˉˉ?ˉ˙—ˉAˉˉBˉ˙+ˉAˉˉ?ˉ˙?ˉAˉ砀ˉ˙ + |ˉAˉˉ砀ˉ˙|2

=2|ˉAˉˉ?ˉ˙|2 — 3ˉAˉˉ?ˉ˙ ?ˉAˉ砀ˉ˙

+

ˉAˉ砀ˉ˙ 2 = 2 —3? + ?2;

2

由于砀为线段A C上的一动点，故0≤?≤2，令?(?)=2—3?+?2=?—3 2 + 23;

2 4 16

∴当?=3时，?(?)N i!=23；当?=2时,?(?)N??=3，∴砀ˉˉˉBˉ˙?ˉ砀ˉˉ?ˉ˙的取值范围为[23t3)

4 16 16

【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值范围的确定；

【思维点拨】将ˉ砀ˉˉBˉ˙?ˉ砀ˉˉ?ˉ˙用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性.

例2.已知向量a t b t c满足:a = 4t b = 2 2t a与b的夹角为n,c—a? c—b =—1,则|c—a|的最

4

大值为（）

A. 2 + 1

2【答案】 D B. 2 + 2

2

C. 2+1

2

D. 2 + 1

【解析】设ˉ0ˉˉAˉ˙= a tˉ0ˉˉBˉ˙= b tˉ0ˉˉCˉ˙= c;以0A 所在直线为?t0为坐标原点建立空间直角坐标系,

∵a = 4t b = 2 2t a与b的夹角为n,则A(4t0)t B(2t2),设C(?t y),∵c—a? c—b =— 1,

4

∴?2 + y2 — 6?— 2y + ? = 0,即(?— 3)2 + (y — 1)2 = 1 表示以(3,1)为圆心，以1 为半径的圆,|c — a|表示点

AC 的距离，即圆上的点与点A(4t0)的距离；∵圆心到B 的距离为：∴|c — a|的最大值为 2 + 1，故选:D．

= 2, (4 — 3)2 + (0 — 1)2

0 0

5

5

【易错点】题干条件的转化，几何意义的应用；

【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下，即可将线性运算转化为坐标运算，将问题具体化. 例 3. 已知向量ˉ0ˉˉA ˉ˙与ˉ0ˉˉB ˉ˙的夹角为8t ˉ0ˉˉA ˉ˙

0 ? t ? 1时,夹角8的取值范围为（

5

= 2t ˉ0ˉˉB ˉ˙

） = 1t ˉ0ˉˉP ˉ˙ = t ˉ0ˉˉA ˉ˙t ˉ0ˉˉG ˉ˙ = 1 — t 0ˉˉˉB ˉ˙t |ˉP ˉˉt

ˉ˙|在t 0时取得最小值,当

A.(0t n )

B. ( n t n )

C. ( n t 2n )

D. (0t 2n )

3

3 2

2 3

3

【答案】 D

【解析】由题意知, ˉ0ˉˉA ˉ˙ ? ˉ0ˉˉB ˉ˙ = 2 × 1 × c ??8 = 2c ??8t ˉP ˉˉt ˉ˙ = ˉ0ˉˉt ˉ˙ — ˉ0ˉˉP ˉ˙ = 1 — t ˉ0ˉˉB ˉ˙ — t ˉ0ˉˉA ˉ˙; ∴ˉP ˉˉt ˉ˙2 = 1 — t 2ˉ0ˉˉB ˉ˙2 + t 20ˉˉˉA ˉ˙2 — 2t 1 — t ˉ0ˉˉA ˉ˙ ? ˉ0ˉˉB

ˉ˙ = 1 — t 2 + 4t 2 — 4t (1 — t )c ??8; 5 + 4c ??8 t 2 + — 2 — 4c ??8 t + 1;

由二次函数图像及其性质知,当上式取得最小值时, t = 1+2c ??

8.

5+4c ??8

由题意可得,0 ? 1+2c ??8 ? 1，求得— 1 ? c ??8 ? 0,所以n

? c ??8 ? 2n ，故应选 C.

5+4c ??8 5

2

2

3

【易错点】转化方向的确定，函数关系的建立；

【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要 注意变量之间的关系,进而得解.

例 4.已知 a = ht2 tb = ( — 3t5),且 a 与 b 的夹角为锐角,则h 的取值范围是

【答案】 h ? 10 且h ≠— 6

3

5

【解析】由于 a 与 b 的夹角为锐角, a ? b 及 0,且 a 与 b 不共线同向,由 a ? b 及 0 ?— 3h + 10 及 0,解 得h ? 10,当向量 a 与 b 共线时,得 5h =— 6,得h =— 6 因此h 的取值范围是h ? 10 且h ≠— 6 3

, 3

．

【易错点】忽略夹角为锐角的条件及其需要满足的条件；

【思维点拨】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0tn],而三角形内角范围是(0tn),向量夹 角是锐角,则 c ??8 及 0 且 c ??8 ≠ 1,而三角形内角为锐角,则 c ??8 及 0． 题型六 平面向量在三角函数中的应用

例 1.在平面直角坐标系 ?0y 中，已知向量 m = ( 2 t — 2 ),n ＝ ?i !?t c ??? ;? C t n .

2

2

2

①若 m T n ，求 t ?!? 的值； ②若 m 与 n 的夹角为n

,求 ? 的值.

3

【答案】 见解析；

【解析】①∵m = ( 2 t — 2 )，n ＝ ?i !?t c ??? ，m T n .

2

2

∴m ·n = 2 ?i !? — 2 c ??? = 0，即 ?i !?＝c ???，∴t ?!? = ?

i !? = 1.

2 2

②由题意知， m ＝

= 1， n ＝ c ???

＝1，

m ·n = 2 ?i !? — 2 c ??? = sin (? — n ).

2

2

4

而 m·n ＝|m|·|n|·c ??〈m ，n 〉＝c ??n ＝ 1 . sin (? — n )＝ 1

，

3

2

4

2

又 ∵? C 0t n ? — n C — n t n ，∴? — n = n ，∴? = 5n .

2

4

4

4

6

12

【易错点】运算出错，角度范围不明确；

【思维点拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。

2

2

+ —

2 2

2

2

?i !? 2 + c ??? 2