人教版高中数学集合教案

1.1.1 集合

教学目标: 1、理解集合的概念和性质.

2、了解元素与集合的表示方法.

3、熟记有关数集.

4、培养学生认识事物的能力.

教学重点:集合概念、性质

教学难点:集合概念的理解

教学过程:

1、定义：

集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.

元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

由此上述例中集合的元素是什么？

例（1）的元素为1、3、5、7，

例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，

例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x，

例（4）的元素为所有直角三角形，

例（5）为高一·六班全体男同学.

一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为……

为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}

2

（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.

3、元素与集合的关系：隶属关系

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。

如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A.

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ）

注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……

2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。

4

注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0

的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *

请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。

1.1.2 集合间的基本关系

教学目标：1.理解子集、真子集概念；

2.会判断和证明两个集合包含关系；

3

.

理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系；

5.渗透问题相对的观点。

教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程：

观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？

(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.

(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.

(3) A={正方形}，B={四边形}.

(4) A=?，B={0}.

∈?∈

（5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生}。

1.子集

定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ?B （或B ?A ）,即若任意x ∈A,有x ∈B ，则A ?B(或A ?B)。

这时我们也说集合A 是集合B 的子集（subset ）。

如果集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A,就记作A ?B （或B ?A ），即:若存在x ∈A,有x ?B ，则A ?B(或B ?A)

说明：A ?B 与B ?A 是同义的，而A ?B 与B ?A 是互逆的。

规定:空集?是任何集合的子集，即对于任意一个集合A 都有??A 。

（2）除去?与A 本身外，集合A 的其它子集与集合A 的关系如何？

3.真子集：

由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：

(1)A ?A (任何集合都是其自身的子集)；

(2)若A ?B ，而且A ≠B （即B 中至少有一个元素不在A 中），则称集合A 是集

合B 的真子（p (

3)对于

集

合

A

4.证明集合相等的方法：

（1） 证明集合A ，B 中的元素完全相同；（具体数据）

（2） 分别证明A ?B 和B ?A 即可。（抽象情况）

对于集合A ，B ，若A ?B 而且B ?A ，则A=B 。

1.1.3集合的基本运算

教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并

集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补

集；

（3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽

象概念的作用。

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

【知识点】

1. 并集

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）

记作：A ∪B 读作：“A 并B ”

即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}

Venn A 与B 的所有元素

说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。

2. 交集

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。

记作：A ∩B 读作：“A 交B ”

即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}

交集的Venn 图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集

3. 补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，

记作：C U A

即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A}

补集的Venn 图表示

A

说明：补集的概念必须要有全集的限制

4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5. 集合基本运算的一些结论：

A ∩

B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （

C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=?

若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立

若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立

若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B

若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B

¤例题精讲：

【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求.

解：在数轴上表示出集合A 、B

【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：

（1）()A B C ； （2）()A A B C .

【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.

【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.