高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质
π??
据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；
(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．
以题试法
1． (1)函数y ＝
2＋log 1
2
x ＋tan x 的定义域为________．
(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( )
A.??????－32，32
B.??????－32，3
C.??????－332，332
D.????
??－332，3
解析：(1)要使函数有意义
则?????
2＋log 1
2
x ≥0，
x >0，tan x ≥0，
x ≠k π＋π2
，k ∈Z ??
????
0 2k ∈Z 利用数轴可得 函数的定义域是 ?????? ??? ?x ? ?? 0 π 2，或π≤x ≤4. (2)当x ∈??????0，π2时，2x －π6∈??????－π6，5π6，sin ? ????2x －π6∈??????－12，1， 故3sin ? ????2x －π6∈??????－32，3即此时函数f (x )的值域是???? ??－32，3. 答案：(1)?????? ??? ?x ? ?? 0 π 2，或π≤x ≤4 (2)B 考点二：三角函数的单调性 典题导入 (2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ? ?? ??π3－2x ，求： (1)函数的周期； 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数的图像与性质 π?? 据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0 第2 讲 概述 教学过程 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 电教优质课教案 《三角函数图象》 舞钢市第二高级中学 李培林 《三角函数图象》教案 舞钢市第二高级中学 李培林 一、教材分析： 1、地位与作用 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书〃数学必修4》（人教A 版）第一章第5节内容，是高一年级课程，三角函数的图象既是函数图象知识的延伸，也是物理简谐波和交流电的图象，还是自然界的生命线，广泛应用于医学领域的心电图，脑电图，多普勒，核磁共振等。同时三角函数的图象对于研究三角函数的性质起到了非常重要的作用，是历年来高考的热点和重点。 2、知识与技能 掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ω?= +的图象的变换原理， 理解振幅变换、周期变换和平移变换，区分先周期后平移，先平移后周期两种变换的联系与区别，灵活应用三种变换解答三角函数的图象问题。 二、学情分析 对高一的学生来说，已经学习了函数图象的平移、伸缩、对称和翻折四种变换，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习自主性和主动性，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 三、设计思想： 本节课采用自主学习的课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“三角函数的图象”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 四、教学目标： A.课堂目标 1、理解三角函数“几何”作图法 2、掌握三角函数“五点”作图法 3、掌握三角函数图像变换原理与方法 4、能用三种变换解答三角函数的图象问题 B.过程与方法 让学生从已有的知识出发，通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，由特殊到一般归纳出数学规律，并用规律解决数学问题，让学生掌握数形结合的思想方法。 C.情感态度与价值观 培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣，培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。 28.1.3 特殊角的三角函数值 一、教学目标 (一)知识与技能 熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数， (二)过程与方法 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． (三)情感态度与价值观 渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点． 二、重、难点 重点：熟记特殊角的三角函数值． 难点：熟练应用特殊角的三角函数值 三、教学过程 让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°．这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深 刻． 例1 求下列各式的值： 为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题： (1)sin45°+cos45；(2)sin30°·cos60°； 在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特 殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢？”这 样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神．还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”为查正余弦表作准备． 三角函数/0°/30°/45°/60°/90° 三角函30?45?60?90?数?0 1 1A sin32222 1 1A cos32222 tanA cotA 请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．(如图6-11) 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 28．1锐角三角函数 第3课时特殊角的三角函数 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点 ) 一、情境导入 问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 二、合作探究 探究点一：特殊角的三角函数值 【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算 计算： (1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2) sin30°－sin45° cos60°＋cos45° . 解析：将特殊角的三角函数值代入求解． 解：(1)原式＝2× 1 2× 1 2－6× 2 2× 3 2＝ 1 2－ 3 2＝－1； (2)原式＝ 1 2－ 2 2 1 2＋ 2 2 ＝22 －3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】已知三角函数值求角的取值范围 若cosα＝ 2 3，则锐角α的大致范围是() A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝ 3 2，cos45°＝ 2 2，cos60°＝ 1 2，且 1 2＜ 2 3＜ 2 2，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α 的范围是45°＜α＜60°.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】根据三角函数值求角度 若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是() A．20°B．30°C．40°D．50° §5 创新课堂教学设计模式 在情境教学设计中，创立了课堂教学八步骤： （1）创设情境（2）提出问题（3）学生探究（4）构建知识 （5）变式练习（6）归纳概括（7）能力训练（8）评估学习 数学情境设计实验案例 《函数y=Asin的图象》教学设计 模块名称：数学新课程必修4 （苏教版） 一课时 一、设计思想： 按照新课程理念，通过计算机辅助教学创设情境，实施信息技术与学科课程整合教学设计。引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务。动画效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点的知识理解掌握。 本课教学设计重点是学习环境的设计，通过几何画板创设动态直观情境，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力。 二、教学内容分析 本课教学内容是能通过变换和五点法作出函数y=Asin的图像，理解函数y=Asin（A>0, ω>0）的性质及它与y=sinx的图象的关系。本节内容是在三种基本变换的基础上进行的，进一步深入研究正弦函数的性质，y=Asin的图像变换是函数图像变换的综合，充分体现利用数形结合研究函数解决问题的思想，对前面的基础和知识有很好的小结作用，这种函数在物理学和工程学中应用比较广泛，有实际生活背景，它能为实际问题的解决提供良好的理论保证。同时，本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材。 教学重点：掌握函数y=Asin的图像和变换 教学难点：学生能通过自主探究掌握对函数图象的影响。 三、教学目标分析 1认知目标： (1)结合具体实例，理解y=Asin的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin的简图。会用计算机画图，观察并研究参数，进一步明确 对函数图象的影响。 (2)能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin的图象。 (3)教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。 2 能力目标： (1)为学生创设学习数学的情境氛围，培养学生的数学应用意识和创新意识。 (2)在问题解决过程中，培养学生的自主学习能力。 (3)让学生经历列表、描点、连线成图的作图过程，体会数形结合、整体与局部的数学思想，培养学生的科学探索精神，归纳、发现的能力。 3 情感目标： 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 龙文教育一对一个性化辅导教案 三角函数图象变换 考点分析：三角函数图象及性质是高考必考内容，主要是函数图像变换及函数性质。重点：①熟练地对y=simr进行振幅和周期变换；②会用相位变换画函数图彖； ③“五点法”画尸力sin（Gx+?）的图象、图象变换过程的理解; 难点：①理解振幅变换和周期变换的规律；②理解并利用相位变换画图象；③多种变换的顺序 一、教学衔接： 1、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 2、检查学生的作业，及时指点； 3、59错题讲解 1）错题重现及讲解： 2）讲透考点： 3）相似题练习： 4、课前热身练习： 二、本次课主要内容 知识点一振幅变换 例1画出函数y=2sinx XG R； y=gsinx xwR的图象（简图）. 解：画简图，我们用“五点法” ???这两个函数都是周期函数，且周期为2〃 ???我们先画它们在［0, 2刀］上的简图?列表: 作图： 知识点二周期变换 例2 iUlj出函数y=sin2x XG R； y=sin*x xwR的图象（简图）? TT 解：函数y=sin2%, xGR的周期T=——=JI 2 我们先画在［0,兀］上的简图，在［0,兀］上作图，列表： 作图: 知识点三图像平移 例画出函数 yr yr * * y=sin(x+—), xWRy=sin(x ——), xGR 的简图. 3 4 解：列表 描点画图: 【同步训练】 1、(l)y=sin(x+—y=sinx 向平移个单位得到的. (2) y=sin(x ——)是由y=siwc 向平移个单位得到的? ? 4 (3) y=sin(x —兰)是由y=sin(x+— )|nj 平移个单位得到的. 4 4 2?若将某函数的图彖向右平移兰以后所得到的图彖的函数式是y=sm(x+-)f 则原来的 2 41 函数表达式为( ) SIT 7T TT . 77 A ?y=sin(x+ —) B ?y=sin(x+ — )Cj=sin(x — —) D ?y=sin(x+ —— 「 4 ° 2 4 4 4 3、 将函数y=/(x)的图彖沿兀轴向右平移彳，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原 来的2倍， 得到的曲线与y=siwc 的图象相同，贝ijy=/(x)是() 7T TT . 2TT 2TT A.j=sin(2x+y) B.j=sin(2x — y ) C.>j =sin(2x+ —) D ?y=sin(2x ——) 4、 把函数y=cos(3尢+ ◎的图象适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图彖，这种变动可以是 4 ( ) A ?向右平移仝 B ?向左平移仝 C ?向右平移三 4 4 12 5、 若函数y=f{x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将 整个图象 沿％轴向左平移兰个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=-sin^的图彖， 2 2 3 -1 6 4 2 3 D ?向左平移醫 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 第四章第三单元 三角函数的图象与性质 教材为新人教版（高中数学必修第一册（下）） 第一课时 ☆教学课题： §4.8.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质（一） ☆教学目标： (一)知识目标 1．正弦函数的图象； 2．余弦函数的图象． (二)能力目标 1．会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象； 2．用诱导公式画出余弦函数的图象； 3．会用“五点法”画正、余弦函数的图象． (三)德育目标 1．培养学生的数形结合思想； 2．渗透由抽象到具体思想； 3．使学生理解动与静的辩证关系，注意与其他学科之间的联系，体现数学在其他学科及社会中的应用； 4．培养学生主动探索的精神，独立解决问题的能力. ☆教材分析： 在前面引进了任意角三角函数的定义的基础上，本节对正弦、余弦函数的图象和性质作了系统的研究.本节的主要内容是正弦函数、余弦函数的图象与性质.教科书先利用正弦线画出函数y ＝sinx ， x ∈［0，2π］的图象并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”再将其向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x 在x ∈R 上的图象，即正弦曲线，在此基础上，利用诱导公式cos y x == cos()x -= sin [2π-(- x )]= sin ( x +2π),把正弦曲线向左平行移动 2π 个单位长度，得到余弦曲线；然后利用图象考察了正弦、余弦函数的性质，还穿插着介绍了周期函数、（最小正）周期、奇函数和偶函数、在长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的意义，介绍了画出定义在闭区间［0，2π］（其长度为一个周期）上的函数简图的“五点法”；最后介绍了如何求与正弦、余 弦函数有关的某些简单函数的最大、最小值，如何求这类简单函数的周期,以及如何根据正弦、余弦函数的图象和周期性比较两个三角函数值的大小. 作为函数，它是已学过的指数函数与对数函数的后继内容.课本上基本是借助函数图象直观得出两个函数的性质，大部分没有给予证明.由于有研究指数、对数函数的基础，加之上单元三角变换为图形变换提供了依据，为数形结合创造了条件，因此学生接受起来并不是十分困难.但本节是“两面角和与差的三角函数”后的第一节，概念较多，思维方法与前有所不同，要取得好的教学效果，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），并通过一定的训练，使学生正确了解有关概念和图象的性质，就成为学好本节的关键. 三角函数的性质贯穿于本单元，函数的性质是研究函数的一个重要内容，它不仅是学习数学后继知识的重要基础，在科学研究、生产实际中也是重要工具之一，因此正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是本节教学内容的重点，利用正弦线画出函数y ＝sinx ， x ∈［0，2π］的图象再利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数和最小正周期的意义，是本节的三个难点.总的来说，利用有关定义论证函数的某 些性质，利用图象获得函数的性质，再利用性质画出图像，使形和数紧密结合，培养学生的形象思维能力和想象能力，是本节的要点. ☆教学重点： 用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线 ☆教学难点： 利用单位圆画正弦曲线及用诱导公式画出余弦曲线 三角函数求值 一、三维目标： （1）知识目标：能运用三角函数有关公式进行简单的恒等变换。 （2）能力目标：对于遇到角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性。 （3）情感态度和价值观：角的变换体现出将未知化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。 二、教学重点：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 三、教学难点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．角度范围的控制。 四、教学过程： 1.讲授新课 问题一（给角求值） 50sin80(13tan10) ++ ． 解：原式 2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5+ +=2sin 80 2sin 50cos(6010 ) cos10cos5 +-= 250cos50) 22cos5+= 2cos(5045)2cos5-== [点评] 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系。实现函数 名与角度的统一。 问题二（给值求值） 已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值 解：法一：由已知 21 tan ,3tan 1tan 1=?=-+θθθ sin2θ-2cos 2 θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5 4tan 12tan 22 -=+-θθ 法二： sin2θ -2cos 2θ=sin2θ-cos2θ -1=-cos(θπ 22 +)-sin(θπ 22 +)-1 =5 41) 4(tan 1) 4tan(2)4(tan 1) 4( tan 1222-=-+++-+++--θπθπ θπθπ [点评]法一：弦化切；法二：角度的配凑 问题三（给角求值）（1）已知A 、B 均为钝角且5SinA = ，10 SinB =。求A B +。 解：cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，2A B ππ<+<， 74 A B π∴+= [点评]选取恰当的函数名。 （2）已知11tan()tan (0)2 7 αββαβπ-==-∈，，且，，， 求2αβ-的值。 解：tan 2()tan tan(2)tan[2()]1tan 2()tan αββ αβαββαββ -+-=-+= --?， 又22tan()4tan 2()1tan ()3 αβαβαβ--===--，4137tan(2)141137 αβ- -= =+?， 而tan()tan 1 tan tan[()]1tan()tan 3 αββααββαββ-+=-+===--?，(0)αβπ∈，，，所以 04π α<< ，所以13tan 202724 ππ ββππαβαβ= -<<-<-<-=-，所以，，所以。 [点评]注意角度范围控制。 2.课堂练习 （1）11cos(2),sin(2)14αβαβ-=- -=已知 三角函数的性质与图像（学案） 一、 学习目标 1、“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. 2、图像变换规律. 3、由函数图像或性质求解析式. 重点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 难点：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 二、 学习过程 1、高考考点分析 2、知识梳理： （1）用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时，要找出 五个关键点。 填写表格： （2）三角函数图像的变化规律： （3）函数sin()y A x ω?=+的物理意义： （4）由函数sin()y A x k ω?=++图像求函数解析式的步骤和方法： ①A 的确定： ②k 的确定： ③ω的确定： ④?的确定： 三、基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后，所得图像 对应的函数为（ ） A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4 y x π=- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所 有的点（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向上平移3π个单位 D ．向下平移3 π 个单位 4、函数2cos2y x x +的最小正周期为（ ） A ． 2 π B .23π C. π D. 2π 四、范例导航 题型一：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 变式练习．（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 题型二：函数sin()y A x ω?=+图像及变换 例2、已知函数2sin(2)3 y x π =+ （1）求它的振幅、周期、初相。 （2）用五点作图法作它在一个周期内的图像。 （3）试说明2sin(2)3 y x π =+的图像可由sin y x =的图像经过 怎样的变换得到？ 列表： 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ），y＝A cos（ωx ＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2006-12月，天津市第二届“信息技术优化教学过程优秀教学设计”中学组二等奖。 三角函数的图象和性质 复习课之教学设计 天津开发区国际学校 何韬 通讯地址：天津开发区晓园街9号 邮编：300457 电子邮箱： 三角函数的图象和性质复习课之教学设计 天津开发区国际学校何韬 300457 【知识目标】①掌握作函数y=Asin(ωx+φ)的简图的方法――五点法和图象变换法； ②了解函数的变换思想； ③三角性质的综合应用 【能力目标】经历猜想、观察、操作、推理等活动，培养观察能力，提取信息的能力，运用现代工具进行探索的能力；并渗透先猜后证的数学探索和研究方法； 通过图象变换不同方式的比较，渗透函数代换思想和数形结合思想 【情感态度目标】经历自主探索和交流合作，分享思想交流带来的乐趣和成就，逐步养成探究习惯和小组分工合作意识。 【教学重点和难点】三角性质的综合应用 【课题的主要体现】1、运用图形计算器，与VCE合理并进； 2、师生运用图形计算器和计算机课件 (ppt演示文稿, 几何画板，图 形计算器软件)，进行研究和探讨，交流合作，操作实践 【主要内容及步骤简介】 第一步：复习用五点法和图像变换法作三角函数的图像； 第二步：复习正、余弦函数的性质； 第三步：以一道综合题来应用巩固知识并培养、提高能力。 第四步：练习，小结和作业。 教学步骤实在是极为普通，学生也很容易枯燥乏味。为充分调动学生，体现新课改思想，我这样来设计教学的每个环节。 【教学设计】 一、五点法作图要点说明及举例（对比教学，突出选点方法及操作步骤） 例：作以下两图在一个周期内的图像 y=cosx y=3sin(2x+2π/3)三角函数的图像与性质
高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案
第2讲：特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值-教案
讲
特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
适用学科 初中数学
适用年级
适用区域 知识点 教学目标
北师版区域
课时时长（分钟）
1.特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值 2.由特殊三角函数值求角 3.三角函数值计算 1.掌握特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值 2.掌握三角函数的计算
教学重点 能熟练掌握三角函数的计算
初中三年级 120
教学难点 能熟练掌握锐角三角函数的计算
【教学建议】 本节的教学重点是让学生理解、记忆一些特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值并能进行相关的
运算，能由三角函数值倒推一些特殊的角。在授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，要帮助 学生积累一些基本的直角三角形模型，为下一节学习解直角三角形打下一定的模型铺垫。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 特殊三角函数值的记忆。 2. 特殊三角函数值的混合运算。 3.实际问题中的三角函数值的运用。 【知识导图】
一、导入
【教学建议】 有关特殊角的三角函数值是中考的必考内容，常见的考法有两种：一种是直接考特殊角三角函数值的相关 运算；一种是在解直角三角形的综合题中，与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。 在教学中，一要抓好学生的记忆关；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型 等）。
二、知识讲解
知识点 1 特殊角的三角函数值
三角函数
30
45
1 sin a
2
2
2
60
记忆方法
3
一二三
2
cos a
3
2
1
三二一
2
2
2
tan a
3
1
3
示意图
3
三九二十七
正弦与余弦的分 母都是 2,正切的 分母是 3,,分子 是根号对应的 数.
注意：对于正弦值，分母都是 2，分子按角度增加分别为 1 ， 2 与 3 ．对于余弦值，分母都是 2，分子
按角度增加分别为 3 ， 2 与 1 ．对于正切，60 度的正切值为 3 ，当角度递减时，分别将上一个正切值
除以 3 ，即是下一个角的正切值．三角函数图像与性质知识点总结
三角函数的图象
教案 特殊角的三角函数值
高中数学教案三角函数的图象与性质
《特殊角的三角函数值》教案
三角函数图像变换教学设计
三角函数的图像与性质题型归纳总结
三角函数的图像与性质 教案
三角函数的图像与性质
三角函数图像变换.docx
三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)
三角函数图象教案
【原创】三角函数求值教学设计
三角函数图像与性质测试
三角函数图像及其性质
三角函数的图象和性质复习课